Решения заданий демонстрационной версии
экзаменационной работы по алгебре 2007 г.
Часть 1
Задания с выбором ответа
Задание 1, часть 1.
Для каждого выражения из первого столбца укажите равное ему выражение из второго столбца, вписав соответствующую букву в клетку таблицы:
1) />
а) b14
б) b12
2) (b4b3)2
в) b10
3) b4(b3)2
г)b9
Ответ:
1)
2)
3)
б
а
в
Задание 4, часть 1.
Укажите выражение, которое имеет смысл при любых значениях переменной m.
1) />2) />3) />4) />
//Ответ: 4
//Решение. Выражение />не содержит деления на переменную.
Задание 5, часть 1.
Автомобиль расходует aлитров бензина на 100 км пути. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 37 км?
1) />л 2) />л 3) />л 4) />л
//Ответ: 1
//Решение: Обозначим искомую величину буквой х. Имеем пропорцию />.
Другой способ: На 1 км пути расходуется />л бензина, значит, на 37 км расходуется />л бензина.
Задание 6, часть 1.
Расстояние от Венеры – одной из планет Солнечной системы, до Солнца равно 108 млн. км. Как эта величина записывается в стандартном виде?
1) 1,08∙106км 2) 1,08∙107км 3) 1,08∙108км 4) 1,08∙109км
//Ответ: 3
//Решение: 108 млн. км =/>км = />км.
Задание 7, часть 1.
Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9 классе представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 320 девятиклассников?
/>
1) 5 учащихся 2) 16 учащихся 3) 64 учащихся 4) 160 учащихся
//Ответ: 2
//Решение: />(уч.).
Задание 8, часть 1.
На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что его длина равна 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь рулон при этом условии?
1) 10 м 2) 9,98 м 3) 10,04 м 4) 9,92 м
//Ответ: 4
//Решение: l– длина обоев в рулоне, />; 9,92
Задание 9, часть 1.
Какое из уравнений имеет два различных корня?
1) />
2) />
3) />
4) />
//Ответ: 3
//Решение: 1)/>2)/>3) />.
Задание 11, часть 1.
Из прямоугольного листа картона, размеры которого 56 см и 32 см, надо сделать коробку без крышки. Для этого по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Чему должна быть равна сторона вырезаемого квадрата, чтобы дно коробки имело площадь 640 см2?
Пусть сторона вырезаемого квадрата равна хсм. Какое уравнение соответствует условию задачи?
/>
1) (56 – х)(32 – х) = 640
2) 56∙(32 – 2х) = 640
3) (56 – 2х)(32 – 2х) = 640
4) 56∙32 – 4х2= 640
//Ответ: 2
//Решение: Если хсм – длина стороны вырезаемого квадрата, то дно коробки имеет размеры />см и />см. Площадь дна равна />см2. Имеем уравнение: />.
Задание 13, часть 1.
О числах аи сизвестно, что а> c. Какое из следующих неравенств неверно?
1) 3а> 3c2) –2а> –2c3) />4) 1 – ас
//Ответ:2
//Решение: Неравенство 3а> 3c— верно, неравенство–2а> –2c– неверно, так как если а> c, то –2аc. --PAGE_BREAK--Задание 14, часть 1.
Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите ее.
1) 1; 2; 3; 5… 2) 1; 2; 4; 8… 3) 1; 3; 5; 7… 4) />...
//Ответ:3
//Решение: В случае В имеем />.
Задание 15, часть 1.
На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?
/>
1) у= />2) у= />3) у= />4) у= />
//Ответ:3
//Решение. Возможны различные способы рассуждения. Например, следующий.
Так как ветви параболы направлены вверх, то она является графиком одной из двух функций – А или В. Графики обеих функций пересекают ось у в точке (0;–3), поэтому надо найти другой способ распознавания. Найдем нули функций. В случае А нулями функции являются числа –3 и 1, в случае В – числа 3 и –1. Следовательно, на рисунке изображен график функции у= />.
Выбрать из этих двух формул можно также непосредственной подстановкой в формулу абсцисс каких-либо точек графика, например, точек пересечения с осью х.
Задание 16, часть 1.
Рейсовый автобус проделал путь из города А в город В и после стоянки вернулся обратно. На рисунке изображен график его движения: по горизонтальной оси отложено время (в часах), а по вертикальной – расстояние по шоссе (в километрах), на котором находится автобус от города А. Какое из следующих утверждений неверно?
/>
1) Расстояние между городами А и В по шоссе равно 180 км.
2) Скорость автобуса на пути из А в В была меньше, чем на обратном пути.
3) Стоянка в городе В длилась 2 ч.
4) На обратный путь автобус затратил на 1 ч больше, чем на путь из А в В.
//Ответ: 2
//Решение: />км/ч; />км/ч;
но 60 км/ч >45 км/ч.
Задания с кратким ответом.
Задание 2, часть 1
Упростите выражение />.
Ответ: __________________
//Ответ: />. Варианты ответа: />; />.
//Решение: />.
Задание 3, часть 1
Упростите выражение />.
Ответ:____________________
//Ответ: />. Варианты ответа: 0,5.
//Решение:/>.
Задание 10, часть 1
Решите систему уравнений />/>.
Ответ: __________________
//Ответ: (3;1). Варианты ответа: />; />
//Решение: />
у= 1; х= 4у– 1 = 3.
Задание 12, часть 1
Решите неравенство х– 1 ≤ 3х+ 2.
Ответ: _____________________
//Ответ: x≥ –1,5. Варианты ответов: [–1,5; +∞); х/>[–1,5; +∞).
//Решение: />.
Часть 2
Задания с развернутым ответом.
Эти задания направлены на проверку овладения материалом курса на повышенных уровнях. Они выполняются на отдельном листе с записью хода решения. Условия заданий не переписываются, рисунки не перечерчиваются.
Требования к выполнению заданий повышенного уровня заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным, содержать рассмотрение всех возможных случаев (если таковые имеются), из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Никаких специальных требований к подробности пояснений, оформлению решения не выдвигается.
Общие критерии оценки заданий второй части экзаменационной работы таковы. За полное и правильное выполнение задания учащемуся засчитывается балл, указанный в тексте работы для этого задания. Если в решении допущена ошибка или описка, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного. Другие случаи критериями не предусматриваются. Это объясняется трактовкой качественных свойств, на измерение которых направлена вторая часть работы: умение выполнять задания комплексного характера, способность к интеграции знаний из различных тем курса алгебры. Эти качества проявляются, только если учащийся обнаруживает умение решить задачу предложенного уровня и содержания.
В описании критериев оценки выполнения конкретных заданий содержатся примеры ошибок/описок, позволяющих засчитать балл, на 1 меньший указанного. Эти примеры, однако, не исчерпывают всех возможных ошибок такого рода. При проверке работ предметной комиссии придется в ряде случаев принимать решение, как квалифицировать тот или иной недочет учащегося.
Задание 1, часть 2
Постройте график функции />. При каких значениях аргумента выполняется неравенство />?
//Ответ: график изображен на рисунке. Неравенство />выполняется при />.
/>
//Решение. График функции />– прямая. Найдем координаты точек пересечения этой прямой с осями координат:
если х= 0, то у= 1,5; если у= 0, то х= 3. Точки пересечения с осями: (0; 1,5), (3; 0). По графику находим, что неравенство />выполняется при />.
Другие возможные решения.
График может быть построен по каким-либо другим точкам.
Ответ на вопрос может быть получен решением двойного неравенства />: />, />, />. (Двойное неравенство может быть заменено системой двух линейных неравенств).
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Верно построен график и дан правильный ответ на вопрос.
1
При правильно построенном графике допущена ошибка при ответе на вопрос, или ответ на вопрос отсутствует.
Неверно построенный график и другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Комментарий.
При правильно построенном графике отсутствие ссылки на то, что график – прямая, или указания на рисунке координат точек графика не должны служить основанием для снижения выставляемого балла.
продолжение
--PAGE_BREAK--Задание 2, часть 2
Упростите выражение />.
//Ответ: 4.
//Решение.
1) Корни квадратного трехчлена m2+ m– 2: m1= –2, m2= 1. Значит, m2+ m– 2 = (m+ 2)(m– 1). />=/>.
2) />.
Другие возможные решения.
Деление на дробь заменяется умножением на целое выражение и далее используется распределительное свойство:
/>=/>.
В ходе упрощения не использована возможность упрощения дроби />:
/>=/>.
Кроме того, что не сокращена дробь />, может быть не использована также возможность вынесения за скобки множителя m+ 2 при преобразовании числителя.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4
При выбранном способе решения все преобразования выполнены верно и получен верный ответ
3
Допущена однаошибка: или при преобразовании числителя в ходе упрощения разности в скобках (при правильно найденном общем знаменателе), или неверно выполнено вынесение за скобки множителя в выражении (2m– 2)2, но с учетом полученного результата решение доведено до конца.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Комментарий.
Нерациональное решение при верно выполненных преобразованиях не может служить основанием для снижения балла.
Задание 3, часть 2
Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b2= –6, b5= 48 и b7= 192?
//Ответ: существует.
//Решение.
Если в геометрической прогрессии b2= –6 и b5= 48, то />и q= –2. При этом условии b7= b5∙ q2= 48∙4 = 192, т.е. такая прогрессия существует.
Другое возможное решение.
Из системы уравнений />находим, что b1= 3, q= –2. Далее: b7= b1∙ q6= 3∙(–2)6= 192.
Возможны также некоторые вариации первого и второго способов. Например, для первого способа нахождение qиз условий b5= 48 и b7= 192 и затем проверка условия b2= –6.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4
Правильно найден способ решения и получен верный ответ.
3
При правильном ходе решения и верном использовании формул допущена техническая ошибка в подсчетах (например, вычислительная, или ошибка в знаке), ответ дан с учетом полученного результата.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Задание 4, часть 2.
При каких положительных значениях кпрямая у= kх– 7 пересекает параболу у= х2+ 2х– 3 в двух точках?
//Ответ: при к> 6.
//Решение.
Если прямая у= kх– 7 пересекает параболу у= х2+ 2х– 3 в двух точках, то уравнение kх– 7 = х2+ 2х– 3 имеет два корня. После преобразований получим уравнение х2+ (2 – k)х+ 4 = 0. Выясним, при каких kвыполняется неравенство D> 0:
D= (2 – k)2– 16 = k2– 4k– 12; k1= –2, k2= 6. Значит, D> 0 при kk> 6.
Учитывая условие k> 0, находим, что k> 6.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
6
Найден правильный способ решения, все его шаги выполнены верно, получен правильный ответ
5
Или допущена одна ошибка технического характера (при преобразовании уравнения, упрощении дискриминанта), но с учетом полученного результата решение доведено до конца, или не учтено условие к> 0.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Комментарий.
Ошибки при составлениидискриминанта квадратного уравнения, при решенииквадратного неравенства (с учетом найденных корней) относятся к числу существенных. При их наличии решение не может быть засчитано.
Задание 5, часть 2
Автомобиль едет сначала 2 минуты с горы, а затем 6 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 13 минут. Во сколько раз скорость автомобиля при движении с горы больше, чем скорость при движении в гору? (Считайте, что скорость при движении с горы (в гору) одинакова в обоих направлениях).
//Ответ: в 6 раз.
//Решение.
Пусть хкм/мин – скорость автомобиля при движении с горы, а укм/мин – при движении в гору. Тогда на пути туда он едет 2хкм с горы и 6укм в гору. Двигаясь в обратном направлении, на путь с горы он тратит />мин, а на путь в гору />мин. Получаем уравнение: />.
Введем замену />. Имеем />, т.е. />.
Корни уравнения: t1= 6; t2= />; t2не подходит по смыслу, т.к. />. Значит, />.
Другое возможное решение.
При решении уравнения />использована другая замена: />. В этом случае далее решается уравнение />, корни которого t1= 2; t2= />; t1не подходит по смыслу, т.к. />. Значит, />, т.е. хв 6 раз больше у.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
6
Найден правильный путь решения, все его этапы выполнены верно, получен правильный ответ
5
При правильном ходе решения допущена одна из следующих ошибок: даны два ответа, т.е. не отброшен корень квадратного уравнения, не подходящий по смыслу; или при втором способе отброшен корень t2и получен ответ: в 2 раза.
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.