Замкнутые инвариантные пространства функций на
кватернионных сферах
И.А. Латыпов, Омский государственный университет,
кафедра математического анализа,
Кватернионную
сферу S4n-1 естественно рассматривать как однородное пространство группы Sp(n),
действие задается левыми сдвигами. В связи с этим возникает задача описания
замкнутых Sp(n)-инвариантных подпространств L p при и пространства
непрерывных функций на сфере S4n-1, решенная в данной работе.
1.
Предварительные сведения из теории алгебр Ли.
Группу
Sp(n,C) зададим как множество матриц, удовлетворяющих условию StJS=J, где , 1n -
единичная матрица размером .
Дифференцированием получим соотношение XtJ+JX=0 для элементов алгебры Ли
sp(n,C), а в блочном виде B=Bt, C=Ct.
Выберем базис :
Подалгебра
диагональных матриц будет картановской, - корневая
система, где . Неприводимое
представление алгебры Ли характеризуется своим старшим весом, лежащим в
доминантной камере Вейля и имеющим
целочисленные координаты. Размерность неприводимого
представления, соответствующего старшему весу , вычисляется
по формуле
где
- полусумма
положительных корней. Порядок будем считать лексикографическим. Более подробную
информацию об алгебрах Ли можно найти в [2].
2.
Представления алгебры Ли sp(n,C) в пространствах H(p,q).
Введем
обозначения: Ok- пространство однородных полиномов степени однородности k,
O(p,q) - пространство однородных полиномов степени однородности p и q по
переменным z и соответственно
(однородность понимается в вещественном смысле), Hk - пространство
гармонических полиномов из Ok, H(p,q) - пространство гармонических полиномов из
O(p,q).
Рассмотрим
сначала алгебру u(n). Выберем ее базис над R в виде
Пусть
-
представление группы U(n) в Ok левыми сдвигами, .
Дифференцированием функции s(exp(-tX)z) по t при t=0 получаем представление алгебры Ли
u(n): где , , умножение -
скалярное.
Задавая
в u(n)C базис , получаем
Применим
полученные формулы для представления алгебры sp(n,C)=sp(n)C:
где
wi=zn+i.
H(p,q)
- неприводимые компоненты представления u(n) и u(n)C, см. [4]. Значит,
неприводимыми компонентами представления sp(n) и sp(n,C) будут некоторые подпространства
H(p,q). Введем операторы ,
Проверка на
базисных элементах дает
Предложение
1. Операторы L1 и L2 являются сплетающими для некоторых пар неприводимых
представлений.
Найдем
теперь старшие векторы из H(p,q), соответствующие неприводимым представлениям
sp(n,C), они должны зануляться положительными операторами Dbij для всех i и j и
Daij при i>j. Прямой проверкой получается
Предложение
2. При n>1 многочлен - старший
вектор неприводимого представления sp(n,C) со старшим весом
Теорема
1. При n=1 H(p,q) неприводимо, а при n>1 .
Доказательство
. Размерность H(p,q) равна
идею
доказательства см. в [1].
Если
n=1, вектор порождает
неприводимое подпространство в H(p,q). Поскольку Da11S=(p+q)S, этот вектор
соответствует старшему весу . Тогда 2x1 -
единственный положительный корень, то есть H(p,q)
неприводимо.
Пусть
n>1. Осталось теперь показать, что
Эту
формулу можно доказать по индукции, индуктивный переход делается от пары (p,q)
к паре (p+1,q-1), а , что
доказывает теорему.
Обозначим
через инвариантную
относительно вращений положительную борелевскую меру на S4n-1, для которой .
Следствие
1. Пространство является
прямой суммой попарно ортогональных пространств P(p,q,r).
Следствие
2. Справедливы утверждения: a) В P(p1,q1,r1) и P(p2,q2,r2) при n>1
реализуются эквивалентные представления тогда и только тогда, когда p1+q1=p2+q2
и r1=r2.
b)
При n=1 в H(p1,q2) и H(p2,q2) реализуются эквивалентные представления тогда и
только тогда, когда p1+q1=p2+q2.
Пусть
Ws,r и Ws - пространства линейных комбинаций векторов и соответственно
с комплексными коэффициентами, . Введем также
пространства и при n>1.
Следствие
3. Ws,r и Ws - пространства старших векторов неприводимых представлений со
старшим весом и s соответственно.
Сплетающие операторы неприводимых представлений можно выразить как многочлены
от операторов L1 и L2.
Более
подробные сведения из теории представлений можно найти, например, в [3].
3.
Инвариантные пространства функций на S4n-1.
Пространство
Y на сфере S4n-1 назовем инвариантным, если для всех f из Y и всех g из Sp(n)
f*g лежит в Y. Неприводимость представления группы Ли Sp(n) эквивалентна
неприводимости представления комплексификации ее алгебры Ли sp(n,C), поэтому
пространства P(p,q,r) и H(p,q) при n=1 инвариантны.
Если
Y - инвариантное замкнутое подпространство , то также
инвариантно и ортогональная проекция коммутирует с
Sp(n). Это верно также для ортогональных проекций и .
Когда
в пространствах V и W реализуются неприводимые представления, пространство
сплетающих операторов из V в W либо одномерно (если представления
эквивалентны), либо пусто. Отсюда, из следствия 2 теоремы 1 и предложения 1
вытекает
Предложение
3. Пусть n>1 и линейное отображение коммутирует с
Sp(n). Тогда
1)
если или , то T=0.
2)
если r1=r2 и p1+q1=p2+q2, то найдется константа C, такая что при T=CL2p1-p2,
при T=CL1p2-p1.
Обозначим
через неприводимое
инвариантное пространство со старшим вектором , а через -замыкание
пространства Y.
Теорема
2. Если Y - замкнутое инвариантное подпространство , то , .
Доказательство.
Пусть n>1 и тройка (p,q,r) такая, что . Так как Y
инвариантно и коммутирует с
Sp(n), то -
нетривиальное инвариантное подпространство P(p,q,r). Значит, Пусть и Y1 -
ортогональное дополнение к Y0 в Y. Тогда Y0 инвариантно как ядро оператора,
коммутирующего с Sp(n), значит Y1 также инвариантно. Более того, - изоморфизм,
обратный к которому обозначим
Выберем
другую тройку (p',q',r') и рассмотрим отображение Оно
коммутирует с Sp(n) и переводит P(p,q,r) в P(p',q',r'). Значит, по предложению
3, для всех
(p',q',r'), таких что
Тогда
Y1 - подпространство . Рассмотрим и содержащее
его минимальное инвариантное пространство, оно совпадает с Y1.
Пользуясь
теоремой 1, получаем нужный результат. Случай n=1 доказывается аналогично.
Пусть
далее X обозначает одно из пространств , и C(S4n-1).
Как следствие теоремы об общем виде линейного ограниченного функционала на получается
Предложение
4. При n>1 для всех троек (p,q,r) и всех точек z на S4n-1 найдется полином
Kz из P(p,q,r) такой, что для любой функции f из
Для
всех пар (p,q) и всех точек z на S3 найдется полином Kz из H(p,q) такой, что
для любой функции f из
Следствие.
Операторы и продолжаются
до непрерывных операторов на
Далее
потребуются следующие две леммы, которые приводятся без доказательства.
Лемма
1. Если Y - замкнутое инвариантное подпространство X, то плотно в Y.
Лемма
2. Если Y инвариантное подпространство C(S4n-1), непрерывная функция g не лежит
в равномерном замыкании Y, то g не лежит и в L2-замыкании Y.
Докажем
основной результат данной работы.
Теорема
3. Если Y - инвариантное подпространство X и - из теоремы
2, то .
Доказательство.
По следствию из предложения 4 и определены на . Пусть - L2-замыкание
Так как -замкнуто, то плотно в Y по
лемме 1 и равномерно замкнуто. По лемме 2 Так как и X-непрерывны и
L2-непрерывны, то и
Поэтому
по теореме 2 Так как лежит в
C(S4n-1), то, применяя лемму 2, получаем: = равномерное
замыкание
Отсюда
и из того, что X-плотно в Y и
вытекает
утверждение теоремы.
В
заключение несколько слов об инвариантных алгебрах на кватернионных сферах.
Унитарно-инвариантные алгебры были описаны в [4], их пространства максимальных
идеалов были найдены в работе [5]. В симплектическом случае дело существенно
усложняется из-за кратности представлений в пространствах однородных полиномов.
Однозначного разложения на неприводимые компоненты не получается, и, как
следствие, мера Хаара не будет мультипликативной. Уже при n=1 возникает большое
число инвариантных алгебр, не инвариантных относительно действия унитарной группы.
Список литературы
Виленкин
Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.
Гото
М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.
Наймарк
М. А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.
Рудин
У. Теория функций в единичном шаре из Cn. М.: Мир, 1984.
Kane J. Maximal ideal spaces of
U-algebras // Illinois J. Math. V.27. 1983. N.1. P.1-13.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/