Сфера и шар Работа ученика 11 класса средней школы №1906 юго-западного округа г. Москвы Кашина Виталия. Сфера и шар.
Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии. {1, 2} Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.
Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Уравнение сферы. {3} M(x; y; z)-произвольная точка, принадлежащая сфере. след. MC= т. к. MC=R, то
если т. М не лежит на сфере, то MCR, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0; y0; z0; ) имеет вид : {4} Взаимное расположение сферы и плоскости. {5, 6, 7} d - расстояние от центра сферы до плоскости. след. C(0; 0; d), поэтому сфера имеет уравнение {8}
плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0 Если т. М(x; y; z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. след. возможны 3 решения системы : {9} 1) d 0
уравнение имеет б. м. решений, пересечение сферы и плоскости - окружность C(0; 0; 0) и r^2=R^2 - d^2
2) d=R , x^2 + y^2 =0 , x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0; 0; 0) 3) d>R , d^2>R^2 R^2 - d^2 x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений Касательная плоскость к сфере.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Теорема:
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. {10} Доказательство:
Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т. А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости. ч. т. д. Теорема:
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Доказательство:
Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере. ч. т. д. Площадь сферы:
Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R : S=4ПR^2