Комплексный анализ
Открытые и замкнутые мн-ва, предельная точка,
замыкание..
Комплексным числом называется число вида x + iy , где x действительная, а y
– мнимая часть числа. Пусть i2=-1,
тогда С – поле. Множество комплексных чисел можно интерпретировать как
комплексную плоскость.
Сферой Римана
называется множество комплексных чисел, пополненное “бесконечностью”. Сферу
Римана можно интерпретировать как обычную сферу.
Отображение из S2 N на комплексную
плоскость взаимно однозначно.
Функции
отображения точек сферы Римана (x,h,z) на комплексную плоскость (х, у) и обратно: Прямое
отображение: ; ; . Обратное отображение: ;.
Метрика на плоскости определяется ф-лой .
Метрика на сфере Римана определяется ф-лой : .
Комплексной функцией на С называется отображение точки из С в точку на сфере Римана.
Гомеоморфизмом наз.
непрерывное взаимно однозначное отображение.
Путем
называется комплекснозначная функция, заданная на отрезке, непрерывная в каждой
точке его.
Жордановым
путем называется путь, обладающий св-вом гомеоморфизма.
Топологические отображения элементарными функциями (zn,
1/z. ez,Ж(z)). Области однолистности. Комбинация элементарных
функций (cos(z), ch(z),…) и их обратные. Понятие неоднозначной функции. Группа
добно-линейных отображений и ее св-ва. R и C дифференцируемость. Условия
Коши-Римана. Определение аналитических функций. Конформность голоморфного
отображения.
Дробно-линейным
называется отображение (функция) вида (az+b)/(cz+d), ad-bc¹0.
Обобщенной окружностью
называется окружность или прямая.
Теорема.
Дробно-линейная функция гомеоморфно отображает комплексную плоскость на сферу
Римана.. В частности, оно переводит обобщенную окружность в обобщенную
окружность.
Дробно-линейные функции порождают группу.
Симметричными относительно окружности называются такие две точки, лежащие на одном
луче, что произведение расстояний от
которых до центра окружности равно квадрату радиуса .
Теорема.
Дробно-линейные функции отображают симметричные точки в симметричные.
Обобщенной окружностью
называется окружность или прямая.
Однолистной
называется такая функция, что из совпадения двух точек образа следует равенство
прообразов.
Многолистной
называется функция, не обладающая взаимной однозначностью.
С дифференцируемой (R-дифференцируемой) функцией F называется функция, отличная от
С-линейной (R-линейной) на бесконечно малую величину в достаточно
малой окрестности точки z, то есть при малых Dz, DF=F(z+Dz)-F(z)=l(Dz) + o(Dz),.
Дифференциалом отображения С-дифференцируемой функции F называется ее линейное приращение l(Dz) в достаточно
малой D-окрестности заданной
точки z .
Конформной
называется такое R-дифференцируемое
отображение, сохраняющее углы.
Производной функции F называется предел отношения двух приращений: дифференциала
функции к приращению аргумента.
Теорема.
Функция С-дифференцируема в точке титт, когда
она имеет производную в этой
точке.
Теорема (Условие Коши-Римана). Комплексно
значная функция ¦(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z титт, когда частные
производные функций u и v связаны соотношениями: и .
Аналитической
или голоморфной в точке z называется такая функция F,
что она С-дифференцируема в некоторой
окрестности этой точки.
Аналитической
или голоморфной в бесконечной точке
называется такая функция F, что G(z):=F(1/z) голоморфна в
точке z=0.
Теорема.
Функция комплексно дифференцируема в точке титт, когда она конформна в этой точки.
Функция
Об-ть конформности
Св-ва
Область однолистности
Область определения
Zn
С{0}
zn=wn, если argz =argw + k×2p/n.
Увеличивает углы с вершиной в 0 в n раз
C®C
Ez
C
Периодичная с периодом 2pi. Горизонтальная
полоса шириной 2p отображается в плоскость с разрезом вдоль
действительной полуоси.
b