Интеграл по комплексной переменной.
Определение 1: Кривая Г называется гладкой , если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.
Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой , если она состоит из конечного числа гладких дуг.
Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной ? , используя параметрическое задание кривой С зададим ? ?t? ?и? ? (t), где ? ?и? ?? являются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть ? t i. ? ? i =? i – ? i-1. Составим интегрируемую функцию S = ? f (? *)? ? i . (1) где ? *– производная точки этой дуги.
Если при стремлении max |? ? i |? 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек? i , то этот предел называется интегралом от функции f (? ) по кривой С. (2) f (? i* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3)
где ? ? i = ? ?? (t) ? ?i? ?(t) (? ?(t) и? ?(t) - действительные числа) Подставив (3) в (1) получим : (4)
Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при? ? и ? ? ? ?0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем : (5)
Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функцийu и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f (? ). Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства : О ограниченности интеграла. При этом z = ? (? ).
7. ) Пусть Cp – окружность радиуса ? , с центром в точке Z0. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : ? = Z0 + ? ?ei? , 0 ? ? ? 2? , d? = i? ?ei? d? . Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру– контурным интегралом. ТЕОРЕМА КОШИ.
В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :
Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина: ( 8 )
ТЕОРЕМА: Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю. Доказательство : из формулы (5) следует:
Т. к. f(? ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов: Аналогично :
По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :
ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f(? ) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.
TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) : Пусть f (? ) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, ... , Сn (см. рис. ). Пусть f (? ) непрерывна в замкнутой области G, тогда :
, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, ... , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении. Неопределенный интеграл.
Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим: интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф? (Z) = f( Z).
Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство : ( 9) Это аналог формулы Ньютона-Лейбница. Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.
Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.
Пусть функция f(Z) –аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию? (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур ? с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и? . Согласно теореме Коши имеем : По свойствам интегралов : (2 )
Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве? окружность ? ? с радиусом ? . Тогда: (3) Уравнение окружности ? ? : ? = Z0 + ? ei? ?? ?? ?? ?? (4) Подставив (4) в (3) получим : ( 5 ) ( 6 ) (7) Устремим ? ?? 0, т. е. ? ? 0.
Тогда т. к. функция f(? ) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех ? >0 существует ? >0, что для всех ? из ? –окрестности точки Z0 выполняется | f(? ) – f(Z0) | (8) Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем : Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем : (9) Это интеграл Коши.
Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(? ) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре ? , лежащем в области аналитичности функции f(? ) и содержащем точку Z0 внутри. Очевидно, что если бы функция f(? ) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы ? в формуле (9) можно было использовать контур С. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.
Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю : При Z0 ? Г указанный интеграл не существует. Интегралы, зависящие от параметра.
Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования? и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.
Пусть задана функция двух комплексных переменных ? (Z, ? ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. ? = ? + i? ? ? С. (С - граница G). Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция ? (Z, ? ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений ? ?? ? С является аналитической в области G. 2) Функция ? (Z, ? ) и ее производная ? ?? ?? являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и ? при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :
Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула : (2)
Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.
ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в областиG(G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула : (3)
С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.
ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G. Разложение функции комплексного переменного в ряды.
Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :
Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то: (2) – разложение в ряд Тейлора.
Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 | (3) (4) (5) Причем | Z | Формулы ЭЙЛЕРА. Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix; (6) Аналогично взяв Z = - ix получим : (7) Из (6) и (7) можно выразить т. н. формулы Эйлера : (8) В общем случае : (9) Известно, что : (10)
Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами: Ряд ЛОРАНА.
Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем. ТЕОРЕМА 1.
Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| (13) (11) Поскольку
, то выражение можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, т. е. : (12)
Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2? i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов : Обозначая , получим : (14)
Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что(15) ТЕОРЕМА 2.
Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r
где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить (17) , получим : (18) ТЕОРЕМА 3.
Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z f1 и f2 можно представить в виде двух рядов : (20) (21)
Ряд (19) –ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R. f1(Z) – правильная часть. f2(Z) – главная часть ряда Лорана.
Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части. Классификация изолированных особых точек. Вычеты.
Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0 ? G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|
Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число. Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом. Если не существует, то точка Z=Z0 называется существенной особой точкой. Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.
Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1, 2, 3, .. ,m отличного от 0, а для всех n ? m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m. При m>1 такой полюс будет называться простым.
, если m ? ?? , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную особенность. Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0| при m=1 : Основная теорема о вычетах.
Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1, a2, …, ak. ? –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интегралравен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т. д. умноженный на 2? i : (5) Пример : Найти вычет Особые точки : Z1=1, Z2= - 3. Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка. Используем формулу (3) : Интегральные преобразования. Операционное исчисление и некоторые его приложения.
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0? 0 такие, что выполняется условие : |f(t)|
Рассмотрим функцию f(t)? e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b). (1) Применим к этому соотношению формулу Эйлера : Проинтегрировав это равенство получим : (2) Оценим левую часть равенства (2) : А согласно свойству (3) |f(t)| В случае если a>S0 имеем :
Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом при a>S0интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметрар : (3)
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) ? F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу. - это оператор Лапласа. Смысл введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности: если две функции ? ? t? ?? и? ?? t? имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным. Изображение функций ? 0(t), sin (t), cos (t). Определение: называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение : Изображение единичной функции
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) : интегрируя по частям получим : т. е.
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного. где а – константа. Таким образом : и Свойства линейности изображения.
Теорема: изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные. Если , то , где
Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(? +p) является изображением функции e-? t f(t) (4) Доказательство : Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4) Что и требовалось доказать. Таблица основных изображений: F(p) f(t) F(p) f(p) 1 Изображение производных. Теорема. Если , то справедливо выражение : (1) Доказательство : (2) (3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем : Что и требовалось доказать. Пример: Решить дифференциальное уравнение : Если x(0)=0 и x’(0)=0
Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений. Изображающее уравнение :
Теорема о интегрировании оригинала. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение . Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда . Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до? в области изображений. Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция : (1) Свертка обозначается следующим образом : (1’) Равенства (1) и (1’) идентичны. Свертка функции подчиняется переместительному закону. Доказательство:
Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов . Доказательство : Пусть изображение свертки (1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и ? . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и ? входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда . В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда (2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений. Обратное преобразование Лапласа. - Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение : , где s – некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению. Теоремы разложения.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения. Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : . Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни ? 1, ? 2, …, ? n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле : (3) Например : Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа. Преобразование Лапласа имеет вид : (1) На f(t) наложены условия : f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-? ; ? ) f(t)? ? 0 , t ? (- ? ; 0)
При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t)принимает произвольное значение при t (2) Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.
Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа. Предположим, что Re(p) = a = 0, т. е. (4) (5)
и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
Должна быть определена на промежутке (-? ; ? ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная. Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C
Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций : т. к.
Если f(t) = 0 при t>0и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, чтоF(p) не обращается в число справа от мнимой оси. Если f(t) ? 0, t (6) Обозначим Очевидно, что (6’) Функция (6) называется спектральной плотностью
В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности : Вычисление интеграла (5) Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной (7)
|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, ? (u) – фазовый угол. В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u) (8) (9)
Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол ? (u). Пример. Найти спектральную плотность импульса : откуда , далее
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций. Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа. Прямое преобразование Фурье необходимо :
Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений. Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу приp = iu.
Спектральной плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iu? ) абсолютно интегрируемой функции.