Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью
методов элементарной математики
Н.И.Пичугин
Ученые-математики
вот уже 400 лет безуспешно бьются над доказательством теоремы Ферма. Они
категорически отрицают доказательство теоремы элементарными способами. Столь
длительные попытки доказательства, по-видимому связаны с отсутствием регулярной
работы над темой и малой ее актуальной значимостью. Ведь нашли же российские
ученые при крайней нужде, в срочном порядке, методы защиты отечественных
кораблей от магнитных мин противника. Некоторые ученые считали доказательство
теоремы даже неразрешимой задачей. Тем не менее, наконец в 1995 году обнародовано
доказательство теоремы Ферма английским ученым А.Уайлсом. Оно базируется на
последние достижения математической науки и является по существу результатом
коллективного труда определенного круга математиков, работающих в различных
направлениях математических исследований.
А.Уайлс
в своем доказательстве исходит из того, что теорема Ферма вписывается, является
следствием гипотезы Таниямы о модулярных эллиптических образованиях. Такое
заключение сделано на основании ограниченного количества точек x,y,z из теоремы
Ферма, которые позволяют утверждать автору, что эти точки характиризуют все
сочетания x,y,z и n в качестве причастных к модулярным эллиптическим кривым.
Доказательство А. Уайлса – сложное и трудоемкое, т.к. потребовалось доказать
справедливость самой теоремы Таниямы и причастность элементов теоремы к
модулярным эллиптическим кривым. При этом становится неясным: то ли
доказывается справедливость гипотезы Таниямы с помощью недоказанной теоремы Ферма,
то ли доказывается теорема Ферма с помощью недоказанной гипотезы Таниямы.
Доказательство любой теоремы должно базироваться на общепризнанных постулатах. Доказательство
А. Уайлса занимает 150 страниц печатного текста и изложено специальным
математическим языком, мало доступным большинству интересующихся. Но главный
его недостаток – оно не является прямым и непосредственным. Вызывает сомнение
отсутствие взаимосвязи показателей степеней n>2 со степенями n=1 и 2 , не
показана распространенность условий теоремы Ферма по плоскости XOY и в
частности на целые отрицательные числа. Я не берусь подвергать сомнению
подобное доказательство, но считаю необходимым утверждать, что любые три точки
xn ,yn ,zn могут вписываться в степенные числовые ряды, в треугольники Пифагора
или, как будет показано ниже, станут исходными при доказательстве теоремы
элементарными методами. Это свидетельствует о том, что доказательство теоремы
Ферма с помощью модулярных элептических кривых не является единственно
возможным и приемлемым в общем виде. Могут появиться и другие доказательства, в
том числе и с использованием элементарной математики.
После
опубликования доказательства А.Уайлса в математических журналах в интернете
появляются новые доказательства любителей математики, что свидетельствует о их
неугасающем интересе к теме и стремлении к поиску более простого и доступного к
пониманию непосредственного доказательства теоремы Ферма. Этот процесс в
большинстве своем не преследует каких-либо корыстных целей, а скорее всего
носит бескорыстный спортивный или престижный характер.
Вопреки
мнению ученых математиков, ниже предлагается к обсуждению официальным лицам из
института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный,
практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма
в общем виде, основанный на разложении уравнений Ферма по биному Ньютона на его
составляющие. Это позволяет после преобразования уравнений Ферма
xn +yn =zn
(1)
к
виду
(x
- a)n + xn - (x+b)n = 0 (2) где x, a и
n – целые числа, а b - целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x,
a и n; одновременно:
-
упростить доказательство, сведя его к одному неизвестному;
-
Выяснить взаимосвязь b с параметрами x, a и n;
-
определить структурную формулу для x в поисках целых решений при всех
показателях степеней n; - выявить причину образования нецелых z при n>2;
-
показать, что на плоскости XOY уравнения Ферма имеют нецелые решения для z при
n>2, как для положительных, так и для отрицательных чисел x и y , за
исключением квадрантов II и IV при нечетных n, где теорема Ферма не имеет
смысла.
Итак,
приступим к разложению уравнений (2) по биному Ньютона относительно
основополагающего параметра x:
(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3 xn-3
a3...... +an
-(x+b)n = xn
+nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3.......+bn
Δ= xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2
(a2-b2) - cn3 xn-3 (a3+b3)…+(an+bn) =0 (3)
Мы
получили основное уравнение (3) для поиска целых решений z
Упростим
уравнение (3), приняв в нем а=b=1,2,3…. При этом доказательство теоремы
сводится к решению задачи с одним неизвестным х (обоснование принятия
а=b=1,2,3… см. ниже). В этом случае выражение (3) после решения его
относительно х примет вид:
xn = 2nxn-1 a + 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5
xn-5 a5 + ... (an + an )… (4)
Обозначим через P(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после
первых двух членов уравнения (4). Тогда оно примет вид: xn = 2nxn-1 a + P(a,n).
Разделив левую и правую части уравнения (5) на xn-1 , получим искомое
структурное выражение для х:
x=2na+P(a,n)/xn-1 (5)
в
котором 2na – целое число, а добавка P(a,n)≥0 – функция, от которой
зависит доказательство теоремы Ферма. При P(a,n)=0 для n =1и 2 имеют место
решения z в целых числах; для n>2 P(a,n)>0 и z при решении получаются
нецелыми. В этом заключаются отличия уравнений Ферма степеней n=1 и 2 от
уравнений степеней n>2. Следовательно, доказательство теоремы Ферма сводится
к доказательству того, что функция P(a,n)/xn-1 при n>2 всегда является
нецелым числом.
Перед
доказательством предварительно введем понятие исходных x,y,z, играющих основополагающую
роль при доказательстве. Собственно в основном все доказательство теоремы
сводится к доказательству ее при исходных x,y,z. Из допущений а=b=2,3,4… примем
а=b=1. Тогда получим
x=2n+P(1,n)/xn-1
y=x-1 и z=x+1 (6)
Эти
параметры и будем считать исходными при доказательстве теоремы Ферма. Другие
параметры x,y,z, соответствующие выражению а=b=2,3,4…повторяют результирующие
характеристики исходных x,y,z на более удаленных х , пропорционально числам
2,3,4.
Возвращаясь
к доказательству, предварительно сократим числитель и знаменатель в добавке
P(1,n)/ xn-1 на общие сомножители и приведем ее к виду:
P(1,n)/
xn-1= 2cn3 /x2 + 2cn5 /x4+ 2cn7 /x6+…( 1+ 1 )/xn-1 (7)
В
числителе каждого члена разложения представлены сочетания cnk – целые числа,
распределение которых симметрично относительно центра с максимумом в точке
(n+1)/2. В знаменателе – функция х2, нарастающая по квадратичному закону. В
первой половине разложения (7) из-за нарастания числителя и относительной
малости знаменателя образуется большая числовая сумма. Во второй половине
разложения из-за убывания числителя и резкого увеличения знаменателя образуется
числовая сумма значительно меньше первой. Отметим, что непосредственное
определение параметра х предлагаемым способом доказательства предусматривается
осуществлять с помощью метода последовательных приближений, при котором все
подставляемые х, кроме начального, являются нецелыми числами. Следовательно,
суммы в первой и второй половине разложения (7) , как результат деления
числителей на нецелые знаменатели, будут нецелыми. Результат их суммирования
будет также нецелым. Если в исключительном случае (что невероятно)
предположить, что в полученной общей сумме после запятой вычислялись значащие
цифры до принятого порядка, например 109 и все они оказались равными нулю, то
последующий расчет до порядка 1010 , из-за малого приращения сделает сумму
обязательно нецелой. Нецелой становится и P(1,n)/ xn-1 , а это означает, что
теорема Ферма доказана для n>2 .
Обратимся
теперь к правомочности принятия допущения а=b=1,2,3…. При доказательстве
теоремы принято а=b=1. В общем случае а изменяется в пределах от 0 при у=х и
n=1 до х при у=0. Ему соответствует изменение b в пределах 2 при а=0, n=1, до 0
при а=х. При х>y имеем:
.
. Отсюда b≤x . (n√2-1). Это неравенство соблюдается при всех
изменениях а. Нас интересует выбор a и b. За исходное принято а=1 потому, что
при нем обеспечивается максимальное значение z и оно наиболее близко к предельному
z=x n√2. Соответствующее ему b=1 принято из следующих соображений. С
ростом n величина b уменьшается , проходя через точку b=2 при n =1, точку
b=1,657 при n=2, далее переходит через точку b=1 при неизвестном n и, становясь
меньше 1, уменьшается до 0 при увеличении n до бесконечности. b=1 оказывается
единственным целым числом для n>2, при котором возможны целые z.
Полнота
и общность предлагаемого доказательства может быть проиллюстрирована также
возможностями частных доказательств теоремы, вытекающих из следствий общего
доказательства, при целых положительных и отрицательных x и y. Благодаря
допущению a=b=1, исходные x, y, z оказываются расположенными рядом на
расстоянии 1 друг от друга в следующей последовательности: x-1, x , x+1. Это
свойство может быть использовано для доказательства теоремы Ферма при помощи
треугольников Пифагора, числовых степенных рядов и др. Треугольники Пифагора
при n>2 отражаются на плоскости xOy в виде остроугольных треугольников в
квадрантах плоскости xOy I и IV или тупоугольных квадрантах II и III. Для
первых характерно xn+(x-1)n
cos
B = 0,5-1,5/(x-1).
Для
вторых xn+(x-1)n>(x+1)n и отрицательный cos B. Нецелость теоремы Ферма
доказывается через нецелость cos B в искаженных треугольниках.
При
использовании элементов уравнений Ферма xn, yn, zn в качестве составляющих
элементов числовых степенных рядов представляется возможным при n>2 и
a=b=1,2,3… непосредственно убедиться в нецелостности z при суммировании в рядах
xn=(2n)n и yn=(2n-1)n .
Особого
внимания заслуживает вероятностный подход к доказательству теоремы Ферма. Его
сущность заключается в использовании степенных рядов, состоящих из порядковых
натуральных чисел 1,2,3… и их степеней 1n,2n,3n…Между степенями размещаются
порядковые целые числа, к примеру, между 22 и 32 находятся числа 5,6,7,8. Из
них нельзя извлечь целые квадратные корни так как они находятся между двумя
рядом стоящими целыми числами. Это позволяет утверждать, что любая степень в
ряду содержит сумму всех предыдущих степеней, которые при извлечении из них
корней дает как целые, так и нецелые корни при всех степенях n. Следовательно,
для каждого x можно определить вероятность (частость) P= x/xn , где в числителе
целые x, а в знаменателе – сумма целых и нецелых x, или после сокращения на x:
P=1/xn-1 , где 1 – одиночное событие, а xn-1 – МОЖ, Математическое ожидание
количества экспериментальных попыток для получения 1-го события (широко
используется в артиллерийской практике). Если теперь предположить, что в
степенных рядах находятся уравнения Ферма xn+yn=zn, удовлетворяющие условию
a=b=1,2,3… и они дают нецелые решения z в рядах(см. изложенное выше), то для
них в тоже время можно определить вероятность получения целых z P=1/(xa+a)n-1 и
МОЖ = (xa+a)n-1 .
Рассмотрим
на конкретном примере условия получения целого z для n=4 при условиях: a=b=1;
x=2*4=8; z=8+1=9. Для них P=1/93 и МОЖ=729 – Столько потребуется
экспериментальных попыток из сочетания x и y , чтобы
получить одно целое z. (Число m=38 определяется из соотношения =m!/2!(m-2)!=((m-1)*m)/2=729.
Решая уравнение m2-m-1458=0, получим m примерно равно 38) Для нецелых z =36=МОЖ=729.
С
ростом x и n МОЖ резко возрастает, что ставит под сомнения возможности
экспериментальных проверок. При n=3 и 4 эти возможности реально существуют и
могли бы стать подтверждением наличия целых z при n>2 для n=3 в окрестностях
x=6, y =5 при МОЖ=49; для т=4 x=8; y=7; при МОЖ=729. Это позволило бы судить о
двойственности теоремы Ферма более конкретно, а с другой стороны, оценить
правомочность вероятностного подхода к оценки теоремы Ферма.
В
заключение, помимо сказанного, следует добавить: предложенный способ
доказательства достаточно просто и убедительно освещает причину нецелых решений
z при n>2 и целых решений при n=2. Он позволяет рассматривать
доказательство, как единый процесс, распространенный на все показатели
степеней, начиная с n=1 и расстояний от исходного x=2 при n=1 до бесконечности.
Теорема
на плоскости xOy – достоверна, как при положительных целых x, y так и отрицательных
x, y, за исключением квадрантов II и IV плоскости xOy при нечетных n, где она
не имеет смысла (рассмотрение xn-yn=zn теоремой не предусмотрено)
Есть
основание полагать что при n>2 уравнения Ферма могут иметь целые решения для
z, что потребует трудоемких экспериментальных исследований для их
подтверждения.
С
уважением: Н.И.Пичугин, ветеран ВОВ и ВС Инвалид II группы
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua