Т.Сумма смежных углов = 180(
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение
сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не
пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно
провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Признаки параллельности прямых. Е
А В В А А В
С Д Д
Д С С
(ВАС (ДСА внутр. одностор. (1рис)
(ВАС (ДСА внутр. накрест лежащ. (2)
(ЕАВ (АСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. ( =, то
прямые параллельны.
Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,(прямые|
|.
Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. (1=(2
Но (1=(3 (вертикальные)((3=(2.Но (2 и (3-накрестлежщие.(По Т 1 a | | b(
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност.
(=180(, то прямые | |(
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой, то внутр.накрестлеащие (=, со-
ответств.(=, сумма внутр.одност(=180(.
Перпедикулярные пр-е пересек-ся (90(.
1.Через кажд.тчку прямой можно провести ( ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки (( данной прямой) можно опустить перпендикуляр( на данную
прямцю и только 1.
3. две прямые ( 3-й параллельны.
4. Если прямая ( 1-й из | | прямых, то она ( и другой.
Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать
около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180(/n); r = a / 2 tg (180()
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого( пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в
отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. ( пересек. в 1 тчке -
центр впис. Круга.
4. Все 3 (, восстановленные из середин сторон (, пересе. в 1 тчке - центр
опис. круга.
5. Средняя линия | | и = ( основания
H(опущ. на стор. a) = 2(p(p-a)(p-b)(p-c) a
M(опущ на стор a) = ( ( 2b2+2c2 -a2
B (-‘’-)= 2( bcp(p-a) / b+c
p - полупериметр
a(=b(+c(-2bx, х-проекция 1-й из сторон
Признаки равенства (: 2(=, если = сотв.
1. 2 стороны и ( между ними.
2. 2 ( и сторона между ними.
3. 2 ( и сторона, противолеж. 1-му из (
4. три стороны
5. 2 стороны и ( , лежащий против большей из них.
Прямоугольный ( C=90( a(+b(=c(
NB! TgA= a/b; tgB =b/a; sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний ( H= (3 * a/2
S (= ( h a =( a b sin C
Параллелограмм
d(+d`(=2a(+ 2b(
S =h a=a b sinA(между а и b)
= ( d d` sinB (между d d`)
Трапеция S= (a+b) h/2 =(uvsinZ= Mh
Ромб S=a h =a(sinA= ( d d`
Окружность L= (Rn( / 180(,n(-центр(
Т.Впис.(= ( L , L-дуга,на ктрую опир(
S(cектора)= ( R((= (R(n( / 360(
Векторы.. Скалярное произведение
(а(b=|(a| |(b| cos ((a ((b),
|(a| |(b| - длина векторов Скалярное произведение |(a|(x`; y`( и |(b|(x``; y``(, заданных своими
коорди-натами, =
|(a| |(b| = x` ( y` + x`` ( y``
Преобразование фигур
1. Центр. Симметрия
2. Осевая симметрия (()
3. Симм. Отн-но плоскости (()
4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k(0 -
это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
- все точки оси переходят сами в себя
- любая точка А( оси р А(А` так, что
А и А` ( (, ((р, (АОА` = (= const, О- точка пересеч. ( и р.
Результвт 2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос (x,y,z)((x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 - движение.
Св-ва подобия.
1. АВС((а); A`B`C` ((a`)
2. (p) ( (p`); [p)([p`); (((`; (A((A`
3. Не всякое подобие- гомотетия
NB! S` = k( S``; V ` = k 3 V ``
Плоскости.
Т. Если прямая, ( к.-л. плоскости ( , | | к.-л. прямой, ( (, то она | | (
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| |
(а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й ( | | двум
пересек. прямым другой (, то ( | | (.
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак ( прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, (каждой из 2-х
перек-ся прямых, то прямая и пл-сть (.
Т. 2 ( к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых (, то и другая ( плоскости.
Т. Признак ( 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ( к др. п-сти, то он
( этой л-сти.
Дано [a)( (,[a) ((,( ((= (p).Д-ть: ( ( (
Док-во. [a)( (=(М. Проведем (b) через М, (b)((p). (a)((b) - линейный (
двугранного угла между ( и (. Так как [a)( (((a)((b)( (a)((b)=90((( ( ((
Т. Если 2 пл-сти взаимно (, то прямая
1-й пл-сти ( линии пересеч. пл-стей, ( 2-й пл-сти.
Т. О 3-х (.. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ( наклонной,
необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ( проекции наклонной.
Многогранники
Призма. V = S осн ( a - прямая призма
a - боковое ребро , S пс- S (-го сечения
V = S пс ( а - наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех (.
Фигуры вращения
Цилиндр V=(R(H; S= 2(R (R+H)
Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * (R(H
S= Sосн+ Sбок= (R (r + L); L-образующая
Сфера «оболочка» S= 4(R(
Шар М= 4/3 (R3