Расчет поверхностной энергии металлов в рамках
моделиобобщенного псевдопотенциала Хейне-Абаренкова
М.В. Мамонова, Р.В. Потерин, В.В. Прудников, Омский
государственный университет, кафедра теоретической физики
В
последнее время интенсивно развиваются методы аналитического описания
поверхностных свойств твердых тел, основанные на определении энергетического
состояния поверхности с привлечением методов квантовой механики. При описании
поверхностных явлений в металлах особенно эффективно применяется метод
функционала электронной плотности [1,2]. В предлагаемой работе в рамках метода
функционала плотности проведен расчет поверхностной энергии для ряда металлов.
Исследованы влияния различных приближений, учитывающих дискретность
кристаллической структуры и неоднородность электронного газа в поверхностном
слое металлов. Для расчета влияния электрон-ионного взаимодействия на величину
поверхностной энергии металлов впервые был использован обобщенный
псевдопотенциал Хейне-Абаренкова. Проведен сравнительный анализ результатов,
полученных с его использованием, с результатами, полученными с привлечением
иных моделей, в частности псевдопотенциала Ашкрофта.
Рассмотрим
полуограниченный металл, граничащий с вакуумом. При расчете поверхностных
свойств определяющей является функция распределения электронной плотности n(z)
вблизи поверхности. Она должна удовлетворять требованию экспоненциального
затухания вне металла и стремиться к объемному значению электронной плотности
внутри металла. Распределение электронной плотности n(z) находится как функция,
обеспечивающая минимум функционала полной энергии неоднородной системы.
Представим функционал полной энергии в виде градиентного разложения :
(1)
где
(2)
есть
плотность энергии однородного электронного газа в атомных единицах, включающая
последовательно электростатическую, кинетическую, обменную и корреляционную
энергии, а
(3)
где
- фермиевский
волновой вектор. являются
соответственно градиентными поправками второго порядка на неоднородность
электронного газа для кинетической энергии в приближении Вейцзекера-Киржница и
обменно-корреляционной энергии в приближении Вашишты-Сингви (VS) [3].
В
качестве пробных функций для потенциала и электронной
плотности n(z) были выбраны решения линеаризованного уравнения Томаса-Ферми:
(4)
где
n0 - объемная электронная плотность, - ступенчатая функция.
В
дальнейшем параметр считался
вариационным, определяемым при минимизации функционала энергии (1). С
физической точки зрения величина представляет
собой характерную толщину поверхностного слоя, на котором резко меняется
электронная плотность.
Поверхностную
энергию металла представим в виде следующей суммы :
(5)
где
- вклад от
электронной системы в рамках модели "желе", когда заряд положительных
ионов в металле считается равномерно и непрерывно размазанным по всему объему; возникает от
электростатического взаимодействия ионов между собой; - связан с разностью в электростатическом
взаимодействии электронов с дискретными ионами и с однородным фоном
"желе". Для можно
воспользоваться аналитическим выражением работы [5]:
(6)
где
Z - валентность ионов; с - расстояние между ближайшими соседями в плоскости
параллельной поверхности; d - межплоскостное расстояние.
Для
вычисления поправки на электрон-ионное взаимодействие воспользуемся широко
применяемым в физике металлов обобщенным псевдопотенциалом Хейне-Абаренкова.
Явный вид данного псевдопотенциала можно записать следующим образом:
(7)
Псевдопотенциал
Хейне-Абаренкова переходит в выражение для другого широко используемого
псевдопотенциала Ашкрофта при V0=0. Для получения нами была
использована методика, развитая в работе [6], согласно которой
(8)
где
имеет смысл среднего
по плоскостям от суммы ионных псевдопотенциалов за вычетом потенциала
полубесконечного однородного фона заряда. Нами было получено для при
-d
(9)
Проводя
суммирование по ионным плоскостям с z=-(i+d/2), i=1,2,... и воспользовавшись
периодичностью потенциала , из (8)
получим
(10)
Проводя
численное интегрирование и минимизацию полной поверхностной энергии (5),
определяем параметр , а затем и
само значение . В настоящей
работе для определения параметров псевдопотенциала Хейне-Абаренкова
использовалось условие минимума объемной энергии металла при наблюдаемом
равновесном атомном объеме В соответствии
с приближением локальной плотности объемная энергия металла выражалась через
параметр плотности rs :
(11)
Минимизация
данного соотношения по rs приводит к выражению, связывающему V0 и Rm :
(12)
В
результате возникает проблема определения второго параметра потенциала (7).
Обычно его определяют по сопоставлению расчетов, проведенных с использованием
данного псевдопотенциала, с какими-либо эмпирическими характеристиками. В
данной работе в качестве такой
Таблица
1
Металл
Z
n0,
d,
c,
rc,
Rm,
V0,
ат.ед.
ат.ед.
ат.ед.
ат.ед.
эрг/см2
ат.ед.
ат.ед.
эрг/см2
Na (ОЦК)
1
0.0038
5.71
6.99
1.736
265
1.800
0.529
280
Pb (ГЦК)
4
0.0194
5.38
6.59
1.457
1064
1.355
0.172
560
Al (ГЦК)
3
0.0269
4.92
5.25
0.960
1269
1.150
0.100
1140
Cu (ГЦК)
2
0.0252
3.92
4.80
0.923
898
1.350
0.588
1750
Fe (ОЦК)
4
0.0504
4.84
4.70
0.945
631
1.090
0.343
1910
Cr (ОЦК)
4
0.0492
3.85
4.72
0.956
649
1.120
0.364
2060
Mo (ОЦК)
6
0.0570
4.21
5.16
1.094
887
1.210
0.227
2200
экспериментальной
характеристики была использована величина поверхностной энергии. В таблице 1 приведены значения параметров,
использованные для расчета поверхностной энергии металлов, и рассчитанные
значения параметров псевдопотенциала Хейне-Абаренкова для ряда простых и
переходных металлов, дающие в соответствии с развитой методикой значения
поверхностной энергии, наиболее хорошо согласующиеся с экспериментальными. Следует
заметить, что для определения параметра обрезания rc псевдопотенциала Ашкрофта
достаточно использования условия минимальности объемной энергии металла.
Получающиеся при этом значения параметра обрезания rc и соответствующие
значения поверхностной энергии также приведены в табл. 1. Проведенные нами
расчеты поверхностной энергии металлов с использованием псевдопотенциала
Ашкрофта и различного типа обменно-корреляционных поправок на неоднородность
электронного газа [7] показали, что ни одна из поправок не является
универсальной, а модель псевдопотенциала Ашкрофта неприменима для описания
поверхностных характеристик благородных и переходных металлов,так как дает для
них чересчур заниженные значения. Модель, использующая псевдопотенциал
Хейне-Абаренкова, позволяет решить эту проблему. Отсутствие универсальных
обменно-корреляционных поправок для металлов в рамках модели псевдопотенциала
Ашкрофта [], приводит к значительным трудностям при расчетах адгезионных
характеристик. Применение псевдопотенциала Хейне-Абаренкова с единой
обменно-корреляционной поправкой в приближении Вашишты-Сингви позволяет
избежать данных трудностей и позволяет применять данную модель для расчета
адгезионных свойств как простых, так и переходных металлов.
Список литературы
Партенский
М.Б. Самосогласованная электронная теория металлической поверхности // УФН.
1979. 128. Вып.1. С.69-106.
Ухов
В.Ф., Кобелева Р.М., Дедков Г.В., Темроков А.И. Электронностатистическая теория
металлов и ионных кристаллов. М.:Наука, 1982.
Vashishta P., Singwi K.S. Electron
correlations at metallic densities. // Phys.Rev., 1972. B6. N3. P.875-887.
Ferrante J., Smith J.R. A theory of
adhesional bimetallic interface overlap effects. // Surface Science. 1973. 38.
N1. P.77-92.
Кобелева
Р.М., Гельчинский Б.Р., Ухов В.Ф. К расчету поверхностной энергии металлов в
модели дискретного положительного заряда // ФММ. 1978. 48. N1. С.25-32.
Вакилов
А.Н., Прудников В.В., Прудникова М.В. Расчет решеточной релаксации
металлических поверхностей с учетом влияния градиентных поправок на
неоднородность электронной системы // ФММ. 1993. 76. N6. С.38-48.
Вакилов
А.Н., Потерин Р.В. Прудников В.В., Прудникова М.В. Расчет адгезионных
характеристик металлов и их расплавов. // ФММ, 1995, 79, N4, с.13-22.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/