Распределение Гаусса. Центральная предельная теорема
теории вероятностей. Распределения Пирсона и Стьюдента.
С.В. Усатиков, кандидат физ-мат наук, доцент; С.П.
Грушевский, кандидат физ-мат наук, доцент; М.М. Кириченко, кандидат
социологических наук
Впервые
нормальный закон был обнаружен в Х1Х веке в применении к теории ошибок
измерения Лапласом и Гаусcом. Сейчас, после доказанной Ляпуповым центральной
предельной теоремы, стало уже ясным, почему этот нормальный закон широко
распространен в технике, биологии, социологии, психологии и многих других
сферах человеческих знаний. Все его содержание показано на рисунке 1, на
графике плотности распределения вероятностей.
Рис.1
Рис.1
Плотность распределения вероятностей нормального закона
1,2
- графики с одним средним m и разными стандартными отклонениями s , причем s
130) закон c 2 превращается в нормальный закон
с m = n и s =, поскольку
действует теорема Ляпунова. Но чаще всего слагаемых не более 10. Число n
называеся числом степеней свободы. Смысл f(x) такой же, как и в нормальном
законе: вероятность числовой величине х=c 2 попасть в заданный диапазон равна
площади под кривой f(x). Так, площадь под кривой на отрезке от 0 до n + составляет
более 90% всей площади под всей кривой f(x). Отсюда следут правило “трех s “
для закона c 2: с вероятностью рі 0,9 случайная величина х=c 2 не превосходит
величины n +Ц 2n (очевидно, c 2 не может быть отрицательным).
Наконец,
необходимо упомянуть закон t Стьюдента, полученный из нормального закона и
законаc 2. Случайная величина t получается из дроби в числителе которой стоит
случайная величина Z Гаусса с m=0 и s =1, а в знаменателе - случайная величина
c 2 с n степенями свободы. По -прежнему при больших n закон Стьюдента переходит
в нормальный закон (практически при n і 30). Но даже при небольших n вид кривой
плотности распределения вероятностей для t очень похож на кривую 3 рис.1.
Разница в том, что вместо s =1 для Z необходимо брать s =n /(n -2), т.е.среднее
отклонение t от m=0 больше, чем среднее отклонение Z от m=0. Соответственно
“холм” закона t более пологий, чем “холм” закона Z.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://mschool.kubsu.ru