Численная стабилизация уравнений движения небесных тел

Это легко проверить эти голономный вектор отношения путем использованиясоответствующих координат Министерствообразования и науки Российской федерацииТомскийгосударственный университетФизическийфакультет Реферат Численная стабилизацияуравнений движениянебесных тел Проверил профессор Бордовицына Т.В. Выполнил аспирант Баньщикова М.А. Томск-2004Содержание 1. Введение 32.

Численная стабилизация с применением всех законовсохранения в задаче многих тел 42.1 Асимптотическая стабилизация с использованием интеграла движения 42.2 Асимптотическая стабилизация с помощью энергетического соотношения 52.3 Асимптотическаястабилизация с помощью законов сохранения взадаче N-тел 3. Численнаястабилизация дифференциальных уравнений кеплеровского движения 7 3.1

Неустойчивость классических уравнений 3.2 Стабилизация кругового кеплеровского движения 3.3 Численный эксперимент 4. МетодНакози 4.1 Вводные замечания 4.2 Уравнения связей 4.3 Оценка метода 5. Обэффективности и точности метода Накози при интегрировании ограниченной задачи трехтел 5.1 Вводные замечания 5.2 Оценка метода при использовании различных интеграторов 16 5.2.1

Поправки по многообразию 2.2 Тестовые орбиты 5.3 Выводы 6. Литература 181. Введение В настоящем реферате дан обзор рядаработ иностранных авторов, посвященных развитию методов стабилизации уравненийдвижения динамических систем, в том числе и систем взаимно гравитирующихнебесных тел. Дело в том, что решения уравненийдвижения небесных тел неустойчивы по Ляпунову даже для задачи двух тел. Приприменении аналитических методов решения уравнений небесной

механики это несущественно, а при численном подходе приводит к усилению так называемой ошибкиусечения метода на шаге и быстромунакоплению общей ошибки интегрирования. Стабилизация уравнений движениясостоит в таком преобразовании уравнений, которое позволяет полностью иличастично устранить влияние ляпуновской неустойчивости решений на процесс ихчисленного построения. В настоящем реферате мы рассматриваемработы, в которых даны два разных подхода к проблеме стабилизации

решенийдинамических уравнений, это различные способы асимптотической стабилизации уравнений движения, предложенные Дж.Баумгартом 1,2 , и метод П. Е. Накози 3 , основанный на удержании решенияоколо некоторой интегральной поверхности. Кроме того, мы рассмотрим краткоработу М.А. Марисона 4 , в которой приводятся результаты анализа точности иэффективности метода Накози при использовании его с различными интеграторами.

2. Численная стабилизация с применением всехзаконов сохранения взадаче многих тел. 2.1 .Асимптотическая стабилизация с использованием интеграла движения В своей статье 1 Баумгартрассматривает механическую систему, составленную из N точек, где уравнения движенияотносительно инерциальной декартовой системы координат и времени t задаются в следующем виде , 2.1 где Fi внешние силы.Предполагается, что соотношение в форме 2.2 можнополучить

из этой системы. Поэтому система имеет первый интеграл 2.3 гдепостоянная kопределяется начальными условиями. Уравнение 2.3 принимаются за внутреннююнеголономную связь В течение численного интегрированияуравнений движения 2.1 значения функции , в котором kдолжна быть константой, используются как проверка. В силу неустранимой,вычислительной ошибки, которую компьютер достигает после n шагов на момент времени t0 , имеет значение

Если быне добавочные ошибки, которые получаются в течение дальнейшего интегрирования,значение остается равным как следует из соотношения котороеявляется свойством наличной дифференциальной системы Автор желает улучшить эту ситуациютак, чтобы значение уменьшилось до k в течение дальнейшего интегрирования. Чтобы выполнить это онвводит связь f, котораяуменьшит ошибку элемента k.Таким образом, связь представляется в форме 2.4а где f линейна, относительноускорения.

Если система подвергается связям,которые содержат ускорения, то можно использовать принцип Гаусса. Гауссова связь выбирается в формедифференциального уравнения 2.5 где положительная функция. Гауссова связь обладает свойствомпонижения ошибки элемента, которая в данном случае должна иметь значение k. Начальная связь предполагает выбор , который приводит к N const,и не уменьшает ошибку элемента k.Поэтому необходим выбор .

Выбор подходит для многихзадач, при этом неверное значение уменьшается экспоненциально. Правило Гаусса дает уравнениядвижения, которые удовлетворяют связи 1 2.6 где множитель Лагранжа. В случае одной связи очень легкорешить систему 2.6 для ускорений и исключить множитель Лагранжа. Результатомявляется следующая дифференциальная система, подходящая для численногоинтегрирования 2.7 Правая сторонауравнения 2.7 есть фиктивная сила реакции или стабилизирующая сила.

Эта силаравняется нулю в аналитическом вычислении, но не для компьютера.2.2 Асимптотическаястабилизация с помощью энергетического соотношения На примере стабилизирующего метода 2.6 в качестве 2.5 Баумгарт рассматривает энергетическое соотношение. Вэтом случае внешние силы зависят от потенциала U, который зависит только от вектора положенияxi 2.8

Этоприводит к хорошо известному соотношению энергии 2.9а где E постоянная полная энергия. Условие, что сумма кинетической ипотенциальной энергий должна быть постоянной, можно интерпретировать каквнутреннюю неголономную связь 2.9b Чтобы применить свой метод дляуменьшения ошибок Баумгарт вводит Гауссову связь 2.10 иполучает энергостабилизирующие уравнения движения 2.11а илипосле сокращения 2.11b

Этотметод уменьшения ошибок можно легко расширить для возмущенного случая. Получается 2.12а вместес 2.12b где малый возмущенныйпараметр и возмущенные силы.2.3 Асимптотическаястабилизация с помощью законов сохранения в задаче N-тел Обозначим вектор положения точки с массой mi как ri. Уравнение движенияесть 2.13 где U хорошо известныйгравитационный потенциал.

Автор предполагает, что центр масснеподвижен и 2.14 Этосоотношение легко выполняется путем использования соответствующей системы координат. Для уравнения движения 2.14 существует следующие известные законы сохранения Угловой момент 2.15 Соотношение энергии 2.16 где c постоянный вектор углового момента и E постоянная общая энергия. Стабилизирующие Гауссовы связи есть 2.17 и 2.18

Выражения 2.17 и 2.18 линейныотносительно ускорения. Уравнения движения, которое содержитфиктивные стабилизирующие силы реакции связиимеют теперь форму 2.19 где векторный множитель, а скалярный множительЛагранжа. Из уравнения 2.19 видно, чтосуммированием по всем i можно избавиться не только отвнутренних сил, но также от фиктивных стабилизирующих сил 2.20 которыесочетаются с уравнением 2.14

Однако фиктивные силы реакции неразрушают соотношение 2.14 , поскольку теперь вводятся подогнанные координаты,которые удовлетворяют соотношению 2.14 автоматически. Но перед этим должна быть разрешенасистема уравнений движения 2.17 - 2.19 относительно ускорения r , и исключены 4 скалярных множителяЛагранжа. Затем автор вводит исправленныекоординаты. Первая возможность есть 2.21

Другаявозможность есть введение координат Якоби С помощью введения исправленныхкоординат понижается степень свободы системы. Некоторые замечания - представленный стабилизирующий методможет быть более эффективным для задачи трех или четырех тел, чем для задачимногих тел. - если динамическая задача N-тел является слабовозмущенной, то вектор углового момента c и общая энергия E незначительно отличаются отпостоянных величин и метод стабилизации еще может быть применен при этомдополнительные

уравнения 2.22 должныбыть приняты во внимание. 3 Численная стабилизация дифференциальныхуравнений кеплеровского движения 3.1 Неустойчивость классических уравнений В полярных координатах уравнения движенияесть 3.1 K2гравитационный параметр притягивающего центра масс и точка обозначает дифференцированиепо времени t. Уравнение энергии 3.2 естьпервый интеграл уравнения 3.1 и h отрицательная общаяэнергия частицы. Частное решение уравнения 3.1 есть круговые движениярадиусов

. Их полярные углы соответственно 3.3 Ляпуновскаяустойчивость требует, чтобы была произвольно малойвеличиной при соответствующем малом выборе . Теорема1 Дифференциальная система 3.1 является неустойчивой в смысле Ляпунова,так как изменение 3.3 со временем в кругом движении зависит от радиусов. В статье Баумгарта 2 теорема 1подтверждается обсуждением вариационных уравнений системы 3.1 . За опорноекруговое движение принимается r a с 3.4

Результирующеевариационное уравнение имеет вид 3.5 3.6 Ачастное решение , 3.7 соответствуетограниченному круговому решению. Общее решение системы 3.5 , 3.6 получаетсяпутем добавления чисто периодических членов, которые не существенны дляисследования стабилизации. Из правой части соотношения 3.7 следует теорема 2. Теорема2 В случае кругового движения нестабильность теоремы 1 линейна угловойкоэффициент есть .

Далее обсуждаются особенностипоказателей степени вариационных уравнений. Результатзаписывается в виде матрицы Собственныезначения матрицы есть . Ранг матрицы равен 3, следовательно существует только одинсобственный вектор соответствующий повторяющемся собственному значению, равномунулю. Эта ситуация обеспечивает линейную неустойчивость. Задача устойчивостиозначает уменьшение ранга до значения 2. 3.2

Стабилизация кругового кеплеровского движения Много попыток было сделано, чтобыдовести до конца эту задачу. Они были неудачны, так как физическое время t использовали как независимую переменную. Баумгарт такжепродолжил изучать эту задачу, но за новую независимую переменную взял s, которая удовлетворяетследующим требованиям. Соотношение определяется с помощьюустойчивого дифференциального уравнения, которое не связано с уравнением орбиты.Это достигается преобразованием уравнения 3.1 к виду 3.8

Использовалосьуравнение энергии 3.2 . Новая независимая переменная s определяется дифференциальнымсоотношением. 3.9 Уравнение 3.8 становится 3.10 или 3.11 Это дифференциальноеуравнение для вычисления физического времени t устойчивов смысле Ляпунова при условии h gt 0. Замечание Общее решение уравнения 3.11 есть 3.12 Ввозмущенном случае может быть использовано любое дифференциальное уравнениеподобное уравнению 3.11 или формула 3.12 где не постоянныевеличины, но медленно меняющиеся

функции. Причем первый член в 3.12 естьвременной элемент в смысле Штифеля иШайфеля. Основные уравнения 3.1 и 3.2 перепишутся после введения 3.9. как 3.1а 3.2а 3.13 Поаналогии могут быть получены значения для угловой скорости кругового движения.А так как еще зависит от r, следовательно, справедлива теорема Теорема3 Дифференциальная система 3.1а неустойчива в смысле

Ляпунова.Систему 3.1а дополняется регулирующим членом, который используется в левой части уравнения 3.2а и он фактически равен нулю. Таким образом, r уравнение 3.1а перепишется как 3.14 или 3.15 весовой множитель. Правая часть уравнения 3.1а не меняется. Контрольный член эквивалентен фиктивной центральной силе.Независимостьугловой скорости увеличивает надежду, что дифференциальная система 3.16 3.17 болееустойчива и лучше ведет себя, чем система 3.1 . Теорема4 В случае кругового движения неустойчивость системы из

теоремы 3 линейна угловой коэффициент . Введение фиктивно времени s . ослабляет нестабильностьпосредством множителя Теорема 2 .Баумгартрассматривает стабилизирующую систему 3.16 при . 3.18 Общеерешение стабилизирующей системы 3.18 есть 3.19 Следовательно,вариационные уравнения устойчивы. При введении 3.20 уравнение 3.18 преобразуется как 3.21 Собственныезначения матрицы есть 0, 0 ее ранг равен двум, и. существуют два линейно независимыхсобственных

вектора. Эта ситуация дает стабильность вариационных уравнений.3.3 Численный эксперимент В рассматриваемой работе Дж. Баумгартабыли сравнены 3 метода для вычисления кеплеровской орбиты. Так как орбиты лежатв плоскости, точка на орбите определятся двумя координатами, которые мы запишемв векторной форме . Были рассмотрены следующие дифференциальные уравнения 1

Классическиеуравнения задачи двух тел 2 Стабилизированныеуравнения 3 Уравнениеосциллятора Эти дифференциальные уравненияинтегрировались численно методом Рунге-Кутта 4 порядка, используя фиксированныйразмер шага независимой переменной, t для 1 и s для 2 и 3 . За 1 оборотбыло выполнено 100 шагов интегрирования. За все вычисления большая полуосьэллиптической орбиты имела постоянную длину, равную одной единице,

пока эксцентриситет менялся. Ошибка в расстоянии вследствиечисленного интегрирования была определена как 3.22 где 3.23 В 3.2 и 3.3 это определение было интерпретировано следующим образом. Пусть s задано в настоящий момент,для которого оценена ошибка и пусть tсоответствующее значение времени t вычисленного посредством численного интегрирования. Точныекоординаты были определены для этого значения времени t путемрешения кеплеровского уравнения.

Дальнейшее вычисление координат получено путемприведения численного интегрирования к аргументу s. Было проведено два краткосрочных эксперимента, вкоторых использовались небольшие эксцентриситеты. Вычислены два оборота тела сначалом в перицентре. Как видно из результатов самый точныйметод под номером 3 , но метод под номером 2 не намного хуже. Метод подномером 1 имеет очень плохую точность и ухудшается для большихэксцентриситетов.

Так же был проведен один краткосрочныйэксперимент, в котором использовались большие эксцентриситеты. Вычислялся одиноборот тела, с началом в апоцентре. Метод под номером 3 очень точен благодарярегуляризации. Метод 2 ухудшается для слишком больших эксцентриситетов из-засингулярности в начале системы координат. Был проведен один долгосрочный эксперимент, сиспользованием больших эксцентриситетов.

Ошибка в расстоянии после 50 оборотовпоказана в следующей таблице 0.9 0.95 0.99 5.3 10-4 7.6 10-4 5.3 10-3 8.2 10-5 1.2 10-4 2.7 10-4 Метод под номером 3 работает даже приe 0,95.4. Метод Накози 4.1 Вводныезамечания П. Накози 3 представил метод,который эффективно использует интегралы в численном интегрированиигравитационной системы. Метод приводит к решениям высокой точности, в то времякак он использует меньше времени вычисления, чем обычные процедуры численногоинтегрирования, которые используют интегралы

непосредственно. Гравитационная система n-тел имеет p интегралов, которые могут быть описаныединственным образом с помощью 6n-p переменных положений и скоростей в фазовом пространстве. Интегралы энергии, угловогомомента, или центра масс, могут быть рассмотрены как связи, накладываемые на 6n переменных. p интегралы вынуждаютрешения оставаться на пересечении p гиперпространств, каждое из них 6n-1 мерное. Пересечение тоже есть 6n-p мерное гиперпространство.

На практике обычно полностью численноинтегрируют систему уравнений движения порядка 6n и используют интегралы только какпроверку точности вычисления. Но ошибки, которые выявляют с помощью интегралов,часто не верны, так как вычисленное решение гравитационной системы частосодержит больше ошибок в решении, чем в интегралах. Кроме того, если ошибка, внедреннаяпосредством выполнения интегралов, остается в решении в течение процессачисленного интегрирования, и если система неустойчива, то решение с ошибкойбудет расходиться

от решения без ошибки. Поскольку гравитационная система частоне устойчива в смысле Ляпунова, малые ошибки, внедренные посредствомневыполнения интегралов, будут неограниченно возрастать во времени. Автор задается вопросом, может липолучиться хорошая точность на малом интервале времени вычисления с помощьюпонижения ошибок усечения численного интегрирования и точно не удовлетворяющаяинтегралам. Ответ, кажется, зависит от способа использованияинтегралов.

Интегралы могут использоваться для понижения порядка системы до 6n-p , но интегралы движения пониженнойсистемы часто не сохраняются во время вычисления. Результирующие уравнения движенияпониженной системы могут быть на много сложнее чем первоначальная системапорядка 6n например,появляется нелинейность, введенная интегралом энергии . Кроме того, уравненияпорядка 6n-p могут потерятьсимметричность первоначальной системы. В статье П. Накози показано, чтоинтегралы могут использоваться без введения дополнительного усложнения,

нетеряя симметричности. Метод накладывает связи на решение численногоинтегрирования полной системы порядка 6n. В течение вычисления, поправки вычисляют и применяют к 6n переменным, чтобы выполнитьинтегралы. Поправки определяют методом наименьших квадратов, так чтобы суммаквадратов поправок была минимизирована. Поправки в целом малы и, следовательно,интегралы могут быть линеаризированы и это существенно, поскольку исключаетсложности и значительно понижает время вычисления.

Поправки, определенные вэтом методе, видоизменяют те переменные, которые содержат ошибки для того,чтобы, в общем, повысить эффективность метода. Идея использования поправок, найденныхметодом наименьших квадратов, чтобы сохранить интегралы, имеет геометрическуюинтерпретацию. В течение интегрирования, ошибки в вычислении могут послужитьпричиной тому, что решение покинет 6n-p мерную гиперповерхность, определенную интегралами.

Поправки наименьшихквадратов к 6nпеременным возвращают решение на поверхность вдоль нормальной поверхности. Спомощью исправления переменных, решение остается на первоначальной гиперповерхностив течение численного интегрирования. В этой статье показано, что решениягравитационных систем, которые исправляли этим методом значительно точнее итребуют меньше времени вычисления, чем неисправленные решения. 4.2 Уравнения связей Уравнения, которые заставляют решениеоставаться на первоначальной интегральной

гиперповерхности получаются путемиспользования множителей Лагранжа. Чтобы найти экстремум функции двух переменных,при условии связи 4.1 двауравнения 4.2 должныбыть решены с помощью уравнения 4.1 , чтобы определить величины x, y, и . Где, множитель Лагранжа. Для динамической системы с двумястепенями свободы предполагается, что есть вектор состоянияв фазовом пространстве, где координаты и скорости.

Пусть 4.3 интегралсистемы. Уравнение 4.3 определяет 3 мерную гиперповерхность, помещенную вфазовое 4 мерное пространство. В течение процесса численногоинтегрирования системы, вычисленное решение, полученное на время t, выглядит следующимобразом где вычисленные положениякомпонент, а вычисленные скорости.Из-за ошибок в вычислительной процедуре, интеграл выполняться не точно, но 4.4 где малая величина.Решение покидает интегральную поверхность, определенную уравнением 4.3 и остаетсяна поверхности определенное

уравнением 4.4 . Это используется для того, чтобыполучить поправки и вычислить вектора так чтобы 4.5 Квадратвеличины вектора поправок можно записать как 4.6 Поправкивыбираются так чтобы функция уравнения 4.6 минимизировалась, при условии связей 4.5 . Для 4 мерного случая уравнения 4.2 имеют вид 4.7 Уравнения 4.5 и 4.7 решаются для пяти неизвестных и . Уравнение 4.5 линеаризуется обычным способом 4.8

Так какошибки вычислений и, следовательно, необходимые поправки малы, члены второгопорядка и выше могут быть отброшены. Решение уравнений 4.7 и 4.8 дляпоправок при условии 4.3 и 4.4 имеет вид 4.9 Векторпоправок добавляется квычисленному вектору состояния , чтобы получить новый вектор состояния который удовлетворяетинтегралу 4.3 , с ошибкой порядка . Уравнение плоскости, заданное 4.8 исключает члены второгои выше порядков. Результат 4.9 можно обобщить надинамическую систему порядка 6n, имея p интегралов.

Вектор состояния системы , где вектор столбецв фазовом пространстве с компонентами . Обозначим вектор положения как , а вектор скорости как . Вектор состояния можно записать в следующем виде 4.10 Следовательно,уравнения движения системы есть 4.11 гдевектор F есть функция вектора x и времени, pинтегралов системы записываются как 4.12

Уравнение 4.11 решается численныминтегрированием. Частные производные интегралов энергии 4.12 относительнокомпонент вектора состояния есть элементы матрицы . Так что, Намомент времени t, из-за ошибок вычисления,некоторые или все pкомпонент вектора E неравны нулю. Так что где это вектор ошибок, чьиэлементы малые величины. Желательно вычислить вектор поправоктак чтобы вектор удовлетворялуравнению

Вектор выбирается так, чтобывеличина была минимальной. Здесь,W весовая матрица и верхнийиндекс T означаетоперацию транспонирования матрицы. Как в уравнении 4.8 , каждый элементвектора E разлагаетсяпо степеням вектора . .Членывторого порядка и выше отбрасываются, при , разложение уменьшается до 4.14 Решение,заданное уравнением 4.7 принимает вид 4.15

Уравнения 4.14 и 4.15 решаются относительно 6n p неизвестных компоненты двух векторов . Уравнение 4.15 разрешается относительно , результат подставляется в уравнение 4.14 и получаем Последнееуравнение разрешается относительно и результатподставляется в уравнение 4.15 . Решение для вектора поправок будет иметь вид 4.16 Длягравитационной системы, вектор F уравнения 11 задаетсякак 4.17 где обозначает векторстолбец, чьи 3nкомпоненты

есть .U отрицательная функцияпотенциальной энергии системы и определяется как Численноеинтегрирование системы уравнений 4.11 относительно Fопределенное уравнением 4.17 , дает вектор решения на время t. Поправки могут бытьвычислены с помощью уравнения 4.16 . 4.3 Оценка метода Метод представленный здесь былприменен к численному интегрированию нескольких динамических

систем, чтобыопределить их практическое значение. Рассматриваемыми системами были гармоническийосциллятор, гравитационная система двух тел и гравитационная система 25 тел. Метод был применен к гармоническомуосциллятору и к системе двух тел с помощью следующей процедуры. Два множестварешений получены путем численного интегрирования с различными начальнымиусловиями. Первое множество решений получено без использования интегралов, в товремя как другое множество получено

с использованием поправок определенныхрассматриваемым методом. Поправки применялись к вектору состояния на каждом шагеинтегрирования. Все результаты интегрирования сравнивались с истинным решениемсистемы, чтобы определить относительную точность неисправленного и исправленногорешений. Решения гармонического осциллятора получены путем использования методаРунге-Кутты 4 порядка с постоянным шагом. Оба неисправленное и исправленноерешения гармонического

осциллятора использовали такой же размер шага и такое жечисло шагов интегрирования. Решения системы двух тел были получены путемиспользования процедуры предиктора-коректора с переменным шагом. Оба решения,неисправленное и исправленное, для системы двух тел получены интегрированием содним и тем же шагом и одним и тем же числом шагов интегрирования. Применение метода к гармоническомуосциллятору в фазовом 2 мерном пространстве показывают не значительнуюразность

в точности между исправленным и неисправленным решениями. Применение метода к системе двух тел вфазовом 4 мерном пространстве над областью начальных условий показал большуюразницу между исправленным и неисправленным решениями. Исправленные решениябыли на три порядка более точны, чем неисправленные решения. Различные результаты, полученные длягармонического осциллятора и системы двух тел, объясняют, когда

и почему методявляется важным. Ошибки в интегралах гармонического осциллятора малы по сравнениюс ошибкой в параметре состояния решения. Поскольку гармонический осцилляторустойчивая система, решение с малой ошибкой не будет отклоняться от решениясистемы без ошибок. Ошибки в интегралах системы двух тел также малыотносительно параметра состояния решения. Но система двух тел не устойчива всмысле Ляпунова и, следовательно, система с ошибками будет расходиться

от системыбез ошибок. Метод был применен к гравитационнойсистеме 25-тел, используя стандартные начальные условия. Сначала было выполненовысокоточное, неисправленное численное интегрирование системы. Ошибка усеченияинтегрирования была понижена до предельной компьютерной мощности. Системуинтегрировали вперед и назад по времени. Это решение было получено как точное,стандартное решение с которым другие, менее точные сравнивались. Программа численного интегрирования,которую использовали

для оценки исправленного метода Рунге-Кутты-Филбергаседьмого порядка переменного шага, была применена к задаче 25 тел. Двамножества решений получены с помощью численного интегрирования. Первая системапорядка 6nинтегрировалась без использования интегралов. Затем систему порядка 6n интегрировали и все илиразличные комбинации 10 интегралов системы были использованы. Все решениясравнивались с наиболее точным стандартным решением.

Кроме того, была выполненапроверка по результатам прямого и обратного интегрирования. Как показывают результаты, методНакози дает более эффективный численный процесс интегрирования, так какполучается наибольшая точность при использовании одинакового времени вычисленияи такая же точность при меньшем времени вычисления. Использование толькоинтеграла энергии дает более эффективное численное интегрирование, чеминтегрирование, использующее все 10 интегралов.

Причина этого в следующем 1 Ошибка в энергии существенно больше, чем ошибки в интегралах углового момента ицентра масс. 2 Использование всех 10 интегралов требует обращения матрицыбольшой размерности, что неудобно и приводит к большим затратам времени. Рассмотренный метод можно применять кчисленному решению любой системы дифференциальных уравнений, которая обладаетинтегралами. Интегральные соотношения можно также ввести искусственно, расширяяразмерность системы.

5. Об эффективности и точности метода Накози приинтегрировании ограниченной задачи трех тел 5.1Водные замечания В работе 4 автор предпринял попыткуприменить метод стабилизации П. Накози к ограниченной задаче трех тел всочетании с численным методом интегрирования Булирша-Штера. Уравнения движения частицы сбесконечно малой массой в ограниченной задаче трех тел в двумерном случае имеютвид 5.1 есть эффективныйпотенциал, и расстояния частицы отпланет и есть эксцентриситет

орбиты планеты, истинная аномалияпланет, и отношение масс . Независимая переменная , и расстояния сведены к непостоянному простому разложениюна части. Наиболее массивную планету обозначим через , и меньшую планету через . Истинную аномалию выберем как независимую переменную вместовремени, т.к. результирующее уравнение 5.1 регуляризированное. В круговом случае , существует интеграл движения 5.2

Сущность этой частной динамическойзадачи требует высокой точности, особенно при длительном интегрировании,которое происходит при изучении спутниковой картины, предполагая, что будетпотребляться большое количество машинного времени. Задача состоит в том, чтоочень маленькие ошибки могут сильно увеличиться в процессе вычислений и вскоререзультат станет бессмысленным. В этой статье рассматриваетсячисленные методы и необходимые условия.

Первое, что рассматривается, эточастный метод которым интегрируют уравнения, показано, что он является оченьважным. Затем, пользуются константой Якоби, чтобы откорректировать численныеошибки усечения и округления в круговой ограниченной задаче. Этот метод можноприменить к любой задаче, в которой существуют константы движения. Эффектыразличных методов и техники сравниваются, используя орбиты в круговой и эллиптическойограниченных задачах трех тел 5.2 Оценкаметода при использовании различных интеграторов 5.2.1

Поправки по многообразию П. Накози 1971 открыл способиспользовать константы движения для проверки и поправки ошибок в положении искорости. Когда существует интеграл уравнения движения, орбиту ограничиваетповерхность в фазовом пространстве. Когда численная ошибка происходит, движениепрыгает по различным поверхностям, соответствующим разным орбитам.Коррекционная схема П. Накози использует множители Лагранжа, чтобы найтиметодом наименьших квадратов наикротчайший путь

назад на исходное многообразие.Мюресон 1988 применил эту поправку многообразия к обоим нерегулязированным ирегулязированным уравнениям ограниченной задачи трех тел. Один возможный недостаток в этомподходе в том, что путь возвращения на исходное многообразие не точно такой покоторому система покидала многообразие. Многообразие, на котором происходитдвижение, остается постоянным и точным в течение вычисления, однако вычисляемаяорбита после каждой поправки плохо совпадает

с орбитой на данном многообразии. Если отклонения очень малы, тогдавычисленная орбита будет близка истиной орбите истинная орбита равна вычисленной орбите с бесконечной точностью . Следовательно, если отклонениясистематические, тогда вычисленная орбита будет отклоняться от истиной орбиты иполучение самого короткого обратного пути на многообразии будет даватьсистематическую компоненту в ошибках и вычисленная орбита будет значительноотклоняться от истинной.

В круговой ограниченной задачи трехпоправки делались всякий раз, когда различия между текущей и начальнойпостоянной Якоби были не нулевые. Практически, это означает, что C была сохранена постоянной сточностью приблизительно 10-16. 5.2.2 Тестовые орбиты Чтобы показать полезность этих методових проинтегрировали разными способами. Эти орбиты трудны для интегрирования,так как они близки к .

Интегрирование продолжалось в течение 40 орбитальныхпериодов планеты. В течение интегрирования, ошибка впостоянной Якоби контролировалась. Измерениенакопленной ошибки также полезно в характеризования точности на орбите. Т.о.величина C определяетсякак . Экспериментально было показано, чтостабилизация уменьшает величину Cболее чем на 5 порядков. 5.3 Выводы Приведенные в статьерезультаты показывают, что экстраполяционный

метод Булирши Штера являетсяочень быстрым и довольно точным. При ошибках такого же порядка как и ошибки,получаемые популярным методом Рунге-Кутты, интегрирование происходит на порядокбыстрее. Многообразная коррекционная схема Накози 1971 может уменьшить ошибкифактически до нуля, и с удивительно малыми затратами машинного времени,зависящими от орбиты.

К сожалению, реализация возможна при существовании какминимум одного интеграла движения. Окончательно, в особом случае ограниченнойзадачи трех тел, было обнаружено, что ненулевой эксцентриситет планеты значительноуменьшает точность интегрирования, в сравнении с круговым случаем. 6. Литература 1. J. Baumgarte, Numericalstabilization of all laws of conservation in the many body problem. CelestialMechanics 8 1973 . P. 223-228.2.

J. Baumgarte, Numericalstabilization of the differential equation of Keplerian motion. CelestialMechanics 5 1972 . P. 490-501.3. P. E. Nacozy, The use of integralsin numerical integrations of the N-body problem. Astrophysics and Space Science14 1971 40-51.4. M. A. Murison, On an efficient andaccurate method to integrate restricted three-body orbits.

Astron. J, 97 5 ,May 1989. P. 1496-1509.