Министерство Образования РБ.
Средняя общеобразовательная школа №42
«Три знаменитые классические задачи древности»
Выполнил: ученик 9 класса «Д» Иванов Иван
Проверил: Леонова Вера Михайловна
г. Улан – Удэ
2005 г.
Введение
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было
в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак
не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и
линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не
считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три
знаменитые классические задачи древности:
о квадратуре круга о трисекции угла
[pic]
о удвоении S круга.
[pic]
Задача о квадратуре круга Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей
умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре
круга, т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата,
равновеликому данному кругу. Если обозначить радиус круга через r, то речь
будет идти о построении квадрата, площадь которого равна [pic]r2, а сторона
равна r[pic]. Теперь известно, что число [pic]-отношение окружности к
своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной
непериодической десятичной дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено
с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с
формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача
подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью,
далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим. Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями
задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение построением.
Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна.
Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным
доказательством противного тому, кто, убедившись доказательствами
Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется, что можно
найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить
приближенное значение [pic] (и корня квадратного из [pic]),
удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в
практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а
интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту
задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки. Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и
вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная
постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих
сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх
рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.)
находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре
круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт
Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома
Метона следующие слова:
Возьму линейку, проведу прямую,
И мигом круг квадратом обернётся,
Посередине рынок мы устроим,
А от него уж улицы пойдут –
Ну, как на Солнце! Хоть оно само
И круглое, а ведь лучи прямые!..
Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень
популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал,
что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг
квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим
правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д.,
пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с
окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому
многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель
доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи,
так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом. Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. –
Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение,
возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую
криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим
лунообразные фигуры (Рис. 1), известных под названием «гиппократовых
луночек». В полукруг с диаметром [pic] вписан равнобедренный прямоугольный
треугольник BAC [pic]. На [pic] и [pic], как на диаметрах,
Рис. 1 описываются
полуокружности.
Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются
луночками. По теореме Пифагора:
[pic]. (1)
Отношение [pic] площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как
впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих
диаметров [pic], которые в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC
ровна площади полукруга, построенного на диаметре [pic]. Если из обеих этих
равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что площадь
треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих
луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и
другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал свои изыскания в надежде
дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось. Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти
квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго
доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна.
Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме
циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э.
греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи
одной кривой, которая была найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским.
Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся
за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале
чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков
в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера,
связанную с числом [pic], и содействовала развитию новых понятий и идей в
математике. Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной
задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым
поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их не уменьшалось.
В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено,
зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача до сих пор не
потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих
попыток её решить.
Задача о трисекции угла Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских слов
tria – три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении угла на
три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое
ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом
Платоном. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить ещё
пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый
угол равен 60о. Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол
MAN (Рис. 2). Откладываем на полупрямой [pic] произвольный отрезок [pic],
на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол Рис. 2
CAB
равен 60о, то [pic]= 30о. Построим биссектрису [pic]
угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN
на три равных угла: [pic], [pic], [pic]. Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других
частных значениях угла (например, для углов в [pic], п – натуральное
число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на
три равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь
в первой половине ХIХ в. [pic] Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда
Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не
ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими
инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью
инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например,
Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э.,
пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик
Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной
кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для
черчения этой кривой.
[pic]
Рис. 4
Рис. 5
Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге
«Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду [pic] (рис.4)
окружности радиуса r на отрезок [pic]= r и провести через С диаметр [pic],
то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно на основе теорем о
внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника имеем:
[pic],
[pic] [pic],
значит,
[pic] Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные
части угла AOE. Описав окружность с центром O и радиусом [pic] и [pic],
проводим диаметр [pic]. Линейку CB на которой нанесена длина [pic] радиуса
r (например, помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её
точка C скользила по продолжению диаметра [pic], а сома линейка всё время
проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на
окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE (Рис.5).
Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением
диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через
заданную точку A окружности. В указанном выше построении применяется,
помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а
линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка. Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя
насечками предложенное Кемпе: Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей линейки
обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)
Построение На одной из сторон угла откладываем от вершины B прямую BA = PQ. Делим ВА
пополам в точке М; проводим линии [pic] Рис. 6 и
[pic]. Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так,
чтобы точка Р
линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы
на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через
вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью
часть угла В.
Доказательство
[pic] как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М
прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника
PQM, а потому PN = NМ, а следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и
значит
[pic]
Внешний же [pic]
Вместе с тем [pic].
Значит, [pic]
Итак: [pic]
(Ч.Т.Д.).
Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом
поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом
её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где
вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого.
На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание
некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В
своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру
– и только.
Задача об удвоении куба Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой
математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в
развитии математических методов. Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма
данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х
искомого куба должно удовлетворять уравнению x3 = 2a3, или x = [pic] Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении
квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого
равна 2а2, служит отрезок длиной а[pic], т.е. диагональ данного квадрата со
стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а3, т.е. отрезок
х, равный [pic], не может быть построен при помощи циркуля и линейки.
Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в. Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи
со следующей легендой. На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда
жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они
получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали,
что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый
жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого
жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба
не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное
обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…»
Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что
ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков,
«которые не думают о математике и не дорожат геометрией». Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский,
который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних
пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b, т.е. найти х и
у, которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции: а : х = х : у = у : b (1) Суть одного механического решения задач об удвоении куба, относящегося к
IV в. до н.э. , основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим
на стороне прямого угла отрезок [pic]=а, где а- длина ребра куба (рис.7), а
на другой его стороне – отрезок [pic]=2а. На продолжениях сторон прямого
угла стараемся найти такие точки M и N , чтобы (АМ) и (ВN) были
перпендикулярны к (MN); тогда [pic](х) и [pic](у) будут двумя серединами
пропорциональными между отрезками [pic] и [pic]. Для этого устраивается
угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на
рисунке. Имеем:
[pic]: [pic] = [pic] : [pic] = [pic] : [pic],
или а : х = х : у = у : 2а. Отсюда
[pic]
или
[pic],
т.е.
[pic].
Это значит что отрезок [pic] искомый. Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской
задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед,
Аполлоний, Герон, Папп и др.
Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных
ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к
доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому
поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении
столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При
попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих
гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка
Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как
известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было
случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному»
открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием
которого бледнеют ныне все сокровища Индии. Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.