Реферат На тему “Движение в центральном симметричном поле” Студента I –го курса гр. 107 Шлыковича Сергея Минск 2001 Немного теории.
Центральнымназывают такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстоянияr до определенной точки - центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния rи направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.
Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L = const. (где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение получается из уравнения L = [rp]. Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем
Так как - есть скорость v частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким образом, . ) Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлениюL. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля. Данное уравнение можно записать в виде:
где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA’ , описанного радиусом-вектором движущейся точки за время dt. Обозначив эту площадь через dS, можно записать величину момента в виде Величина называется секториальной скоростью.
Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел.
Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю: m1v1+m2v2=0,
где v1, v2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц v = v1-v2. Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы
выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость. Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим
где U(r) -взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстоянияr. После простого приведения членов получим , где m обозначает величину называемую приведенной массой частиц.
Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массойm двигалась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной “приведенной” частицы во внешнем поле. Постановка задачи.
Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил. , представим (скорость) в полярных координатах Рассмотрим треугольник ABD: ds~AB, следовательно , откуда получаем Выразим (*) Осталось выразить характер траектории (**) Подставим выражение (*) в (**) Проинтегрируем
Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.
Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля. , где Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену Сделаем замену , тогда Далее применим формулу В итоге получаем , где ; Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля. При e >1 – гипербола; e =1 – парабола; 0 e =0 – окружность; Литература:
1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц “Курс общей физики. Механика и молекулярная физика” Москва 1965 г.
2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.