Ферромагнетизм. Модель Изинга

2

Учреждение образования РБ

Кафедра общей физики

Реферат на тему:

«Ферромагнетизм. Модель Изинга»

Брест 2009

Содержание

Введение

1. Явление ферромагнетизма

2. Фазовые переходы в ферромагнетиках

3. Распределение Гиббса

4. Модель Изинга

5. Линейная модель Изинга с дальним взаимодействием

Введение

Классические решеточные модели введены в статистическую физику по следующим причинам:

1. Замена классической модели, для которой вычисление статистического интеграла с потенциалом общего вида весьма проблематично, на решеточную модель с существенным ограничением радиуса действия потенциала. Благодаря этому вместо «реального» межатомного потенциала, задаваемого некоторой функцией v(r) с бесконечным числом возможных значений, появляется конечный набор значений этой функции в точках, определяемых возможными расстояниями между узлами решетки в приделах радиуса действия потенциала. В случае одномерной модели Изинга, к примеру, от «бывшего» межатомного потенциала остается только одна константа - значение потенциала взаимодействия между ближайшими соседями.

2. Как известно из опыта, при достаточно низких температурах почти все вещества переходят в кристаллическое состояние. Однако само существование кристаллического состояния вывести из принципов статистической механики пока не удалось. Поэтому построение статистической термодинамики кристаллического состояния имеет смысл в рамках модели, в которой кристаллическая структура вводится аксиоматически.

3. Решеточные модели позволяют «оттачивать» математический аппарат и осуществлять оценку эффективности разрабатываемых приближенных методов статистической физики.

В своей работе я расскажу о ферромагнетиках. Цель работы: изучить явление ферромагнетизма. Также познакомиться с одномерной и двумерной моделью Изинга.

1. Явление ферромагнетизма

Ферромагнетики - вещество, у которого вектор индукции собственного магнитного поля, сонаправленный с вектором магнитной индукции внешнего поля, значительно превышает его по модулю (внешнее магнитное поле значительно увеличивается). Ферромагнетики, в отличие от слабомагнитных диамагнетиков и парамагнетиков, являются сильномагнитными средами: внутреннее магнитное поле в них может в сотни и тысячи раз превосходить внешнее поле.

Ферромагнитные материалы в большей или меньшей степени обладают магнитной анизотропией, то есть свойством намагничиваться с различной степенью трудности в различных направлениях.

Магнитные свойства ферромагнитных материалов сохраняются до тех пор, пока их температура не достигнет значения, называемого точкой Кюри. При температурах выше точки Кюри ферромагнетик ведет себя во внешнем магнитном поле как парамагнитное вещество. Он не только теряет свои ферромагнитные свойства, но у него изменяется теплоемкость, электропроводимость и некоторые другие физические характеристики.

Точка Кюри для различных материалов различна:

для железа+770⁰ С;

для никеля+365⁰ С;

для кобальта +1130⁰ С.

При намагничивании ферромагнетиков происходит небольшое изменение их линейных размеров, то есть увеличение или уменьшение их длины с одновременным уменьшением или увеличением поперечного сечения. Это явление называется магнитострикцией, оно зависит от строения кристаллической решетки ферромагнетика.

В чем же заключается природа ферромагнетизма?

Согласно представлениям Вейсса (1865-1940), его описательной теории ферромагнетизма, ферромагнетики при температурах ниже точки Кюри обладают спонтанной намагниченностью независимо от наличия внешнего намагничивающего поля. Однако это вносило некое противоречие, так как многие ферромагнитные материалы при температурах ниже точки Кюри не намагничены.

Для устранения этого противоречия Вейсс ввел гипотезу, согласно которой ферромагнетик ниже точки Кюри разбивается на большое число малых микроскопических (порядка 10^-3 - 10^-2 см.) областей - доменов, самопроизвольно намагниченных до насыщения.

При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных атомов ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результирующий магнитный момент ферромагнетика равен нулю, то есть ферромагнетик не намагничен.

Внешнее магнитное поле ориентирует по полю магнитные моменты не отдельных атомов, как в парамагнетике, а целых областей спонтанной намагниченности. Поэтому с ростом H намагниченность J (рисунок 1) и магнитная индукция B уже в слабых полях растет довольно быстро.

Рис 1

Показанное на рис.1 намагничивание такого образца (ферромагнетик) в магнитном поле, напряженность Н которого медленно увеличивается, происходит за счет двухпроцессов: смещения границ доменов и вращения магнитных моментов доменов. Процесс смещения границ доменов приводит к росту размеров тех доменов, которые самопроизвольно намагничены в направлениях, близких к направлению вектора H.

Процесс вращения магнитных моментов доменов по направлению H играет основную роль только в области, близкой к насыщению, т.е. при H близких к H_s .

Существование доменов в ферромагнетиках доказано экспериментально.

В настоящий момент установлено, что магнитные свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами электронов. Установлено также, что ферромагнитными свойствами могут обладать только кристаллические вещества, в атомах которых имеются недостроенные внутренние электронные оболочки с некомпенсированными спинами. В подобных кристаллах могут возникать силы, которые вынуждают спиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно друг другу, что и приводит к возникновению областей спонтанного намагничивания. Эти силы, называемые обменными, имеют квантовую природу - они обусловлены волновыми свойствами электронов.

2. Фазовые переходы в ферромагнетиках

Ферромагнетики - удивительно простые системы, в которых наблюдаются фазовые переходы различных типов.

Рассмотрим решетку, в узлах которой расположены взаимодействующие между собой спины si (магнитные моменты). Энергия взаимодействия пары спинов (обычно учитывается взаимодействие только ближайших соседей).

Eij = -J (si sj) .

Полная энергия E и намагниченность M данной конфигурации спинов {s1, s2, ... sn} могут быть найдены суммированием по всей решетке. В модели Гейзенберга каждый спин может принимать произвольное направление. Если спин вращается в плоскости - это XY модель.

В модели Изинга каждый спин может принимать только два выделенных направления si = +-1 (вверх или вниз). Поскольку si может принимать 2 значения, у системы из n спинов есть 2n различных конфигураций. Ниже приведены 24 = 16 возможных конфигураций спинов и соответствующие энергии для решетки 2x2

E = -4J E = 4J

+ + - - + - - +

+ + - - - + + -

E = 0

- + + - + + + ++ - - + - - - -- - + - + + - +

+ + + + + - - +- - - - - + + -+ + + - - - - +

Для ферромагнетика константа обменного взаимодействия J > 0 и энергия минимальна для спинов, направленных в одну сторону. Система вырождена, т.к. одной энергии соответствует несколько различных конфигураций спинов. Энтропия системы S(E) растет с увеличением степени вырождения состояний с энергией E. Энтропия минимальна в упорядоченном состоянии (при минимальной энергии) и быстро растет с ростом энергии.

рис. 2

Предполагается, что спины взаимодействует также с термостатом с температурой T. В термодинамическом равновесии система стремится к минимуму F = E - T S. Поэтому при низкой температуре она переходит в состояние с минимальной энергией (все спины направлены в одну сторону). Т.о. взаимодействие спинов приводит к их упорядочиванию и появлению макроскопической намагниченности M (см. рис.2). При высокой температуре системе выгоднее уменьшить F за счет увеличения ее энтропии (беспорядка). Тепловые флуктуации разрушают упорядочивание и намагниченность системы обращается в ноль.

В двумерном модели Изинга при критической температуре Tc = 2.269 происходит фазовый переход из неупорядоченного в упорядоченное ферромагнитное состояние.

3. Распределение Гиббса

В состоянии термодинамического равновесия вероятность конфигурации спинов системы {s1, s2, ... sn} определяется функцией распределения Гиббса

w(s1, ... sn) = 1/Z exp[ -E(s1, ... sn)/T ],(1)

где Z - нормировочный коэффициент, называемый статистической суммой и определяемый из условия

? s1 ? s2 ... ? sn w(s1,...sn) = 1, Z = ? s1 ? s2 ... ? sn exp[ -E(s1,...sn)/T ].

Тогда, например, усредненная по функции распределения Гиббса энергия системы

<E>G = ? s1 ? s2 ... ? sn E(s1, ... sn) w(s1, ... sn) =

1/Z ? s1 ? s2 ... ?sn E(s1, ... sn) exp[ -E(s1, ... sn)/T] .

В 1944г. Л.Онзагер нашел точное решение для двумерной модели Изинга. В принципе, среднее для любого конечного n может быть найдено перебором всех спиновых конфигураций, но для макроскопических систем (например при n = 100) это невозможно для любой ЭВМ. Однако вклад различных слагаемых в сумму не равнозначен. Из (1) следует, что вероятность нахождения в состоянии с энергией E

w(E) ~ n(E) exp(-E/T),

где n(E) - число конфигураций с энергией E. Последнее выражение можно переписать

w(E) ~ exp[S(E)-E/T],

где S(E) = ln n(E) - энтропия состояний с данной энергией. Поэтому в равновесии среди всех состояний системы чаще будут встречаться конфигурации, для которых велики w(E) и S(E)-E/T.

4. Модель Изинга

Модель Изинга --- математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.

Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое "спином " и равное +1 или -1 ("поле вверх"/"поле вниз"). Каждому из 2^N возможных вариантов расположения спинов (где N --- число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:

где J --- энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле h (часто полагаемое малым):

Затем, для заданной обратной температуры eta=1/k_B T на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Больцмана: вероятность конфигурации полагается пропорциональной e^{-eta E(S)} , , и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов N.

Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (J>0) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов "вверх" и "вниз" будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри.

В этой модели предполагается, что атомы располагаются неподвижно, не совершая колебаний, в узлах идеальной кристаллической решетки. Расстояния между узлами решетки постоянно, оно не зависит ни от температуры, ни от намагниченности, то есть в этой модели не учитывается теплового расширения твердого тела.

Взаимодействие между магнитными моментами в модели Изинга учитывается, как правило, лишь между ближайшими соседями. Считается, что величина этого взаимодействия также не зависит от температуры и намагниченности. Взаимодействие обычно (но не всегда) считается центральным и парным.

Однако даже в такой простой модели изучение фазового перехода ферромагнетик-парамагнетик встречает огромные математические трудности. Достаточно сказать, что точного решения трехмерной задачи Изинга в общем случае до сих пор не получено, а применение более-менее точных приближений в этой задаче приводит к большим вычислительным трудностям и находится на грани возможностей даже современной вычислительной техники.

5. Линейная модель Изинга с дальним взаимодействием

Двумерная модель Изинга с дальним взаимодействием до сих пор не решена. Поэтому представляет интерес рассмотрение поведения упрощенных моделей с дальним взаимодействием. Одной из таких моделей является линейная (одномерная) модель со взаимодействием ближайших и следующих за ближайшими соседей.

Для описания взаимодействия в такой модели введем матрицу с тремя индексами Wijl с элементами:

< i|W|j>|l>=exp(и1уiуj)exp(и2уiуj), и1 =J1 /kT, и2 =J2/kT, (1)

где J1 иJ2 -параметры взаимодействия ближайших и следующих за ближайшими соседей соответственно, k -постоянная Больцмана, Т -абсолютная температура, конфигурационные переменные уi ,уj ,уl независимо принимают значения ±1.

В стандартных обозначениях для многомерных матриц элементы матрицы (1) можно расположить в виде прямоугольной таблицы:

Стрелки указывают направление, в котором возрастают соотвецтвующие индексы. В качестве значений индексов мы выбрали значения конфигурационных переменных уi,уj,уl ,причем в двоичной системе счисления знаку плюс сопоставляем 0, знаку минус сопоставляем 1.