ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: «Элементарные конфортные отображения»
Выполнила: студентка группы М-31 физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек [pic]и
[pic]. Если задан закон [pic], ставящий в соответствие каждому [pic] точку
(или точки) [pic], то говорят, что на множестве [pic]задана функция
комплексной переменной со значениями в множестве [pic]. Обозначают это
следующим образом: [pic]. (Часто говорят также, что [pic]отображает
множество [pic]в множество [pic].) Задание функции [pic] эквивалентно заданию двух действительных функций
[pic] и тогда [pic] , где [pic], [pic]. Как и в обычном анализе, в теории
функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные
функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. [pic] [pic] - линейная функция. Определена при всех [pic].
Отображает полную комплексную плоскость [pic]на полную комплексную
плоскость [pic] . Функция [pic]и обратная ей [pic]- однозначны. Функция
[pic]поворачивает плоскость [pic]на угол, равный [pic], растягивает
(сжимает) ее в [pic] раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на
величину [pic]. Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. [pic]. Определена на всей комплексной плоскости, причем [pic],
[pic]. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки [pic]. Отображает
полную комплексную плоскость [pic]на полную комплексную плоскость [pic],
причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же
окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят
в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. [pic] - показательная функция. По определению [pic], т.е. [pic],
[pic], [pic]. Из определения вытекают формулы Эйлера:
[pic] ; [pic]; [pic];
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.
[pic]периодична с периодом [pic]. Отображает каждую полосу, параллельную
оси [pic], шириной [pic] [pic]в плоскости [pic]в полную комплексную
плоскость [pic]. Из свойств [pic]отметим простейшие: [pic] , [pic]
4. [pic]- логарифмическая функция (натуральный логарифм). По
определению: [pic]. [pic]Выражение [pic] называется главным
значением [pic], так что [pic]. Определен для всех комплексных чисел, кроме
[pic]. [pic] - бесконечно-значная функция, обратная к [pic]. [pic], [pic]
5. [pic] [pic]- общая показательная функция. По определению, [pic].
Определена для всех [pic], ее главное значение [pic], бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции [pic];[pic];[pic];[pic] По определению,
[pic]; [pic];
[pic] ; [pic]
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же
функциями действительной переменной, а именно:
[pic] , [pic] Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: [pic],
[pic], [pic], [pic], Решение. По определению, [pic],[pic], [pic]; если [pic], то очевидно,
[pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]
[pic], [pic], [pic], [pic]
[pic], [pic], [pic], [pic] Найти суммы:
1) [pic]
2) [pic] Решение. Пусть: [pic], а
[pic]. Умножим вторую строчку на [pic],
сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: [pic]
[pic]; Преобразуя, получим:
[pic], [pic] 3. Доказать, что: 1) [pic] 2)[pic]
3)[pic] 4)[pic] Доказательство: 1) По определению, [pic] 2) [pic] 3) [pic] ; [pic]
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного
аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций:
1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic];
Решение: [pic] и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
[pic], [pic], [pic],
[pic]
Напомним, что [pic] 2) [pic] [pic], [pic], [pic] 3) [pic] [pic] , [pic] ,
[pic] , [pic] . Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:
[pic] ; [pic] ; [pic] Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь: [pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic];
[pic] ; [pic] Вычислить: 1) [pic]; 3) [pic] ; 5) [pic];
2) [pic]; 4) [pic] ; 6) [pic] ; Решение. По определению, [pic], [pic]
1)[pic], [pic], [pic],
[pic]
2) [pic], [pic], [pic],
[pic]
3) [pic], [pic], [pic], [pic]
4)[pic], [pic], [pic],
[pic] 5)[pic], [pic], [pic],
[pic] 6)[pic], [pic], [pic], [pic] Найти все значения следующих степеней:
1) [pic]; 2) [pic] ; 3)[pic] ; 4)[pic]; Решение. Выражение [pic] для любых комплексных [pic] и [pic]определяются
формулой [pic]
1) [pic]
2)[pic]
3) [pic]
4) [pic].
8. Доказать следующие равенства:
1) [pic];
2) [pic];
3) [pic]
Доказательство: 1) [pic], если [pic], или [pic] , откуда [pic], или
[pic].
Решив это уравнение, получим [pic], т.е. [pic] и [pic]
2) [pic], если [pic], откуда [pic], или [pic], следовательно,
[pic], [pic]
3) [pic], если [pic], откуда [pic], или
[pic].
Отсюда [pic], следовательно, [pic]