КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.
§1. Пространство R(p1,p2).
А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,(e}, где а и(e соответственно точка и вектор.
Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a= ((e , d(e= W(e
(1),
причем формы Пфаффа ( и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного
аффинного пространства :
D ( = ((W , DW=W(W=0.
Пусть e* - относительная длина вектора e* =(e + d(e + 1/2d2(e + 1/6d3(e
+... по отношению к вектору (е. Тогда (e* =e*(e. Из (1) получаем :e*
=1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом
относительной длины вектора (e* , близкого к (e , по отношению к (e.
Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1.
Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора (е –
в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -(е.
Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно
вид: W+(=0, -W+(=0.
Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2)
являются формы Пфаффа : W+( , -W+(.
Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является
дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по
отношению к р1р2.
§ 2. Отображение f.
А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,(ej}.
Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют
соответственно вид :dp=Wjej ; d(ej= Wj k;
DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .
Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в
пространстве R(p1,p2):f:A2(R(p1,p2).
Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f
выполняется : rang f=2 (1)
Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные
уравнения отображения f запишутся в виде :
Q+W=(jWj ; Q-W=(jWj (2)
Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение
f-1: R(p1,p2)(A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные
уравнения отображения f-1 имеют вид :
Wj=(j(Q+W)+(j(Q-W) (3)
Из (2) и (3) получаем :
(k(j+(k(j=(jk
(j(j=1
(j(j=1 (*)
(j(j=0
(j(j=0
Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером
нулевого порядка отображения f.
§3.Фундаментальные геометрические объекты
отображения f.
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения
f.
D(?jWj-W-Q)=0,
получаем : d?j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
D(?jWj+W-Q)=0
получаем : d?j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f
имеет вид :
Q+W=?jWj
Q-W=?jWj d?j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk d?j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWj Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={?j,?j} является
геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим
объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение
системы (2) : d?k^Wjk+?kdWjk+14(?j?k-?k?j)^Wk+14(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0.
получим:
(d?jt-?ktWjk-?jkWtk+14(?k?jt-?k?jk)Wk+116?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0 d?k^Wjk+?kdWjk+14d(?j?k-?k?j)^Wk+14(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0
получим:
(d?jt-?ktWjk-?jtWtk+14(?k?jt-?k?jt)Wk+116?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0
обозначим:
?j=d?j-?tWjt
?j=d?j-?tWjt
?jk=d?jk-?tkWkt-?jtWkt
?jk=d?tkWjt-?jtWkt
Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения
f примет вид:
Q+W=?jWj
Q-W=?jWj d?j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk d?j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
(4)
?jk=(14(???jk-???jk)+116?k??(?j-?j)+?jk?)W?
?jk=(14(???jk-???jk)+116?k??(?j-?j)+?jk?)W?
Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={?j,?j,?jk,?jk} образует
геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим
объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2)
приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :
ГР={?j,?j,?j1j2,?j1j2,...,?j1j2...jp,?j1j2...jp}.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.
Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин
{?j},{?j} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их
основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для
каждой точки P две инвариантные прямые:
?jXj=1 ; ?jXj=1 (6)
не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что
прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {?j,?j}
являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из
координат основных ковекторов. Таким образом , величины {?j,?j}
охватываются объектом Г1.
Из (*) получаем: d?j=-?kWkj-14(?j+?j)?tWt-?kt?k?tWt-?ktWt^?k?j d?j=-?kWkj-?kt?k?jWt-?kt?k?jWt+14?t(?j+?j)Wt
Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты,
охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.
Предположение 1.Конец вектора v1=?jej (вектора v2=?jej) лежит на прямой
(6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым
(6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:
?jXj=0 , ?jXj = 0
(7).
Предположение 2. Основные векторы {?j} и {?j} параллельны прямым (6)
соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное
расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:
?jXj=1
V2
V1 ?jXj=1
Система величин ?j=?j-?j образует ковектор: d?j=?kWjk+(?jk-?jk)Wk.
Определяемая им прямая ?jXj=0 (8) проходит через точку Р и точку
пересечения прямых (6).
Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2) содержащее элементы
(р1,р2) определяемое условием: (р1*,р2*)?W?p1*p2*=p1p2.
Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W)
многообразия W при отображении f.
Доказательство:
] (p1*,p2*)?W и p1*=p1+dp1+12d2p1+... , p2*=p2+dp2+12d2p2+... .
Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где e=1+2W+... является относительной
длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, (р1*р1*)?W?W=0.
Из (2) получим: W=?1Wj
Следовательно, (р1*р2*)?W равносильно ?jWj=0 (9)
Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.
При фиксации элемента (р1,р2)?R(p1p2) определяется функция h:
(p1*p2*)?h(p1p2)>e?R, так, что р1*р2*=е р1р2
В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о.,
линия f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9)
является дифференциальным уравнением линии f-1(W).
]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1p2), содержащие элемент (р1р2) и
определяемые соответственно уравнениями:
(p1*,p2*)єW1?p2*=p2.
(p1*,p2*)єW2?p1*=p1.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу
многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f.
Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно
вид:
?jWj=0
?jWj=0.
Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p2), содержащее (р1р2) и
определяемое условием: (p1*p2*)єW0?Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р1*р2*.
Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.
Предложение 3. Прямая (?j+?j)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к
прообразу f-1(W0) многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное
уравнение линии f-1(W0) имеет вид: (?j+?j)Wj=0.
Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W1), f-
1(W2), f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку.
Доказательство вытекает из (7),(8),(10).
§5. Точечные отображения, индуцируемые
отображением f.
Рассмотрим отображения:
П1: (р1,р2)?R(p1,p2)>p1?A1 (5.1)
П2: (р1,р2)?R(p1,p2)>p2?A1 (5.2)
Отображение f: A2>R(p1,p2) порождает точечные отображения:
?1=П1?f: A2>A1 (5.3)
?2=П2?f: A2>A1 (5.4)
В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений ?1 и ?2
меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={?j,?jk} и
Г2,2={?j,?jk} объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго
порядка отображений ?1 и ?2.
В работе доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет
соответственно вид: x=1+?jXj+1/2?jkXjXk+1/4?y?kXjXk+, (5.5) y=-1+?jXj+1/2?jkXjXk+1/4?y?kXjXk+, (5.6)
Введем системы величин:
?jk=?jk+1/4(?j?k+?k?j),
?jk=?jk+1/4(?j?k+?k?j)
Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид: x=1+?jXj+1/2?jkXjXk+ (5.7) y=-1+?jXj+1/2?jkXjXk+ (5.8)
В доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:
?1 ?2 1 0
=
?1 ?2 0 1
Этот репер является каноническим.
Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f
является единичной матрицей.
Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид: x=1+X1+1/2?jkXjXk+ (5.9),
y=-1+X2+1/2?jkXjXk+ (5.10).
§6. Инвариантная псевдориманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
Gjk=1/2(?j?k+?k?j)
Из (3.1) получим:
dGjk=1/2(d?j?k+?j?k+d?k?j+?kd?j)=1/2(?k?tWjt+1/4?j?k?tWt-
14?k?t?tWt+?k?jtWt+?j?tWkt+
+1/4?j?k?tWt-1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-
1/4?k?t?jWt+
+?k?jtWt),
dGjk=1/2(?k?t+?k?t)Wjt+1/2(?j?t+?t?j)Wkt+GjktWt,
где Gjkt=1/2(?k?jt+?y?kt+?j?kt+?k?jt-1/2?j?k?t+1/2?j?k?t-
1/4?j?k?t+1/4?j?k?t+1/4?j?k?t-
-1/4?j?k?t) (6.3).
Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный тензор. Он
задает в А2 инвариантную метрику G: dS2=GjkWjWk (6.4)
Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при
отображении f метрике dS2=?2-W2 (6.5) в R(p1,p2).
Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.
Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или
?jWj?kWk=0 (6.6)
Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические
направления метрики G.
Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар.
На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек
(x,U) и (y,U’) расстояние между ними определяется как двойное отношение
W=(xy,UU’)
Теорема: Метрика dS2=?2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .
Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2
Соответственно: 1,-1,1+?+W,-1+?-W.
Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем dS2=?2-W2
Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы
ее проективных преобразований.
В работе был построен охват объекта
Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)
псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2={?j,?j,?jk,?jk}.
Он определяется формулой: Гljk=?j?jk+?l?jk-?l?t?k+?l?t?k.
§7. Инвариантная риманова метрика.
Рассмотрим систему величин: gjk=?j?k+?j?k (7.1)
Из (3.1) получаем:
dgjk=d?j?k+d?k?j+d?j?k+d?k?j=?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-
1/4?j?t?jWt+?k?jtWt+?j?tWkt+
+1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-
1/4?k?t?jWt+?k?jtWt+
+?j?tWkt+1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt.
dgjk=(?k?t+?k?t)Wjt+(?j?t+?j?t)Wkt+gjktWt, (7.2)
где gjkt=1/2?j?k?t-1/2?j?k?t-1/4?k?t?j-
1/4?j?t?k+1/4?j?k?t+1/4?j?k?t+?k?jt+?j?kt+
+?k?jt+?j?kt (7.3)
Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный тензор. Он
задает в А2 инвариантную метрику g: dS2=gjkWjWk (6’.4)
Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6’.4) соответствует при
отображении f метрике: dS2=2(?2+W2) (6’.5)
в R(p1,p2)
Из (6’.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.
Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:
GjkXjXk=1 (6’.6)
или (?jXj)2+(?jXj)2=1 (6’.7)
Из (6’.7) вытекает:
Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р
является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых,
параллельных этим векторам.
Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности
полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.
V1
V2 рис.3.
Пусть gjk=?j?k+?j?k (6.8)
В силу (2.7) имеем: gjtgtk=(?j?t+?j?t)(?t?k+?t?k)=?j?k+?j?k=?kj (6’.9)
Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как
известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле
ковектора и наоборот.
Предложение 7.2: Поле основного вектора {?j} (вектора {?j}) соответствует в
метрике g полю основного ковектора {?j} (ковектора {?j}).
Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную
длину в метрике g.
Доказательство:
?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,
?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,
?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=0.
Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).
В работе был построен охват объекта
?jkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)
римановой связности ? фундаментальным объектом
Г2={?j,?j,?jk,?jk}
Он определяется формулой:
?jkl=?l?jk+?lMjk+Gjk(?l-?l)+1/2(?l+?l)(?j?k-?j?k),
где Gjk=1/2(?j?k+?k?j).
-----------------------
[pic]