Министерство общего и профессионального
Образования Российской Федерации
Воронежский государственный университет
Физический факультет
. Кафедра физики
. полупроводников и
. микроэлектроники
Курсовая работа
Методы численного проектирования МДП приборов
. Руководитель
. к.т.н Головин С.В.______
. Исполнитель
. студент 3 курса д/о
. Савченко А.А. _________
Воронеж, 1999
Реферат
страниц 23,рисунков 4
В данной работе представлен обзор литературы по теме “ Методы численного
проектирования МДП приборов”.Обзор содержит обобщающее введение в проблему
получения математических моделей МДП-структур,методы и алгоритмы решения
задачи численного моделирования.
Содержание
I.Введение……………………………………………………………………3
II.Математическая модель…………………………………………….…….4
1. Основные уравнения……………………………………………….4
2. Модели подвижности и рекомбинации.Краевые и начальные условия………………………………………………………………7 III.Численное решение основной системы уравнений …………………...8
3.1 Алгебраизация ФСУ………………………………………………..9
3.1.1 Дискретизация уравнения Пуассона…………………………..11
3.1.2 Дискретизация уравнения непрерывности……………………13
3.2 Решение нелинейной алгебраической задачи……………………13
3. 3.2.1 Метод установления……………..……………………………13
3.2.2 Другой вариант метода установления…..……………………14
3.2.3 Методы линеаризации для решения нелинейной системы…15
1. Итерационные методы решения линеаризированных уравнений…………………………………………………...17
IV.Заключение………………………………………………………………...22
Литература…………………………………………………………………….23
I.Введение.
С середины 60-х гг. начало складываться новое направление в моделировании
п/п приборов, предполагающее замену реального объекта его математической
моделью, которая впоследствии решается на ЭВМ методами вычислительной
математики. Моделью фрагмента твёрдотельной микроэлектронной структуры
является система уравнений физики полупроводников, описывающая процессы
переноса носителей заряда и распространения потенциала электрического
поля в приборе. Такой подход позволяет учесть и исследовать различные
нелинейные физические эффекты (Эрли, Кирка и др.) и их влияние на
внешние электрические характеристики приборов.
Развитие вычислительной техники и появление эффективных численных методов
решения уравнений математической физики сделали возможным появление двух и
трёхмерных моделей. Необходимость таких моделей обусловлена рядом причин .
1.При анализе приборов с микронными размерами рабочих областей
необходим многомерный подход.
2.Во многих современных приборах движение носителей тока имеет
двумерный характер.
3.Многомерный анализ позволяет часто в традиционных приборах увидеть
новые эффекты.
4.Невозможность внесения исправлений в готовый прибор и
неоправданные затраты на совершенствование п/п приборов с помощью
многочисленных тестовых итераций делают эффективной и экономически
оправданной методологию численного моделирования.
Таким образом, располагая пакетом программ, реализующими численные модели,
можно проектировать приборы непосредственно на ЭВМ, значительно сокращая
количество длительных и дорогостоящих экспериментов.
В данной работе описываются двумерные численные модели, основанные на
решении уравнений переноса носителей с помощью аппарата конечных разностей.
II.Математическая модель.
1.1.Основные уравнения .
Моделируемая МДП-структура, заполняющая некоторый объём, рассматривается
как обьеденение областей, каждая из которых соответствует определённому
материалу (рис.1) .Математические модели состояния металлических контактов
считаются известными. Следовательно, моделированию подлежат тоько области
полупроводника и диэлектрика.
Можно записать систему уравнений с достаточной точностью описывающую
процессы, происходящие в полупроводнике [1].
Потенциал электрического поля описывается уравнением Пуассона:
??= -q(p-n+Nd-Na)/??0 ,
(1.1)
Уравнение непрерывности для носителей заряда: divJn-qRn-q =0 ,
(1.2)
divJp+qRp+q =0 ,
(1.3)
Jn=qDn?n-nVn ,
(1.4)
Jp= pVp –qDp?p ,
(1.5)
Где n и p -концентрации электронов и дырок; ? - электрический потенциал;
Dn и Dp–коэффициенты диффузии для электронов и дырок; Vn и Vp –скорости
дрейфа электронов и дырок; Jn и Jp плотности потоков электронов и
дырок; R- превышение скорости рекомбинации над скоростью генерации , Na и
Nd -концентрации донорной и акцепторной примеси; q -заряд электрона; ??0-
диэлектрическая проницаемость.
Исток Затвор Сток
Подложка
Рис.1.Схематическое изображение МДП-структуры.
Необходимо отметить, что эффекты сильного легирования не оказывают
существенного влияния на процессы в МДП-структурах [1], поэтому в
уравнениях (1.4) –(1.5) они не учтены.
Уравнение Пуассона описывает области полупроводника и диэлектрика.Уравнения
непрерывности действительны только для полупроводникового материала. На
границе раздела диэлекрик-полупроводник ( на линии AB рис.1) выполняются
условия [2]:
?п[??п (?]-?д[??д (?]’? ,
где ?-еденичный вектор, ортогональный границе раздела, ?-поверхностная
плотность заряда ,которая считается известной (часто полагают ? =0).
Для упрощения вида уравнений пользуются нормировкой всех величин входящих в
систему, для этого все величины домножаются на соответствующий коэффициент.
Масштабные коэффициенты приведены в литературе[2][3].
Уравнения (1.1)-(1.5) можно записать в интегральной форме:
(Jn·?)dS= R0dV,
(1.51)
(Jp·?)dS= R0dV ,
(1.52)
?(?? ·?)dS= (n-p-N-N?)dV, (1.53)
N=Nd-Na,
N?=?/h,
N?-”концентрация” поверхностного заряда,приведённая к обьёму ячейки Vi
( h-сторона ячейки,перпендикулярная к границе раздела).
Система (1.51)-(1.53) содержит три интегральных тождества каждое из которых
соответствует уравнению Пуассон, либо уравнению непрерывности.
Причём теперь уравнение Пуассона описывает как точки принадлежащие
диэлектрической и полупроводниковой средам, так и точки, лежащие на
границе раздела этих сред.
1.2. Модели подвижности и рекомбинации. Краевые и начальные условия.
Для полной постановки задачи помимо основных уравнений (1.1)-(1.5)
((1.51)-(1.53)) необходимо задать модели подвижностей ?n и ?p, скорости
рекомбинации R(p,n), а так же сформулировать краевые и начальные условия. В
настоящее время применяются различные эмпирические формулы для ?n и ?p.
Наиболее широко применяется модель Ямагучи [1][2], согласно которой ?n и
?p определяются по формулам:
?n= 65+1265 ( 1+ ( Nt /8.5 1016)0.72)-1 ( 1+|E/8000| 2 ,
(1.60)
?p= 47.7+ 447(1+( Nt / 6.3 1016)0.76)-1 ( 1+|E/1.95 10 4| , (1.61)
где Nt=Na+Nd,
Скорость рекомбинации обычно задают, учитывая рекомбинацию Оже и Шокли-Рида-
Холла, а так же ударную ионизацию:
R0=Rшрх+ROже-Gуд ,
(1.70)
Rшрх= ,
(1.71)
Rоже=(Cnn+Cpp)(np-nie2),
(1.74)
Gуд=?nnVn+?ppVp,
(1.73) ni=nieexp[(Et-Ei)/kT],
(1.74) nie=exp[q?G /2kT];
(1.75)
nie-эффективная собственная концентрация носителей заряда .
Et –энергетический уровень центров рекомбинации,
?G-экспериментально определяемый параметр,
?n,?p-коэффициенты ионизации для электронов и дырок,
В точках поверхности раздела полупроводник-металл концентрации носителей
определяются профилем легирования :
n0=N/2+ (N/2)2 +nie2 ,
(1.80)
p0=-N/2+ (N/2)2 +nie2 ,
(1.81)
Значение электрического потенциала зависит ещё и от прикладываемого к
контакту напряжения:
?=U+ln(n0/nie) или ?’U+ln(p0/pie) ,
(1.90)
Для отражения границ задаются условия:
(-???)=0,(Jn?)=0,(Jp?)=0 ,
(1.91)
Таким образом, математической моделью фрагмента МДП-структуры является
система дифференциальных уравнений в частных производныx, дополненная
соответствующими граничными условиями. Такая система называется основной
или фундаментальной (ФСУ).
III.Численное решение основной системы уравнений.
Всё многообразие численных моделей можно разделить на два больших
класса.Модели, относящиеся к первому, основаны на решении уравнений
переноса носителей численным методом, а именно, с помощью аппарата конечных
разностей. Модели второго класса основаны на представлении активного
прибора в виде совокупности большого числа сосредоточенных элементов или
отдельных секций, отражающих многомерный характер структуры прибора.
В данной работе рассматриваются модели МДП-структур, относящиеся по
введённой классификации к первому классу. В этом методе производные
неизвестных функций, входящие в исходные дифференциальные уравнения и
краевые условия, заменяются конечно-разностными отношениями (построение
разностной схемы), в результате чего получается система алгебраических
уравнений, которая затем решается прямыми или итерационными методами.
3.1. Алгебраизация ФСУ,
На первом этапе решения системы дифференциальных уравнений необходимо
осуществить алгебраизацию задачи путём аппроксимации на сетке множества
точек, которыми моделируется область изменения неизвестных.
Каждое из трёх основных уравнений математической модели в интегральной
форме выражает закон, который выполняется как в элементарной ячейке, так и
во всей области определения,что является следствием фундаментальных
физических свойств непрерывности электрического смещения и тока.конечно-
разностная схема предполагает сохранение этих свойств и для алгебраических
уравнений.
Рассмотрим некоторые вопросы касающиеся построения сеток дискретизации[2].
Соображения удобства реализации алгоритма решения основной системы на ЭВМ,
а так же требование его экономичности обуславливают применение регулярных
сеток, расположение узлов в которых подчиняется определённым
закономерностям. В практике численного моделирования микроэлектронных
структур примеяются как непрерывные прямоугольные (неравномерные), так и
треугольные сетки (рис.2.). Треугольная сетка позволяет с меньшим
количеством дополнительных узлов сгущать сетку в областях локальных
неоднородностей (рис.2.б).
При автоматическом построении сетки нужно знать где необходимо сгущение
узлов и как интерполировать различные величины для вновь введённых точек
сетки. Пространственная сетка должна быть такой, чтобы ошибка дискретизации
была распределена по ней равномерно, т.е чтобы частные производные по
пространству аппроксимировались с заданной точностью. Метод конечных
разностей наиболее удобно реализуется на непрерывных
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
а)
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
б)
Рис.2.Виды сеток и их локальные уточнения.
прямоугольных сетках.Он является точным, если значения величин в каждой
точке сетки могут быть описаны полиномом второго порядка.
3.1.1 Дискретизация уравнения Пуассона
В настоящее время для конструирования разностных схем, аппроксимирующих
исходные дифференциальные уравнения, применяют различные методы. Например,
с помощью интегро-интерполяционного метода, предложенного А.Н.Тихоновым и
А.А.Самарским естественным образом можно получить следующую схему [1].
В области V={(x,y),0