Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков
в аффинном пространстве
Н.Л. Шаламова, Омский государственный университет,
кафедра математическогомоделирования,
644077
Омск, пр. Мира,55-A
Изучение
упорядоченных аффинных пространств An, n>2, связано, как известно, прежде
всего с основаниями теории относительности [1]. Следуя же квантовой теории, мы
не можем распространять причинно-следственные связи на явления микромира и
поэтому вынуждены рассматривать так называемые "несвязные порядки".
Предполагая при этом, что скорость передачи взаимодействия и в микромире
ограничена, автор получает результаты, изложенные в данной статье.
Рассмотрим
в n-мерном аффинном пространстве An, n>2, несвязный порядок , заданный
семейством подмножеств
An, для которого выполнены условия: (1) ; (2) если , то ; (3) если , то . Несвязность
порядка означает, что . Предполагаем
далее, что верно следующее: (i) ; (ii) для любой .
Замечание
1. Для любого множества A, будем через , int A, и обозначать
соответственно замыкание, внутренность и границу множества A.
Назовем
внешним конусом множества Px следующее множество:
где
lxy - луч, идущий из точки x и проходящий через точку . Считаем
далее, что Cx - конус "с острой вершиной", то есть не содержит прямой.
Известным является факт [1], что семейство внешних
конусов задает порядок в An.
Гомеоморфизм
, для которого
f(Px)=Pf(x) для любой точки , назовем
порядковым -автоморфизмом.
Множество всех порядковых -автоморфизмов
будет группой, которую обычно обозначают . Подгруппа
группы , сохраняющая
фиксированную точку , обозначается
.
Порядок
называется - однородным
или гранично однородным, если для любых найдется такой, что
f(x)=y.
Имеет
место следующая
Теорема.
Пусть , n>2,
инвариантной относительно группы параллельных переносов несвязный порядок в
n-мерном аффинном пространстве An, для которого выполнены условия:
(1)
существует семейство равных и
параллельных телесных одинарных замкнутых выпуклых конусов с острой вершиной
такое, что для любых и ;
(2)
порядок - гранично
однородный.
Тогда
любой порядковый -автоморфизм
будет аффинным преобразованием.
Доказательство
.
Для
любой точки рассмотрим
следующее множество
где
объединение берется по всем -автоморфизмам
f из стабилизатора таких, что
f(v) = uo .
Нетрудно
видеть, что , так как
тождественное преобразование id, очевидно, принадлежит и для него
имеем: id(u0) = u0, и поэтому . В частности,
, , так как для
любого f(e) = e.
По
условию (1) и, кроме того,
если , то
то
есть семейство сохраняется -автоморфизмами
из .
Замечание
2. Не следует думать, что в определении множества , , f(v) = x
точка v- фиксированная. Точка , то есть v-
точка из орбиты точки x, для которой определяется множество Dx.
Рассмотрим
далее множества
Легко
видеть, что (здесь C-v,
K-v- это конусы, центрально симметричные конусам Cv и Kv относительно точки v).
В самом деле, для любой точки , имеем (семейство задает порядок
в An). Поэтому для , f(v) = u0
имеем и . Если же то и . Это
противоречит тому, что . Значит для любой
точки .
Отметим
теперь следующее: каждое множество Dx содержит Cx, а каждое множество D-x-
содержит конус C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы с острой
вершиной, то существует гиперплоскость Tx такая, что , , где , -
полупространства, на которые Tx разбивает An. Утверждается, что в качестве Tx
можно выбрать такую гиперплоскость, которая пересекает конус Cy, по компактному
множеству. Известно, что по отношению к замкнутому однородному выпуклому
телесному конусу Ce с острой вершиной все гиперплоскости, имеющие с непустое
пересечение, можно разделить на три непересекающихся класса. К первому классу
A1 отнесем все гиперплоскости, пересекающие по компактному
множеству. Во второй класс A2 попадут гиперплоскости, имеющие с некомпактное
пересечение и параллельные при этом какой-либо прямолинейной образующей конуса
Ce, принадлежащей его границе . Все
остальные гиперплоскости будут принадлежать к третьему классу A3. Нетрудно
видеть, что вышеупомянутая гиперплоскость Tx не может быть параллельна
какой-либо гиперплоскости из класса A3. Это следует из того, что , а и также , , что
противоречит выбору Tx.
Если
же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то и , что также
противоречит выбору Tx. Значит Tx параллельна некоторой гиперплоскости из
класса A1. Итак, пусть - эта та самая
гиперплоскость, о которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости
Tv из класса A1 и разбивает An на два полупространства и такие, что , . Очевидно,
что в этом случае найдется гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что и множество - компактно.
Если теперь точка , то . Поскольку и порядок - гранично
однородный, то для любой точки будет верно
следующее:
Действительно,
вследствие граничной однородности порядка для любых
точек найдется такой, что
f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но , поэтому и,
следовательно, .
Покажем
теперь, что наш порядок будет
максимально линейчатым, то есть для любой точки имеем . Предположим,
что это не так и найдется точка такая, что луч
не лежит
полностью в Qe, то есть .
Если
, то есть луч
l+x0, за исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть , точка, которая
вместе с некоторым шаром с центром в
точке v0 положительного радиуса лежит в . Точка , значит
найдется такое, что шар
имеет непустое
пересечение с int Q. Выберем точку . Нетрудно
видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу l+x0
число точек пересечения с уже наверняка
больше двух: первая точка лежит на отрезке [m1, m), где , вторая точка
лежит на отрезке (m, m2), где , так как , , . В этом
случае в качестве точки x0 возьмем любую точку из множества .
Пусть
точка . Тогда по
доказанному выше (см. ()), но,
поскольку , множество содержат,
кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно, противоречит (). Значит
порядок - максимально
линейчатый и в соответствии с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3]
любой порядковый -автоморфизм будет аффинным
преобразованием.
Теорема
доказана.
Следствие.
Пусть , n>2, - несвязный
порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство внешних
конусов порядка является
семейством равных и параллельных эллиптических конусов.
Тогда
любой порядковый -автоморфизм будет преобразованием
Лоренца.
Список литературы
Гуц
А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N
2. C. 39-79.
Винберг
Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО.
1965. Т.13. С.56-83.
Гуц
А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных
многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН,
1987. 203 с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/