1
Основы фифференциального исчисления. Понятиепроизводной.
DX=X1-X– приращение аргумента.
Df(X)=f(X+DX)-f(X) – приращение функции. Пример:
Определение:Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. кприращению аргум., когда последнее стремится к 0.
Геометрический смыслпроизводной.
Ку.к. – угловой коэф.касательной.
Ксек – угловой коэф. секущей.
Таким образом угловойкоэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке.
Уравнение касательной кграфику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид:
Физический смыслпроизводной.
S(t) – путь за данное время.
DS(t) – приращение пути.
DS(t)/ Dt–средняя скорость на участке.
мгновен. скорость на участке:
произв. пути от скорости: S'(t)=U(t)
Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.
Функция наз. диферинцируемойесли она имеет производную.
Если функция диффер. в точкех, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство:
2
Правила дифференцирования
Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. вточке х, то:
Доказательство 2-го правила. Теорема о произв. сложнойфункции.
Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существуетy’(x)=f(u(x))u’(x).
Доказательство:
Рассмотрим f(x) в задан.промеж.: [a,b].
g(y): [f(a),f(b)] – наз.обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого "XÎ[a,b]
f(g(y))=y, для любого у Î[f(a),f(b)]
y=sin x [-p/2, p/2], тогда
x=arcsin y, yÎ[1,1]
sin arcsin y = y;
arcsin * sin x=x
Теорема о произв. обратнойфункции.
Таблица производных:
3
Таблица производных:
Доказательство:
Дифференциал функции.
Определение:Если Х независимая переменная, то дифференциал функцииf(x) наз. f’(x)Dx=uобозначают df(x).
Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.
df(x)=f’(x)dx
Доказательство:
1).
2).
4
Производная высших порядков.
Определение:Производная второго порядка называется производнаяпроизводной данной функции:
Определение: Производная n-гопорядка называется производной производной n-1-го порядка.
Пример:
Используя метод математическойиндукции несложно показать, что:
1). n-ая производная обладает свойством линейности, т.е.:
2).
3).
4).
5).
6).
Дифференцирование функций заданных параметрически.
Пример 1:
возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3
Пример2:
5
Основные теоремы матим. анализа.
1. Теорема Ферма.
Если f(x) дифф. в точке x0и принимает в хтой точкенаибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x0, то f’(x)=0.
Доказательство:
пусть f(x0) – наибольшая.
2.Теорема Ролля.
Если функция f(x) непрерывна назаданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существуетт. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.
3. Теорема Коши.
Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:
1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]
2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)
3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с
g(b)¹g(a) (неравны потеореме Ролля).
1). F(x) – непрерывнана [a,b]
2). F(x) – дефференцированна на (a,b)
3). F(a)=0; F(b)=0
по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0
4.Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на[a,b] идефференцирована на (a,b), то сущест.
т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.
6
Правила Лопиталя.
Раскрытие неопределенности.
Теорема: Если функция f(x), g(x) дефференцирована в окресности т. а, причем f(a)=g(a)=0 и существуетпредел
Доказательство:
Формула Тейлора.
Определение:многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0назыв.
Пример:
Определение:остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.:
Теорема: Если функция F(x) (n+1) – дефферен.в окресности точки x0, то для любого xиз этой окресн.сущ. т. с(x0, x)
Правила дифференцирования.
Производные степенных итригонометрических функций.
Основные формулы:
Производная сложнойфункции.
Производные показательных илогарифмических функций.
Основные формулы:
Если z=z(x) –дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:
Производные обратныхтригонометрических функций.
Основные формулы:
Для сложных функций:
7
Аналитические признаки поведения функции.
Теорема: Критерий постоянства фун.
Функция f(x)=constна промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).
Док-во: f(x)=c=> f’(x)=c’=0 возьмем "xÎ[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); cÎ(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого x=> f(x)=const.
Теорема: Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].
Док-во:
возьмем x1, x2 Î[a,b]: x1 f(x2)>f(x1)
применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]
по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являютсянеобходимыми.
Теорема: достаточный признак убывания функции.Если f’(x)
Док-во 1: подобнопредыдущему.
Док-во 2: g(x)=-f(x), тогда g’(x)=-f’(x)>0
=> g(x) — возрастает => f(x) – убывает.
Несложно показать, что еслифункция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).
f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)Ê0 (a,b).
Признаки экстремума функций.
Опред: точка x0называетсяточкой max(min) еслисуществ. такая окрестность данной точки, что в x0фун. принимает наибольшее(наименьшее) значение.
Точка х0 наз. точкойэкстремума, если эта точка maxили minданной функции.
Теорема: Необходимый признак экстремума функции.
Если х0точка экстремумаf(x), то :
1). Либо не существует f’(x0)
2). Либо f’(x0)=0
Док-во:
1). Не сущест. f’(x0)
2). Сущест. f’(x0) — по т. Ферма f’(x0)=0
Замечание:данные условия не являются достаточными.
8
Поиск наибольшего и наименьшего значения непрерывныхфункций на замкнутом промежутке.
Теорема: Первый достаточный признак экстремума функции.
Если f’(x)>0 на интервале (x0-б, х0) и f’(x)
Доказательство:
Теорема:Второй достаточный признак максимума функции.
Если f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестноститочки х0, и:
1). f’(x0)=0 2). f’’(x0)
то х0 точка максимума(аналогично, если f’’(x0)
Док-во:Возьмем окрестность,где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядкадля х из данной окрестности.
Выпуклость графика функции.
Опр. График функции y=f(x) называетсявыпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательнойпроведенной к графику функции на данном интервале.
9
Теорема: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз.
Если функция f(x) дваждыдефференц. на нтервале (a,b) и ее вторая производн. f’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функции y=f(x) выпуклый внизна интервале (a,b).
:
Возьмем X=x.Из первоговычтем второе
Поэтому y>Yследовательнографик функции расположен выше касательной
Аналогично, если f’’(x)
Асимптоты.
Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если придвижении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремитсяк бесконечности.
Опр.Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графикафункции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояниедо данной прямой стремится к нулю.
Теорема 1:x=a(вертикальная прямая) – является асимптотой длябесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)®µ, при x®a.
Теорема 2:Критерийсуществования наклонной асимптоты прямая y=kx+bявляетсяасимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существуетпредел при :
Док-во:Точка M0(x0,y0) и прямая
L: Ax+By+Cz=0, то расстояние
Пусть y=kx+b
асимптота =>
d(M,l)®0=>
kx-f(x)+b®0
тогда f(x)-kx®b
при x®+µ
существует предел:
10
Теорема: Необходимый признак существования наклоннойасимптоты.Если прямая l: y=kx+b–
наклонная асимп. для правой наклонной ветви, то:
Док-во:
Пример:
x=1 – верт. Асимптота, т.к.
f(x)®µ, когда x®1
Вывод: y=0×y+1 – наклонная асимптота для левой и правой ветви.
Примерная схема исследования графика функции.
1).Область определения.
2).Четность (нечетность),переодичность, точки пересечения и др.
3). Непрерывность, точкиразрыва, вертикальные асимптоты.
4). Исследование на убывание(возвр.) в точках экстремума.
5). Исследование навыпуклость.
6). Построение графика функции.
Пример:
1). (-¥,+¥)
2).не периодическая.
нечетная, если фун. неизменила знак, значит фун. нечетная y=0óx=0
3). непрерывная (-¥,+¥)
4).
5).
6).
y=0×x+0;y=0 – наклонная асимптота.