Фирсов Дмитрий 441
№368В
Отобразить верхнюю половину плоскосто сразрезами по отрезкам [pic] на верхнюю полуплоскость.
Решение:[pic]
Отображение [pic] отображает верхнюю полуплоскость с разрезами на верхнюю полуплоскость без разрезов (под операцией взятия в квадратные скобки надо пономать взятие целой части от числа). Докажем это:
Рассмотрим отображение [pic] из полосы [pic] полуплоскости сразрезами в полуплоскость без разрезов. [pic](*) совершенно очевидно
,что в нашем случае [pic]. То есть, мы получаем верхнюю полуплоскость без действительной оси. Рассмотрим образ луча [pic]. Подставляя в формулу (*) значения z на луче мы получим в образе луч, лежащий на действительной оси [pic]. В результате мы получили, что образом полосы
[pic](1) является [pic]. Если на полосу [pic] плоскости без разреза подействовать отображением sin(Z) то в образе получим такое множество
[pic](2). Применив отображение [pic] к полосе(1) с разрезом в образе получим множество (2). Поэтому функция [pic] отображает полосу [pic] с разрезом в полосу [pic] без разреза. Продолжим эту функцию на всю полуплоскость с разрезами. Рассмотрим функцию [pic] заданную в полосе
[pic] с разрезом. Функция [pic] отображает эту полосу на полосу [pic] без разреза. И тогда отображение [pic] отображает полосу [pic] без разреза. Проверим является ли функция [pic] аналитическим продолжением функции [pic]. Для этого применим теорему:
Теорема.
Пусть функция [pic] аналитична в области [pic] и функция [pic] аналитична в области [pic]. И области [pic] и [pic] имеют общий фрагмент граници [pic]. Если функции на [pic] совпадают то функция
[pic] является аналитическим продолжением функции [pic] в область
[pic].
Естественно функции [pic] и [pic] совпадают на луче [pic]. Поэтому функция [pic] является аналитическом продолжением функции [pic] на полосу [pic]. Совершенно аналогично мы можем продолжмть функцию на всю верхнюю полуплоскость с вырезами. И в результате получим функцию: [pic] отображающую верхнюю полуплоскость с вырезами на верхнюю полуплоскость без вырезов.