Измерение и экономико-математические модели 1. Описание объекта
В нашем случае объектом исследования являются совокупность фирм , заводов , предприятий . Моделируемым показателем является Y - производительность труда ( тыс. руб / чел ) . 2. Экономические показатели ( факторы )
Отбор факторов для модели осуществляется в два этапа. На первом идет анализ, по результатам которого исследователь делает вывод о необходимости рассмотрения тех или иных явлений в качестве переменных, определяющих закономерности развития исследуемого процесса, на втором–состав предварительно отобранных факторов уточняется непосредственно по результатам статистического анализа.
Из совокупности экономических показателей мы отобрали следующие : Зависимый фактор: У- производительность труда, (тыс. руб. ) Для модели в абсолютных показателях Независимые факторы: Х1 - стоимость сырья и материалов ( тыс. руб. ) Х2 - заработная плата ( тыс. руб. )
Х3 - основные промышленно-производственные фонды ( тыс. руб. ) Х4 - отчисления на социальное страхование ( тыс. руб. )
Х5 - расходы на подготовку и освоение производства ( тыс. руб. ) Х6 - расходы на электроэнергию ( тыс. кВт час. ) Данные представлены в таблице 1. Таблица 1 № Объекта наблюдения Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 10. 6 865 651 2627 54 165 4. 2 2 19. 7 9571 1287 9105 105 829 13. 3 3 17. 7 1334 1046 3045 85 400 4 4 17. 5 6944 944 2554 79 312 5. 6 5 15. 7 14397 2745 15407 229 1245 28. 4 6 11. 3 4425 1084 4089 92 341 4. 1 7 14. 4 4662 1260 6417 105 496 7. 3 8 9. 4 2100 1212 4845 101 264 8. 7 9 11. 9 1215 254 923 19 78 1. 9 10 13. 9 5191 1795 9602 150 599 13. 8 11 8. 9 4965 2851 12542 240 622 12 12 14. 5 2067 1156 6718 96 461 9. 2 Для модели в относительных показателях
Х1- удельный вес стоимости сырья и материалов в себестоимости продукции Х2- удельный вес заработной платы в себестоимости продукции Х3- фондовооруженность одного рабочего, тыс. руб. /чел.
Х4- удельный вес отчислений на соц. страхования в себестоимости продукции Х5- удельный вес расходов на подготовку и освоение производства в себестоимости продукции Х6- электровооруженность одного рабочего, тыс. кВт. / чел. Данные представлены в таблице 2. Таблица 2 № Объекта наблюдения Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 10. 6 16, 8 12, 6 5, 7 1, 0 3, 2 0, 06 2 19. 7 33, 1 4, 5 8, 0 0, 4 2, 8 0, 08 3 17. 7 9, 9 7, 7 4, 6 0, 6 3, 0 0, 08 4 17. 5 63, 1 8, 6 4, 1 0, 7 2, 8 0, 08 5 15. 7 32, 8 6, 3 8, 0 0, 5 2, 8 0, 10 6 11. 3 40, 3 9, 9 5, 2 0, 8 3, 1 0, 08 7 14. 4 28, 3 7, 7 7, 1 0, 6 3, 0 0, 09 8 9. 4 25, 2 14, 6 7, 2 1, 2 3, 2 0, 11 9 11. 9 47, 3 9, 9 4, 5 0, 7 3, 0 0, 13 10 13. 9 26, 8 9, 3 9, 4 0, 8 13, 1 0, 11 11 8. 9 25, 4 14, 6 6, 5 1, 2 3, 2 0, 08 12 14. 5 14, 2 8, 0 8, 5 0, 7 3, 2 0, 13 3. Выбор формы представления факторов
В данной работе мы не используем фактор времени, т. е. в нашем случае мы используем статистическую модель. В 1-ом случае мы строим статистическую модель в абсолютных показателях, во 2-м–статистическую модель в относительных показателях. Проанализировав полученные результаты, мы выбираем рабочую статистическую модель. 4. Анализ аномальных явлений
При визуальном просмотре матрицы данных легко улавливается аномалия на пятом объекте в таблице 1, 2 . Здесь все факторы завышены в несколько раз . Скорее всего мы сталкиваемся в данном случае с заводом-гигантом . Поэтому данное наблюдение мы отбрасываем . Теперь формируем обновлённую матрицу данных . Таблица 3 № Объекта наблюдения Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 10. 6 865 651 2627 54 165 4. 2 2 19. 7 9571 1287 9105 105 829 13. 3 3 17. 7 1334 1046 3045 85 400 4 4 17. 5 6944 944 2554 79 312 5. 6 6 11. 3 4425 1084 4089 92 341 4. 1 7 14. 4 4662 1260 6417 105 496 7. 3 8 9. 4 2100 1212 4845 101 264 8. 7 9 11. 9 1215 254 923 19 78 1. 9 10 13. 9 5191 1795 9602 150 599 13. 8 11 8. 9 4965 2851 12542 240 622 12 12 14. 5 2067 1156 6718 96 461 9. 2 Таблица 4 № Объекта наблюдения Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 10. 6 16, 8 12, 6 5, 7 1, 0 3, 2 0, 06 2 19. 7 33, 1 4, 5 8, 0 0, 4 2, 8 0, 08 3 17. 7 9, 9 7, 7 4, 6 0, 6 3, 0 0, 08 4 17. 5 63, 1 8, 6 4, 1 0, 7 2, 8 0, 08 6 11. 3 40, 3 9, 9 5, 2 0, 8 3, 1 0, 08 7 14. 4 28, 3 7, 7 7, 1 0, 6 3, 0 0, 09 8 9. 4 25, 2 14, 6 7, 2 1, 2 3, 2 0, 11 9 11. 9 47, 3 9, 9 4, 5 0, 7 3, 0 0, 13 10 13. 9 26, 8 9, 3 9, 4 0, 8 13, 1 0, 11 11 8. 9 25, 4 14, 6 6, 5 1, 2 3, 2 0, 08 12 14. 5 14, 2 8, 0 8, 5 0, 7 3, 2 0, 13
4. Анализ матрицы коэффициентов парных корреляций для абсолютных величин Таблица 5 № фактора Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 Y 1. 00 0. 52 -0. 22 -0. 06 -0. 23 0. 44 0. 12 X1 0. 52 1. 00 0. 38 0. 52 0. 38 0. 74 0. 60 X2 -0. 22 0. 38 1. 00 0. 91 1. 00 0. 68 0. 74 X3 -0. 06 0. 52 0. 91 1. 00 0. 91 0. 86 0. 91 X4 -0. 23 0. 38 1. 00 0. 91 1. 00 0. 67 0. 74 X5 0. 44 0. 74 0. 68 0. 86 0. 67 1. 00 0. 85 X6 0. 12 0. 60 0. 74 0. 91 0. 74 0. 85 1. 00
Из таблицы 4 находим тесно коррелирующие факторы. Налицо мультиколлениарность факторов Х2 и Х4 . Оставим только один фактор Х2 . Так же достаточно высокий коэффициент корреляции ( 0. 91 ) между факторами Х2 и Х3 . Избавимся от фактора Х3 . 5. Построение уравнения регрессии для абсолютных величин
Проведём многошаговый регрессионный анализ для оставшихся факторов : Х1 , Х2 , Х5 , Х6 . а) Шаг первый .
Y = 12. 583 + 0 * X1 + 0. 043 * X2 + 0. 021 * X5 - 0. 368 * X6 Коэффициент множественной корреляции = 0. 861 Коэффициент множественной детерминации = 0. 742 Сумма квадратов остатков = 32. 961 t1 = 0. 534 * t2 = 2. 487 t5 = 2. 458 t6 = 0. 960 *
У фактора Х1 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х1 можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор . б) Шаг второй. Y = 12. 677 - 0. 012 * X2 + 0. 023 * X5 - 0. 368 * X6 Коэффициент множественной корреляции = 0. 854 Коэффициент множественной детерминации = 0. 730 Сумма квадратов остатков = 34. 481 t2 = 2. 853 t5 = 3. 598 t6 = 1. 016 *
У фактора Х6 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х6 можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор . в) Шаг третий . Y = 12. 562 - 0. 005 * X2 + 0. 018 * X5 Коэффициент множественной корреляции = 0. 831 Коэффициент множественной детерминации = 0. 688 Сумма квадратов остатков = 39. 557 t2 = 3. 599 t5 = 4. 068
В результате трёхшаговой регрессии мы получили рабочее уравнение.
6. Анализ матрицы коэффициентов парных корреляций для относительных величин Таблица 5 № фактора Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 Y 1. 00 0. 14 -0. 91 0. 02 -0. 88 -0. 01 -0. 11 X1 0. 14 1. 00 -0. 12 -0. 44 -0. 17 -0. 09 0. 02 X2 -0. 91 -0. 12 1. 00 -0. 12 0. 98 -0. 01 -0. 38 X3 0. 02 -0. 44 -0. 12 1. 00 0. 00 0. 57 0. 34 X4 -0. 88 -0. 17 0. 98 0. 00 1. 00 0. 05 -0. 05 X5 -0. 01 -0. 09 -0. 01 0. 57 0. 05 1. 00 0. 25 X6 -0. 11 0. 02 -0. 38 0. 34 -0. 05 0. 25 1. 00
В таблице выявляем тесно коррелирующие факторы. Таким образом, не трудно заметить достаточно высокий коэффициент корреляции между факторами Х2 и Х4. Избавимся от Х2 7. Построение уравнения регрессии для относительных величин а) Шаг первый . Y = 25, 018+0*Х1+ Коэффициент множественной корреляции = 0, 894 Коэффициент множественной детерминации = 0. 799 Сумма квадратов остатков = 26, 420 t1 = 0, 012* t2 = 0, 203* t3 =0. 024* t4 =4. 033 t5 = 0. 357* t6 = 0. 739 *
У фактора Х1 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х1 можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор . б) Шаг второй . Y = e ^3. 141 * X2^(-0. 722) * X5^0. 795 * X6^(-0. 098) Коэффициент множественной корреляции = 0. 890 Коэффициент множественной детерминации = 0. 792 Сумма квадратов остатков = 0. 145 t2 = 4. 027 t5 = 4. 930 t6 = 0. 623 *
У фактора Х6 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х6 можно принебречь . Вычеркнем этот фактор . в) Шаг третий . Y = e ^3. 515 * X2^(-0. 768) * X5^0. 754 Коэффициент множественной корреляции = 0. 884 Коэффициент множественной детерминации = 0. 781 Сумма квадратов остатков = 0. 153 t2 = 4. 027 t5 = 4. 930
В результате трёхшаговой регрессии мы получили рабочее уравнение : Экономический смысл модели :
При увеличении расходов на подготовку и освоение производства производительность труда будет увеличиваться . Это означает что на данных предприятиях есть резервы для расширения производства , для введения новых технологий и инноваций с целью увеличения прибыли .
При увеличении заработной платы производительность труда будет снижаться . Это , скорее всего , будет происходить из-за того , что рабочие на данных предприятиях получают и так высокие зарплаты , либо фонд заработной платы используется по максимуму и дальнейший его рост приведёт к непредвиденным расходам . 8. Сравнительный анализ линейной и степенной моделей
Сравнивая линейную и степенную регрессионную модель видим , что статистические характеристики степенной модели превосходят аналогичные характеристики линейной модели . А именно : коэффициент множественной детерминации у степенной модели равен 0. 781 , а у линейной - 0. 688 . Это означает , что факторы , вошедшие в степенную модель , объясняют изменение производительности труда на 78. 1 % , тогда как факторы , вошедшие в линейную модель , - на 68, 8 % ; сумма квадратов остатков степенной модели ( 0. 153 ) значительно меньше суммы квадратов остатков линейной модели ( 39. 557 ) . Следовательно значения полученные с помощью степенной модели близки к фактическим .