Понятие колебательного явления. Бифуркация. "Жесткие" и "мягкие" режимы

8

кафедра информатики и прикладной математики

Реферат на тему

Понятие колебательного явления.

Бифуркация. "Жесткие" и "мягкие" режимы

Брест-2009

Содержание

• 1. Основные понятия
• 1.1 Понятие о колебаниях
• 2. Место колебательных процессов в науке и технике
• 3. Бифуркация
• Литература

Введение

Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью. Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматриваемой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т.е. скачкообразно, то говорят о "жестком" возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют "мягким". Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами.

1. Основные понятия

1.1 Понятие о колебаниях

Рассмотрим некоторую систему, т.е. совокупность объектов, взаимодействующих между собой и с окружающей средой по некоторому закону. Это может быть как механическая система материальных точек, абсолютно твердых тел, упругие и вообще деформируемые тела и т.п., так и электрическая, биологическая и смешанная системы. Пусть состояние системы в каждый момент времени t описывается некоторым набором параметров. Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным процессом или просто колебаниями, а соответствующий параметр называется колеблющейся величиной. Невозможно установить четкую границу, отделяющую колебательные процессы от неколебательных. Если все или наиболее существенные параметры системы - колеблющиеся величины, то говорят, что система испытывает колебания. Система, способная при определенных условиях совершать колебания, называется колебательной системой. Строго говоря, под это определение подходит любая система, так как для любой системы можно выбрать такое воздействие, при котором она будет совершать колебательное движение. Поэтому обычно используют более узкое определение: система называется колебательной, если она способна совершать колебания при отсутствии внешних воздействий (только за счет первоначально накопленной энергии).

2. Место колебательных процессов в науке и технике

Большинство наблюдаемых в природе и технике процессов являются колебательными. К колебательным процессам относятся самые разнообразные явления: от ритмов головного мозга и биения сердца до колебаний звезд, туманностей и других космических объектов; от колебаний атомов или молекул в твердом теле до климатических изменений на Земле, от вибраций звучащей струны до землетрясений. Все акустические явления и явления, связанные с распространением электромагнитных волн, также сопровождаются колебательными процессами.

Исследование полета и плавания животных, создание летающих и плавающих аппаратов с колеблющимися рабочими органами, изучение неординарных вихрей имеет уже более чем столетнюю историю. Несмотря на огромное число публикаций, эта область остается малоизученной. Остаются, по-прежнему, слабо изученными механика полет и плавания животных, физика торнадо и вихревой трубки, динамика и энергетика спиральных и других вихревых структур. Сложившееся положение в этой области человеческих знаний связано с несколькими причинами:

с кризисом научных работ (теоретической базой, методами исследования);

с кризисом технической политики (отсутствие стратегии в создании новой техники);

с кризисом организационных форм и человеческих возможностей при создании экстра сложных в научном и конструкторском отношении объектов.

Эта сторона дела при проведении работ в этой области, обычно не замечается или игнорируется учеными, конструкторами, бизнесменами, менеджерами и финансистами. Мне кажется, что игнорирование существования самих кризисов обрекает работы в этой области на хронические неудачи, на трату больших временных, людских, финансовых и материальных ресурсов впустую. Современный уровень проведения научных, конструкторских и организационных работ в этой области является недостаточным для того, чтобы довести эти работы до успеха (современный уровень, - это не более чем дилетантский подход при исследовании в этой области). Поэтому поднятые здесь вопросы должны быть приняты во внимание и побудить человеческое сообщество пересмотреть сообща свои научные, технические и организационные подходы к решению проблем в этой области. Вопрос стоит ребром: или мы пересмотрим все эти подходы, или сотни ученых из поколения в поколение будут ходить по кругу, не находя действительных научных объяснений и конструкторских решений адекватных специфике разрабатываемых изделий.

3. Бифуркация

Бифуркация - изменение характера движения динамической системы на большом временном интервале при изменении одного или нескольких параметров. Те значения параметров, при которых изменяются качественные или топологические свойства движения, называются критическими или бифуркационными значениями. Например, при сжатии стержня происходит выпучивание, и одно состояние равновесия, потеряв устойчивость, сменяется новыми устойчивыми состояниями равновесия. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А.М. Ляпуновым в нач.20 в., затем эта теория была развита А.А. Андроновым и учениками. В качестве примера рассмотрим решение, описывающее идеальный осциллятор Дуффинга: x"+a*x+b*x*x*x=0. Для начала построим зависимость положения точек равновесия от a. С изменением а от положительных до отрицательных значений единственная точка равновесия распадается на три. На языке динамики: единственный центр преобразуется в седловую точку в центре координат и два центра на координатной прямой (см. рисунок1).

Рис.1. Траектории осциллятора с нелинейной возвращающей силой (уравнение Дуффинга) на фазовой плоскости: а-случай жесткой пружины а,b>0, б-случай мягкой пружины а>0,b<0 в-потенциал с двумя ямами, a<0, b>0.

Бифуркация такого типа называется бифуркацией типа вил. Физический смысл этого явления понятен из того, что силу - (а*x+b*x*x*x) можно описать с помощью потенциальной энергии. Когда а становится отрицательным, потенциал с одной ямой заменяется потенциалом с двумя ямами. При этом происходит качественное изменение динамики системы, и поэтому а=0 является критическим бифуркационным значением.

Рис.2. Бифуркационная диаграмма: бифуркация типа вил, отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками.

Другой пример бифуркации - появление в физических системах предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собственных значений s1=i*w+q, s2=-i*w+q переходит из левой части плоскости (q<0, устойчивая спираль) в правую часть (q>0, неустойчивая спираль) и возникает периодическое движение, называемое предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики системы, показанный на рис.3, называется бифуркацией Хопфа.

Рис.3. Бифуркационная диаграмма: бифуркация Андронова-Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на предельном цикле.

На рисунке 4 показана бифуркационная диаграмма логистического отображения:

Рис. 4.

Литература

1. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И. "Введение в теорию нелинейных колебаний", М. Физматлит, 1999г.

2. Киселев О.М. "Введение в теорию нелинейных колебаний", М. Физматлит, 1999г.

3. Чуличков А.И. "Математические модели нелинейной динамики", М. Физматлит, 1999г.

4. Многочисленные интернет-сайты.