Ігри з природою

Дніпропетровськаобласна рада
Управлінняосвіти і науки
Дніпропетровськоїоблдержадміністрації
Обласнийкомунальний вищий навчальний заклад
«Інститутпідприємництва «Стратегія»
ФакультетУправління
Кафедраекономічної кібернетики

Курсоваробота
з дисципліни:Дослідження операцій
натему: Ігри з природою
Виконав: Хавренко І.С.
м.Жовті Води
2009рік

Зміст
 
Вступ
1. Теоретична частина
1.1 Структура статистичних ігор
1.1.1 Стратегічні і статистичні ігри
1.1.2 Суть статистичної гри
1.1.3 Простір стратегій природи
1.1.4 Простір стратегій статистики і функції втрат
1.2 Статистичні ігри без експерименту
1.2.1 Подання статистичної гри без експерименту увигляді S-гри
1.2.2 Принципи вибору стратегій встатистичних іграх
1.2.3 Допустимі стратегії в статистичнихіграх
2. Практична частина
Висновки
Список літератури
Вступ
В розглянутихзадачах теорії ігор передбачалося, що в них беруть участь два учасники,інтереси яких протилежні. Тому дії кожного гравця направлені на збільшеннявиграшу (зменшення програшу). Проте в багатьох задачах, що зводяться до ігрових,невизначеність викликана відсутністю інформації про умови, в яких здійснюєтьсядія. Ці умови залежать не від свідомих дій іншого гравця, а від об’єктивної дійсності, яку прийнятоназивати природою. Такі ігри називаються іграми з природою. Людина А віграх з природою прагне діяти обачно, використовуючи, наприклад, мінімакснустратегію, що дозволяє отримати якнайменший програш. Другий гравець В (природа)діє абсолютно випадково, можливі стратегії визначаються як її стани (наприклад,умови погоди в даному районі, попит на певну продукцію, об'єм перевезень, деякепоєднання виробничих чинників і т. д.). Саме не зловмисність інепередбачуваність другого гравця, тобто природи, викликає інтерес достатистичних ігор. Об'єктом даної роботи є статистичні ігри, а конкретно — загальний вид гри з природою, їїструктура, особливості, методи розв’язання. Метою даної роботи є аналіз структури статистичних ігор, їхособливостей і відмінностей від інших задач теорії ігор, а також вивченняметодів розв’язку статистичних ігор і практичне їх застосування.
Задача даноїроботи – провести детальний аналіз статистичних ігор, а також практичнозастосувати методи їх розв’язку.
Структура роботи.Відповідно до мети і задачі, дана робота складається із вступу, теоретичноїчастини (2 пункти, 7 підпунктів), практичної частини, висновків і спискулітератури. В теоретичній частині розглядається загальна теорія курсовоїроботи, в практичній частині – приклад розв’язку статистичної задачі звикористанням методів розв’язку, приведених в теоретичній частині./>

1. Теоретичначастина
 1.1 Структурастатистичних ігор1.1.1Стратегічні і статистичні ігри
Специфічним видомігор, що мають велике значення при аналізі різних практичних ситуацій, єстатистичні ігри. Вони мають ряд істотних відмінностей від стратегічних ігор. Воснові теорії стратегічних ігор лежить припущення, що інтереси двох гравцівпротилежні. Кожний з гравців прагне так вибрати свою стратегію, щоб отриматидля себе найбільшу вигоду і звести до мінімуму вигоду супротивника. В такихіграх кожний гравець діє активно і прагне по можливості використовуватиоптимальну стратегію. Проте в багатьох практичних ситуаціях доводитьсястикатися з випадками, коли один з гравців виявляється нейтральним, тобтотаким,який не прагне отримати для себе максимальної вигоди. До таких ігор відносятьігри, в яких як один з гравців виступає природа. Тут в поняття «природа»вкладається вся сукупність зовнішніх обставин, в яких доводиться ухвалюватирішення.
Природу не можнарозглядати як розумного супротивника, який міг би використовувати помилки, щоскоїла людиною. Іншими словами, природа не має злого наміру по відношенню долюдини. Вона просто розвивається і діє відповідно до своїх законів і у владілюдини обернути ці закони собі на користь. Якби людина абсолютно точно зналазакони природи, вона могла би їх використовувати з максимальною для себевигодою. Проте у багатьох випадках людина або не знає закону природи, або знаєйого недостатньо повно. Неминучою платнею за спробу отримати розв’язок в умовах неповної інформації прозакон природи є можливість ухвалення помилкових рішень. При цьому практичноситуації такі, що відмовитися взагалі від ухвалення якого-небудь рішеннянеможливо. Єдиний вихід з ситуації, що створилася — вироблення людиною такоїстратегії відносно ухвалення рішень, яка хоча і не виключає можливістьухвалення неправильних рішень, але зводить до мінімуму пов'язані з цим небажанінаслідки. Правда, у людини є ще можливість вивчати супротивника, тобто природу,за допомогою проведення експерименту. Проте цьому заважають дві обставини:
1) на проведенняексперименту потрібен час, тоді як рішення у багатьох випадках потрібноухвалити швидко;
2) експериментвимагає витрати засобів, тобто може коштувати дорого — дорожче за той виграш,який дають додаткові знання, отримані в результаті експерименту.
Тому важливоюзадачею людини в грі проти «природи» є ухвалення рішення про те, чи потрібнопроводити експеримент, а якщо потрібно, то який, коли його закінчити і які діїзробити після закінчення експерименту.
Ігри, в яких одинсупротивник — природа, а інший — людина, отримали назву статистичних ігор, атеорію таких ігор називають теорією статичних ігор. Людина, яка бере участь вгрі проти природи, надалі називатимемо статистиком.1.1.2Суть статистичної гри
Близькою по ідеяхі методах до теорії ігор є теорія статистичних рішень. Від теорії ігор вонавідрізняється тим, що невизначена ситуація не має конфліктного забарвлення —ніхто нікому не протидіє, але елемент невизначеності в наявності. В задачахтеорії статистичних рішень невідомі умови операції залежать не від свідомодіючого «супротивника» (або інших учасників конфлікту), а від об'єктивноїдійсності, яку в теорії статистичних рішень прийнято називати «природою».Відповідні ситуації часто називаються «іграми з природою». «Природа» мислитьсяяк якась незацікавлена інстанція, «поведінка» якої невідомо, але в усякому разіне зловмисна. Здавалося б, відсутність свідомої протидії спрощує задачу виборурозв’язку. Виявляється, ні: не спрощує, а ускладнює. Правда, ухвалюючомурішення в «грі з природою» насправді «легше» добитися успіху (адже йому ніхтоне заважає), але йому «важче» обгрунтувати свій вибір. В грі проти свідомогосупротивника елемент невизначеності частково знімається тим, що ми «думаємо» засупротивника, «ухвалюємо» за нього рішення, найсприятливіше для нас самих. Вгрі ж з природою така концепція не підходить: хто знає, як себе поведе природа?Тому теорія статистичних рішень — сама «хистка» в значенні рекомендації наука.Все ж таки у неї є право на існування і на увагу з боку осіб, що займаютьсядослідженням операцій.1.1.3Простір стратегій природи
Під стратегієюприроди розумітимемо повну сукупність зовнішніх умов, в яких доводитьсяухвалювати рішення. Цю сукупність зовнішніх умов назвемо станом природи />. В загальному випадку існуєдеяка множина можливих станів природи /> яка називатиметься простором стануприроди, а елемент цього простору – чистими стратегіями природи. [5]
Якби було відоменаперед, яку з своїх чистих стратегій застосовує природа у кожному конкретномувипадку, то з упевненістю ухвалювали б рішення на підставі повного знання стануприроди. Проте звичайно буває, відомий тільки перелік чистих стратегій природи.Тобто відомий апріорний розподіл вірогідності /> на просторі станів природи />. Цей апріорний розподілвірогідності /> називають змішаноюстратегією природи. 1.1.4 Простір стратегій статистикаі функція втрат
Задача статистикаполягає в тому, щоб ухвалити яке-небудь рішення
або виконатияку-небудь дію з сукупності розв’язків або дій. Позначимо можливі дії статистика через />.
Кожна з цих дій єчистою стратегією статистика. Множина А={а1 ..., ai} є простором чистих стратегій статистика.
Статистик повиненуміти оцінити кожну з своїх дій. Для цього він допускає, що скоюючи дію а, можезазнати збитків L(/>, а), якізалежать як відвиконуваної дії а, так і від невідомого стану природи />. Функція L(/>,а), щоназиваєтьсяфункцією втрат, повинна бути наперед визначена для всіх можливих комбінацій /> і />, тобто повинна бути заданана прямому добутку множин />. Її можна задавати або аналітично,або по аналогії з матрицею втрат вигляду:
/>
де />.
Знання функціївтрат дозволяє статистику зробити дії, які є якнайкращими в умовах інформації,яку він має про стан природи. Знання апріорного розподілу вірогідностейдозволяє визначити середні втрати, яких зазнає статистик, виконуючи ту або іншудію:
/>
Якнайкращою длястатистика дією буде байесовська дія а*, при якій втрати будутьмінімальні, тобто
/>
Статистик не обов’язково повинен обмежитисьвикористанням лише однієї чистої стратегії. Він може застосувати суміш чистихстратегій у відповідності до певного ймовірнісного закону розподілу. В цьому випадкустатистик буде користуватись змішаною стратегією. Для змішаної стратегіїстатистик повинен задатися розподілом ймовірностей />,який визначає ймовірності, з якими будуть використані чисті стратегії. Взагальному випадку статистик має в розпорядженні деякий набір змішанихстратегій />, що називається простором змішанихстратегій статистика.
Якщо статистикзастосовує змішану стратегію />, а природа — змішану стратегію />, то середні втратистатистика:
/>
В цьому випадкузадача статистика полягає в тому, щоб вибрати таку стратегію /> , при якій йогосередні втрати /> будуть мінімальні, тобто:
/>
Тут статистик неробить спроби уточнити свої знання про дійсний стан природи шляхом проведенняексперименту. Тому даний тип статистичної гри може бути названий статистичноюгрою без експерименту. 1.2 Статистичні ігри без експерименту 1.2.1Поданнястатистичної гри без експерименту у вигляді S-гри
Статистична граможе бути подана у вигляді еквівалентної S-гри абсолютно таким же чином, як церобилося в стратегічних іграх. Для цього з кожною з чистих стратегій /> пов'язуємо точку в m-мірномупросторі, координатами якої будуть втрати статистика /> при різних станахприроди />. [5]
Розглянемодекілька принципів, якими може керуватися статистик при виборі своєї стратегії.При цьому серед статистиків не існує єдиної думки про те, який з принципів єякнайкращим в статистичних іграх. Іншими словами, не існує універсального правила,що дозволяє вибрати, певний образ дії незалежно від ситуації, що склалася. Хочаможуть бути розбіжності щодо того, що не потрібно робити в даній ситуації,можна прийти до повної згоди щодо того, що не потрібно робити. Це можливо привведенні поняття допустимих стратегій, аналогічного поняттю домінуючихстратегій в стратегічних іграх. 1.2.2 Принципи вибору стратегій встатистичних іграх
Принципом виборуназивають правило, що дозволяє визначити якнайкращу змішану стратегіюстатистика. В різних випадках статистик може користуватися різними принципамивибору своєї стратегії.
Одним з можливихпринципів вибору стратегії може бути принцип мінімакса, який успішнозастосовують в стратегічних іграх, коли гра ведеться проти розумногосупротивника, охочого заподіяти нам найбільшого збитку. Проте у ряді випадківдоцільно використовувати цей принцип і в статистичних іграх. Згідно принципумінімакса статистик вибирає таку змішану стратегію />, при якій середні втрати /> будуть мінімальні приякнайгіршому для нього стані природи />. Найгіршим випадком буде таке />, коли величина /> приймає максимальнезначення. Цю величину статистик і повинен мінімізувати, тобто вибиратистратегію />, яка забезпечує умову:
/>
Іноді доцільновибирати стратегію, виходячи не з повних втрат L(/>,а), а з додаткових L’(/>,а), що визначаються ізспіввідношень:
L’(/>,а)= L(/>,а) - />.

Мінімаксніпринципи, що витікають з припущення, що природа діє якнайгіршим для статистикачином, є виправданими в стратегічних іграх, але в статистичних іграх вонивиражають точку зору дуже обережної людини, що прагне отримати доступне і що неганяється за нездійсненним, щоб не зазнати випадково великого збитку. Недолікоммінімаксних принципів слід вважати також те, що вони не враховують апріорноїінформації про стани природи і тим самим обмежують той виграш, який цяінформація може дати.
Тому мінімаксніпринципи можна рекомендувати в тих випадках, коли відсутня апріорна інформаціяпро стани природи або є підстави сумніватися в достовірності цієї інформації. Іншимпринципом вибору стратегії, що враховує апріорний розподіл вірогідності />, є байесовський принцип.Згідно байесовському принципу змішану стратегію статистика />(а) оцінюють шляхом усереднювання втрат /> по всіх можливих станахприроди /> з урахуванням апріорногорозподілу вірогідностей />, тобто по величині:
/>
Якнайкращоюстратегією /> (а) при цьому буде така, якадає мінімум величини />. Цю якнайкращу стратегію називають байесовською стратегією.[5] Байесовський принцип,природно, можна застосовувати як до повних, так і до додаткових втрат. Проте вбільшості випадків застосовують байесовський принцип до повних втрат.1.2.3Допустимі стратегії в статистичних іграх
Припустимо, щорозглядаємо змішану стратегію статистика />(а). Можуть зустрітися два випадки.
1. Не можназнайти жодній стратегії, кращої ніж />(а). Це означає, що не існує такоїстратегії />(а), для якої:
/> (1.2.3.1)
при всіх />, хоча для деяких /> співвідношення (1.2.3.1)буде справедливе. В цьому випадку стратегію />(а)можна назвати допустимою, але вонаможе і не бути бажаною, оскільки можуть бути і інші стратегії, які також маютьправо на увагу.
2. Існуєстратегія />(а), краща ніж />(а). Це означає, що співвідношення (1.2.3.1)для стратегії />(а) буде справедливе при всіх />. В цьому випадку стратегію />(а)потрібно виключити з розгляду накористь стратегії />(а), тобто вважати її неприпустимою. Допустимістратегії зручно розглядати в термінах S-гри. Оскільки в S-грістратегія статистика визначаєтьсяточкою S опуклої оболонки S*, а втрати при різних /> визначаються координатамицієї точки, то стратегія, що визначається точкою S, буде допустимою, якщо не існуєіншої точки /> , у якої всі координатибудуть менше відповідних координат точки S. Метод знаходження допустимихстратегій розберемо для випадку, коли простір станів природи складається зелементів /> і />.На мал. 1.2.3.1 показана опукла область S*, що відповідає цьому випадку.
Розглянемостратегію, що визначається точкою />, яка розташовується всерединіобласті S*. Ця стратегія не є допустимою,оскільки всі точки, що лежать на відрізку OS1усередині S*, визначають кращі стратегії, ніж />. Якнайкращою з них єстратегія S, що належить нижній лівій межі області S*. [5]
Тому всівнутрішні точки можна виключити на користь точок, що належать нижній лівій межіобласті S*, відзначеної на малюнку жирною лінією. Проте зсув точкиуздовж цієї межі не дає яких-небудь переваг, оскільки при цьому зменшуються втрати,що відповідають одному стану природи, але збільшуються втрати, що відповідаютьіншому стану природи. Тому точки, що належать нижній лівій межі області S*і визначають допустимі стратегіїстатистика.
/>

/>
S
/>
Мал.1.2.2.1 Допустимістратегіїв S-грі
1.3Принципи розв’язання статистичних задач
Розглянемо гру зприродою: у нас (сторона А) є тможливих стратегій />; що стосується обстановки,то про неї можна зробити п припущень: />. Розглянемо їх як «стратегіїприроди». Наш виграш /> при кожній парі стратегій /> заданий матрицею (таблиця 1.3.1).[2, c. 196-199]
Таблиця1.3.1
/>
/>  
/>  
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Необхідно вибратитаку стратегію гравця А (чисту, або можливо, змішану, якщо це можливо),яка є більш вигідною в порівнянні з іншими.
Найпростішийвипадок вибору розв’язку в грі з природою — цевипадок коли якась із стратегій гравця А перевершує інші («домінує» надними), як, наприклад, стратегія А2 в таблиці 1.3.2.
Тут виграш пристратегії А2 при будь-якому стані природи не менше ніж приінших стратегіях, а при деяких — більше; значить потрібний вибирати саме цюстратегію.
 
Таблиця1.3.2

/>  
/>   />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Якщо навіть вматриці гри з природою немає однієї домінуючій над всіма іншими стратегії, всеж таки корисно подивитися, чи немає в ній дублюючих стратегій і поступливихіншим за всіх умов. Але тут є одна тонкість: так ми можна зменшити тільки числостратегій гравця А, але не гравця П. Припустимо, що «чищення»матриці проведено, і ні дублюючих, ні явно невигідних гравцю А стратегійв ній немає. Припустимо, що виграш /> при нашій стратегії Aiі стані природа /> більше, ніж при нашійстратегії Ak і стані природи />: />>/>. Але за рахунок чого більше?За рахунок того, що вдало вибрали стратегіюAi? Необов'язково. Можливо, простостан природи /> вигідніше, ніж />. Наприклад, стан природи«нормальні умови» для будь-якої операції вигідніше, ніж «повінь», «землетрус» іт.п. Бажано ввести такі показники, які не просто давали б виграш при данійстратегії в кожній ситуації, але відображали б «вдачність» або «невдачність»вибору даної стратегії в даній ситуації. З цією метою в теорії рішень вводитьсяпоняття «ризику». Ризиком /> гравця А при користуванністратегією Ai в умовах /> називається різниця міжвиграшем, який ми отримали б, якби знали умови />, і виграшем, який ми отримаємо, незнаючи їх і вибираючи стратегію Ai :
/>
Для прикладувізьмемо матрицю виграшів (/>)(таблиця 1.3.3) і побудуємо для неї матрицю ризиків(/>) (таблиця 1.3.4). При погляді на матрицю ризиків(таблиця 1.3.4) стають яснішими деякі рисиданої «гри з природою». Так, в матриці виграшів (/>)(таблиця 1.3.3) в другому рядку перший і останнійелементи були рівні один одному: /> .
Таблиця1.3.3

/>  
/>   />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 4 8 6 9
 
Таблиця1.3.4
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Проте ці виграшізовсім не рівноцінні в значенні вдалого вибору стратегії: при стані природи /> могли виграти найбільше 4, і вибірстратегії А2 майже абсолютно добрий; а ось при стані /> могли б, вибравшистратегіюА1 отримати на цілі 6 одиницьбільше, тобто вибір стратегії А2дужепоганий. Ризик — це «платня завідсутність інформації»: в таблиці 1.3.4 r21 = 1, r24= 6.Природно, хотілося б мінімізувати ризик, супроводжуючий вибір розв’язку.
Найпростішийвипадок невизначеності — це «доброякісна або стохастична невизначеність», колистани природи мають якісь вірогідності і цю вірогідності /> нам відомі. Тоді вибираємоту стратегію, для якої середнє значення виграшу, узяте по рядку, максимально:
/>
А середній ризикповинен бути мінімальним:
/>
Припустимо, щовірогідність /> у принципі існує, але невідомі.Іноді в цьому випадку припускають всі стани природи рівноімовірними (так званий«принцип недостатньої підстави» Лапласа), але взагалі-то це робити не рекомендується.Все-таки звичайно більш менш ясно, які стани більш, а які — менш вірогідні. Длятого, щоб знайти орієнтовні значення вірогідностей />, можна, наприклад,скористатися методом експертних оцінок.
Візьмемо випадок«поганої невизначеності», коли вірогідність станів природи або взагалі неіснують, або не піддаються оцінці навіть приблизно. Тут все залежить від точкизору на ситуацію, від позиції дослідника, від того, якими бідами загрожуєневдалий вибір рішення. Опишемо декілька можливих підходів, точок зору (або, якто кажуть, декілька «критеріїв» для вибору рішення).
1. Максиміннийкритерій Вальда. [2, c. 196] Згідно цьому критерію гра з природоюведеться як гра з розумним, причому агресивним супротивником, що робить все длятого, щоб перешкодити нам досягти успіху. Оптимальною вважається стратегія, приякій гарантується виграш у будь-якому випадку не менший, ніж «нижня ціна гри зприродою»:
/>.
Якщо керуватисяцим критерієм, що втілює «позицію крайнього песимізму», треба завждиорієнтуватися на гірші умови, знаючи напевно, що «гірше цього не буде».Очевидно, такий підхід — «перестраховочный», природний для того, хто дуже боїться програти, — не є єдино можливим,але як крайній випадок він заслуговує розгляду.
2. Критеріймінімаксного ризику Севіджа.
Поняття ризикувиявляється корисним і для введення інших принципів поведінки в іграх зприродою. На ньому, зокрема, заснований критерій Севіджа, відповідно до якого вумовах невизначеності (вірогідність станів природи невідома) слід вибирати такустратегіюi, яка гарантує мінімальний ризик, тобто
/>
Цей критерій —теж украй песимістичний, але при виборі оптимальної стратегії радитьорієнтуватися не на виграш, а на ризик. Сутність такого підходу в тому, щобвсіляко уникати великого ризику при ухваленні рішення. В значенні «песимізму»критерій Севіджа схожий з критерієм Вальда, але самий «песимізм» тут розумієтьсяпо-іншому.
Покажемо наприкладі, що критерій Севіджа, взагалі кажучи, відрізняється від критеріюВальда. Розглянемо матрицю:

/>
Для неїоптимальною по Вальду є перша стратегія:
/>.
Відповіднаматриці А матриця ризику є:
/>
Оптимальною поСевіджу тут є друга стратегія: />, тобто критерії Вальда і Севіджа вданому прикладі приводять до різних результатів (хоча можна навести і приклади,в яких виходять однакові результати).
3. Критерій песимізму-оптимізмуГурвіца. Цей критерій рекомендує при виборі рішення не керуватися ні крайнімпесимізмом, ні крайнім, легковажним оптимізмом. Згідно цьому критеріювибирається стратегія з умови
/>
де />— «коефіцієнт песимізму»,вибраний між нулем і одиницею.
При />= 1 критерій Гурвіцаперетворюється на критерій Вальда; при />= 0 — в критерій «крайньогооптимізму», що рекомендує вибрати ту стратегію, при якій найбільший виграш врядку максимальний. При 0 /> /> вибирається зсуб'єктивних міркувань — чим небезпечно ситуація, чим більше ми хочемо в ній«підстрахуватися», чим менша наша схильність до ризику, тим ближче до одиницівибирається />.
При бажанні можнапобудувати критерій, аналогічний Н, виходячи не з виграшу, а з ризику,але ми на цьому не зупинятимемося.
На перший поглядздається, що вибір критерію — суб'єктивний, вибір коефіцієнта />— теж суб'єктивний,значить і рішення теж приймається суб'єктивно, тобто, грубо кажучи, довільно.
В якійсь мірі цедійсно так — вибір рішення в умовах невизначеності завжди умовний,суб'єктивний. Та все ж в якійсь (обмеженої) мірі математичні методи корисні ітут. Перш за все, вони дозволяють привести гру з природою до матричної форми,що далеко не завжди буває просто, особливо коли стратегій багато (в наведенихприкладах їх було дуже мало). Крім того, вони дозволяють замінити просту матрицювиграшів (або ризиків), послідовним чисельним аналізом ситуації з різних точокзору, вислухати рекомендації кожній з них і, нарешті, зупинитися на чомусьвизначеному. Це аналогічно обговоренню питання з різних позицій, а в суперечці,як відомо, народжується істина. Отже не слід чекати від теорії рішеньостаточних, незаперечних рекомендацій — єдине, чим вона може допомогти — цепорадою.
Якщорекомендації, витікаючі з різних критеріїв, співпадають — тим краще, значить,можна сміливо вибрати рішення, що рекомендується: воно швидше за все не«підведе». Якщо ж, як це часто буває, рекомендації суперечать один одному, тотреба з'ясувати, наскільки до різних результатам вони приводять, уточнити своюточку зору і провести остаточний вибір. Не треба забувати що в будь-якихзадачах в обгрунтовуванні розв’язківдеяке свавілля неминуче — хоча б при побудові математичної моделі, виборіпоказника ефективності. Вся математика, вживана в дослідженні операцій, невідміняє цього свавілля, а дозволяє тільки «поставити його на своє місце».
Розглянемоелементарний приклад «гри з природою» 4 /> 3, матриця виграшів якої (/>) дана в таблиці 1.3.5.
Таблиця1.3.5

/>  
/>   />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Виберемооптимальну стратегію користуючись критеріями Вальда, Севіджа і Гурвіца, причомув останньому візьмемо />= 0,6 (перевага трохи у бік песимізму).
1. Застосуємо критерійВальда. Підрахуємо мінімуми по рядках (див. таблицю 1.3.6) і виберемо ту стратегію, при якіймінімум рядка максимальний (рівний 25). Це — стратегія A3.
Таблиця1.3.6

/>  
/>   />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>

25   />
2. Застосуємо критерійСевіджа. Перейдемо від матриці виграшів (таблиця 1.3.6) до матриці ризиків (таблиця 1.3.7), в правому додатковому стовпці запишемо максимальне врядку значення ризику />.
З чисел правогостовпця мінімальне (60) відповідає стратегіям А2 і Аз; значить, обидва вониоптимальні по Севіджу.
Таблиця1.3.7

/>  
/>   />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>

60  
60   />
3. Застосуємокритерій Гурвіца (при />= 0,6). Знову перепишемо таблицю 1.3.5,але цього разу в правих трьох додаткових стовпцях поставимо: мінімум рядка />, його максимум />, і величину />, округлену до цілих одиниць(див. таблицю 1.3.8). Максимальне значення hi =47 відповідає стратегії А3.
Отже, в даномувипадку всі три критерії однозначно говорять на користь стратегії А3,яку є всі підстави вибрати.
 
Таблиця1.3.8

/>  
/>   />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>

47   />
Розглянемо випадок,коли між критеріями виникає «суперечка». Матриця виграшів (/>) (з наперед виписанимистовпцями мінімумів рядків /> , максимумами рядків />, і значеннями /> (при />= 0,6)) дана в таблиці 1.3.9.
По критерію Вальдаоптимальною є стратегія />, по критерію Гурвіца з />= 0,6 — стратегія /> .
Таблиця1.3.9

/>  
/>   />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>

38   />
По критеріюСевіджа матриця ризиків з додатковим стовпцем, що містить максимуми рядків />, дана в таблиці 1.3.10.Мінімальним в останньому стовпці є число 38, так що критерій Севіджа, так самояк і критерій Гурвіца, показує стратегію />.
Таблиця1.3.10

/>  
/>   />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>
Відзначимонаступне: всі три критерії (Вальда, Севіджа і Гурвіца) були сформульовано длячистих стратегій, але кожний з них може бути поширений і на змішані, подібнотому, як це робиться в теорії ігор. Проте змішані стратегії в грі з природоюмають лише обмежене (головним чином, теоретичне) значення. Якщо в грі протисвідомого супротивника змішані стратегії іноді мають сенс як «трюк», що вводитьв оману супротивника, то в грі проти «байдужої природи» цей резон відпадає.Крім того, змішані стратегії придбавають значення тільки при багатократномуповторенні гри. А якщо вже її повторюємо, то неминуче починають вимальовуватисяякісь риси вірогідності ситуації, і ми ними можемо скористатися для того, щобзастосувати «стохастичний підхід» до задачі, а він змішаних стратегій не дає.
Крім того, вситуаціях з «поганою невизначеністю», коли болісно не вистачає інформації,головна задача — цю інформацію отримати, а не вигадувати хитромудрі методи, щодозволяють без неї обійтися. Одна з основних задач теорії статистичних рішень —це якраз планування експерименту, мета якого — з'ясування або уточненняякихось даних.
2.Практична частинаПриклад1
Уряд планує будівництвочотирьох типів електростанцій: />(теплових), /> (пригребельних), /> (безшлюзових) і /> (шлюзових). Ефективністькожного з типів залежить від різних чинників: режиму річок, вартості палива ійого перевезення і т.п. Необхідно вибрати самий оптимальний варіант.
Розв‘язання
Припустимо, що виділеночотири різні стани, кожний з яких означає певне поєднання чинників, щовпливають на ефективність енергетичних об'єктів. Стани природи позначимо через /> і />. Економічна ефективністьбудівництва окремих типів електростанцій змінюється залежно від станів природиі задана матрицею:
/>
Згідно критерію Вальда:
/>
/>
/>
/>
Тоді оскільки />, то слід передбачитибудівництво безшлюзової ГЕС (А3).
Скористаємосякритерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:
/>
Покажемо як булиотримані елементи матриці ризиків.
Оскільки />, то:
/>
Поскольку />, то:
/>
Поскольку />, то:
/>
Поскольку />, то:

/>
Згідно критеріюСевіджа визначаємо />. Відповідно до цього критерію такожпередбачається будівництво безшлюзової ГЕС (А3).
Скористаємосякритерієм Гурвіца. Припустимо />;
тоді:
/>/>
/>
/>
/>
Отримаємо />, тобто слід прийняти рішенняпро будівництво пригребельних ГЭС(/>). Якщо ж припустити відомимрозподіли вірогідності для різних станів природи, наприклад, якщо вважати цістани рівноімовірними (/>), то для ухвалення рішення слідзнайти математичне очікування виграшу:
/>
/>
/>
/>
Оскількимаксимальне значення має М 3, то слід вибрати рішення А3.
Відповідно доданих отриманих в розв’язку можна зробити загальний висновок: використовуючипри розв’язку критерій Вальда і Севіджа була отримана рекомендація пробудівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3),використовуючи при розв’язку критерій Гурвіца була отримана рекомендація пробудівництво пригребельної гідроелектростанції(/>), але якщо ж припуститивідомим розподіли вірогідності для різних станів природи, то дана рекомендаціяпро будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3) .
 
Приклад 2
Інвестор плануєвеликі капіталовкладення в підприємство. Був проведений аналіз руху ітехнічного стану основних засобів. Дані приведені у таблиці 2.1. Підприємство Коефіцієнт оновлення Коефіцієнт придатності Коефіцієнт приросту
/> 0,15 0,64 0,12
/> 0,27 0,65 0,27
/> 0,3 0,7 0,24
Таблиця 2.1 Дані про рух і технічний станосновних засобів
На основі цихданих інвестору необхідно зробити вибір.
Роз'вязання
Припустимо, щовиділено три різні стани, кожний з яких означає певне поєднання чинників, щовпливають на ефективність і прибутковість підприємства. Стани позначимо через /> . Складемо матрицю на основіотриманих даних :
/>
Згідно критерію Вальда:
/>
/>
/>
Тоді оскільки />, то слід на основі данихінвестувати в друге підприємство.
Скористаємосякритерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:
/>
Покажемо як булиотримані елементи матриці ризиків.
Оскільки />, то:
/>
Поскольку />, то:

/>
Поскольку />, то:
/>
Згідно критеріюСевіджа визначаємо
/>.
Відповідно доцього критерію слід інвестувати у третє підприємство.
Скористаємосякритерієм Гурвіца. Припустимо />;
тоді:
/>/>/>
Отримаємо />, тобто слід інвестувати удруге підприємство.
Відповідно доданих отриманих в розв’язку можна зробити загальний висновок: використовуючипри розв’язку критерій Вальда і Гурвіца була отримана рекомендація про інвестуванняу підприємство />, використовуючипри розв’язку критерій Севіджа була отримана рекомендація про інвестування упідприємство />./>

Висновки
Специфічним видомігор, що мають велике значення при аналізі різних практичних ситуацій, єстатистичні ігри. Вони мають ряд істотних відмінностей від стратегічних ігор. Воснові теорії стратегічних ігор лежить припущення, що інтереси двох гравцівпротилежні. Кожний з гравців прагне так вибрати свою стратегію, щоб отриматидля себе найбільшу вигоду і звести до мінімуму вигоду супротивника. В такихіграх кожний гравець діє активно і прагне по можливості використовуватиоптимальну стратегію. Під стратегією природи розуміється повна сукупністьзовнішніх умов, в яких доводиться ухвалювати рішення. Цю сукупність зовнішніхумов називають станом природи />. В загальному випадку існує деяка множинаможливих станів природи /> яканазиватиметься простором стану природи, а елемент /> цьогопростору – чистими стратегіями природи. Задача статистика полягає в тому, щоб ухвалитияке-небудь рішення або виконати яку-небудь дію з сукупності рішень або дій.Статистик повинен уміти оцінити кожну з своїх дій. Функція L(/>,а) називається функцією втрат. Знанняфункції втрат дозволяє статистику зробити дії, які є якнайкращими в умовахінформації, яку він має про стан природи. Знання апріорного розподілувірогідності дозволяє визначити середні втрати, які несе статистик, виконуючиту або іншу дію. Статистичнагра може бути представлена у вигляді еквівалентної S-гриабсолютно таким же чином, як церобилося в стратегічних іграх. Не існує універсального правила, що дозволяєвибрати, певний образ дії незалежно від ситуації, що склалася. Принципом виборуназивають правило, що дозволяє визначити якнайкращу, змішану стратегіюстатистика. В різних випадках статистик може користуватися різними принципамивибору своєї стратегії. Одним з можливих принципів вибору стратегії може бутипринцип мінімакса, який успішно застосовують в стратегічних іграх, коли граведеться проти розумного супротивника, охочого заподіяти нам найбільший збиток.Проте у ряді випадків доцільно використовувати цей принцип і в статистичнихіграх. Мінімаксні принципи, витікаючі з припущення, що природа діє якнайгіршимдля статистика чином, є виправданими в стратегічних іграх, але в статистичнихіграх вони виражають точку зору дуже обережної людини, що прагне отриматидоступне і що не ганяється за нездійсненним, щоб не потерпіти випадкововеликого збитку. Недоліком мінімаксних принципів слід рахувати також те, щовони не враховують апріорної інформації про стани природи і тим самим обмежуютьтой виграш, який ця інформація може дати. Іншим принципом вибору стратегії, щовраховує апріорний розподіл вірогідності, є байесовський принцип. Байесовськийпринцип, природно, можна застосовувати як до повних, так і до додаткових втрат.Найпростіший випадок вибору рішення в грі з природою — це випадок коли якась ізстратегій гравця А перевершує інші («домінує» над ними). Тут виграшдомінуючої стратегії при будь-якому стані природи не менше ніж при іншихстратегіях, а при деяких — більше; значить потрібний вибирати саме цюстратегію. Якщо навіть в матриці гри з природою немає однієї домінуючої надвсіма іншими стратегії, все ж таки корисно подивитися, чи немає в ній дублюючихстратегій і поступливих іншим за всіх умов. Згідно критерію Вальда гра зприродою ведеться як гра з розумним, причому агресивним супротивником, щоробить все для того, щоб перешкодити нам досягти успіху. Оптимальною вважаєтьсястратегія, при якій гарантується виграш у будь-якому випадку не менший, ніж«нижня ціна гри з природою».
Відповідно докритерію Севіджа в умовах невизначеності слід вибирати таку стратегію, якагарантує мінімальний ризик. Критерій Гурвіца рекомендує при виборі рішення не керуватися ні крайнімпесимізмом, ні крайнім, легковажним оптимізмом. В курсовій роботі розглянутопрактичне застосування критеріїв Вальда, Севіджа і Гурвіца на прикладі виборуоптимального варіанту будівництва гідроелектростанції і об’єктів інвестування.Відповідно до даних отриманих в розв’язку прикладу 1 можна зробити загальнийвисновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Севіджа була отриманарекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3),використовуючи при розв’язку критерій Гурвіца була отримана рекомендація пробудівництво пригребельної гідроелектростанції(/>), але якщо ж припуститивідомим розподіли вірогідності для різних станів природи, то дана рекомендаціяпро будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3).
Відповідно доданих отриманих в розв’язку прикладу 2 можна зробити загальний висновок:використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Гурвіца була отриманарекомендація про інвестування у підприємство />,використовуючи при розв’язку критерій Севіджа була отримана рекомендація проінвестування у підприємство />.
Списоклітератури
1.        БутинецьФ.Ф. Економічний аналіз: Навч. посібник для студентів ВНЗ.-Житомир: ПП «Рута»,2003.-680с.
2.        Вентцель Е.С.Исследование операций: задачи, принципы, методология.-2-е изд.-М.: Наука. Гл.ред. физ.- мат. литературы, 1988.-208с.
3.        Вентцель Е.С.Элементы теории игр. – М.: Физ.-мат. издательство, 1961.- 69с.
4.        Гермейер Ю.Б.Игры с непротивоположными интересами.- М.: Главная редакция физ.-мат.литературы из-ва «Наука», 1976.
5.        Горелин В.А.Исследование операций: Учебник.- М. «Машиностроение»,1986.-288с.
6.        Кузнецов Ю.Н.,Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. -М.: Высшаяшкола, 1976.
7.        Партхасаратхи Т.,Рагхаваи Т. Перевод с англ. Доманского П.П. Некоторые вопросы теории игр двухлиц.- М.: «Мир», 1974.-280с.
8.        СавицькаГ.В. Економічний аналіз діяльності підприємств: Навч. посібник.-2-ге видання,випр. і допов.- К.: Знання, 2005.-662с.