Математическое и компьютерное моделирование
продуктивности растений в зависимости от динамики влажности почвы
В. М. Казиев, С. К. Кирьязева, Д. А. Кирьязев
При
разработке различных систем автоматизированного прогнозирования урожайности,
при расчете максимальных урожаев и их агротехническом, экономическом,
экологическом обеспечении важное место занимают модели роста и развития
растений. Растение - сложная стохастическая система, содержащая множество
параметров состояния, количественные изменения которых ведут к количественному
и качественному изменениям всей системы в целом. Математическая модель роста и
развития растений должна описывать основные процессы, на которые влияет
управляющее воздействие. В первом приближении (достаточном для моделирования
ростовых функций) система “растение - среда обитания” может быть
интерпретирована как динамическая система с распределенными параметрами, а
математические модели системы могут быть описаны с помощью дифференциальных
уравнений. При построении таких моделей необходимо принимать во внимание те
значительные трудности, которые возникают при идентификации моделей, а также
невозможность точно и полно описать такую сложную динамическую систему как
“растение - среда обитания”. В связи с этим целесообразно создание достаточно
простых моделей процесса роста (банка таких моделей), с небольшим числом
неизвестных параметров – параметров агроэкосистемы, без которых растение не
может существовать, не может функционировать как система. При таком подходе
выигрыш может быть достигнут за счет использования более тонких и точных
математических методов идентификации и прогноза, более интеллектуального, эффективного
и гибкого математического и программного обеспечения, эффективных критериев
адекватности и устойчивости моделей, а также технологии моделирования.
С
этих позиций рассматривается модель расчета влажности почвы с учетом
накапливаемой биомассы и прогнозирования урожайности сельхозкультур по заданной
(экологически обоснованной) влагообеспеченности корнеобитаемого слоя почвы и
соответствующая компьютерная среда, позволяющая решать задачи прогноза
влажности почвы и урожайности (биомассы) сельхозкультур на заданный момент
времени с развитыми интерфейсными средствами, рассчитанными на
неподготовленного пользователя - агронома, эколога.
Описание математической
модели и процедуры ее идентификации
В
настоящее время известно много способов определения влажности почвы. Наиболее
распространёнными из них являются метеорологический и термостатно - весовой.
Первый из этих способов может не дать желаемой точности, а второй связан с
большими материальными и временными затратами. Поэтому важно разработать
имитационную процедуру (алгоритм), дающую высокую точность и учитывающую
физиологические характеристики сельхозкультур. Наиболее простое уравнение
водного баланса расчетного корнеобитаемого слоя растений можно записать в виде:
W
(t) = q(t)P(t) + P1(t) — E(t) — H(t), (1)
где
P(t) - величина осадков; q(t) - коэффициент использования осадков
(определяется, например, экспертно или по формуле Харченко С.И. [6], через Wmin
- наименьшую влагоёмкость почвы и Wz - влажность завядания); P1(t)
- подпитывание (приток) из грунтовых вод; E(t) - суммарное испарение с
корнеобитаемого слоя; H(t) - уровень (сток) грунтовых вод, W(t) - средняя по
слою влажность почвы (с учётом поливов или на межполивной период).
Оценим
и учтём влияние накопившейся к некоторому моменту времени биомассы растений на
экологически обоснованную величину суммарного испарения в каждый момент
времени.
Величину
суммарного испарения с корнеобитаемой зоны растений представим в виде суммы
интенсивности транспирации растениями E1(t) и интенсивности
испарения с поверхности почвы E0(t):
E(t)
= E0(t) + E1(t) (2)
Известно
[1], что динамика прироста биомассы в предположении, что прирост биомассы
хорошо коррелирует с интенсивностью транспирации растительного покрова,
описывается уравнением:
x (t) = a(t)E1(t) — b(t)x(t), (3)
где
x(t) - биомасса культуры; a(t) - эффективность транспирации; b(t) - коэффициент
расхода на дыхание.
Для
определения динамики накопления биомассы может быть использован банк различных
моделей, из которых подбирается по тем или иным критериям адекватности
наилучшая модель (по результатам идентификации).
В
рассматриваемой нами процедуре моделирования будем использовать
достаточно
простую для идентификации модель Ферхюльста - Вольтерра [2]:
x
(t) = [ (t) — (t)x(t)]x(t), (4)
где
- коэффициент роста (автоприроста), - коэффициент
сопротивления среды (нехватки воды).
Известно
также, что динамика прироста биомассы хорошо описывается уравнением Давидсона -
Филиппа [3]:
x
(t)= e0(t)(F(t) — R(t)), (5)
где
e0 - коэффициент перехода от массы усвоенной СО2 к сухой
фитомассе; F - суммарный фотосинтез растений; R - суммарное дыхание растений.
Интенсивность
дыхания за сутки зависит от величины накопившейся биомассы. Экспериментально
получено [4], что
R(t)
= b(t)x(t) + e1F(t), (6)
где
e1 — коэффициент затрат на рост биомассы растений.
Коэффициенты
0 , 1 - экспериментально определяемые;
для большинства культур можно полагать 0 = 0,68, 1
= 0,27.
С
учетом уравнений (1) — (4) имеем следующую модель расчета влажности почвы с
учетом динамики накапливаемой биомассы:
W
(t) = q(t)P(t) + P1(t) — E(t) — H(t),
(7)
E1 (t) =[ (t) — (t)x(t) + b(t)]x(t)/a(t),
Из (4), (5) и (6) имеем:
b(t) = (1-e1)F(t)/x(t) —
( (t) — (t)x(t))/e0, (8)
Для
нахождения влажности почвы нам необходимо идентифицировать переменные
и . Эта задача достаточно сложна из-за сложности и дороговизны
проведения экспериментальных исследований (мониторинга). Мы продемонстрируем
имитационную процедуру её решения для случая постоянных параметров модели (4);
случай кусочно-постоянных параметров - аналогичен и влияет только на
размерность задачи, а случай произвольных функции сводим к проблеме
аппроксимации их некоторой системой базисных функций.
Решение
уравнения (4), как легко проверить, имеет вид:
x(t)=
/( + Ce — t). (9)
Теперь
для того, чтобы найти и нужно, согласно метода наименьших
квадратов, решить задачу минимизации квадратичного функционала вида:
n
f(
, , c) = (xi0 — xi)2
min, (10)
i=1
где
i - номер фазы вегетации растения (i=1,2,...,n); n - число фаз вегетации; xi0
- экспериментальные величины урожайности культуры за репрезентативный
период времени; xi - теоретические величины урожайности
сельхозкультур, определяемые по формуле (9).
Для
нахождения решения задачи (10) необходимо решить нелинейную систему уравнений:
df / d =0, df / d = 0, df / dc = 0. (11)
Решаем
эту систему численно (например, методом Зейделя), с требуемой точностью
и критерием адекватности вида:
(
i+1 — i)2 + ( i+1
— i)2 + (сi+1 — сi)2