Вопрос №1 Источники погрешностей величин, структура погрешности приближенного значения числовой величины Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок
Вопрос №1 Источники погрешностей величин, структура погрешности приближенного значения числовой величины Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок. Абсолютная и относительная погрешности. Значащие и верные цифры. Округление чисел.
Решения, полученные численным методом, обычно являются приближенными, т.е. содержат некоторую погрешность.
Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок:
5 этапов:
Моделирование — осуществляется постановка задачи и построение математической модели.
Математическая постановка — точная формулировка условий и целей решения.
Построение математической модели - выделение наиболее существенных свойств реального объекта и описание их с помощью математических соотношений.
Алгоритмизация — осуществляется выбор метода и разработка алгоритма.
Программирование - алгоритм записывается на понятном ЭВМ языке.
Реализация - осуществляется отладка и исполнение программы на ЭВМ.
Интерпретация - анализ полученных результатов.
Ошибки могут появляться на любой стадии.
Погрешность обуславливается:
Матем. Описание задач неточно (например, исходные данные неточны). Погрешность, соответствующая этой причине, называется неустранимой погрешностью.
Применяемый для решения метод часто является неточным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому прибегают к приближенному решению. Часто погрешность возникает вместо замены бесконечных процессов конечными — это погрешность метода.
При выполнении арифметических операций часто производиться округление.
Абсолютная и относительная погрешность:
Приближенное число «x» — число, незначительно отличающееся от точного «Х» и заменяющее последнее вычисление.
Пусть «Х» — истинное значение некоторой величины. «х» — ее известное приближение.
Погрешность=(Х-х). Знак погрешности не имеет значения, поэтому рассматривают |Х-х|.
Величина |Х-х| называется абсолютной погрешностью приближенного значения «х».
Число «Х» часто неизвестно. =>По формуле считать нельзя, но бывает известна абсолютная величина ошибки, т.е. такое наименьшее число ∆х для которого справедливо неравенство:
|Х-х|
Неравенство |Х-х|+∆х.
По абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерений и вычислений.
Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки |Х-х|/Х.
Границей относительной погрешности δх приближенного числа Х называется отношение предельной абсолютной погрешности ∆х к модулю значения Х.
δх=∆х/|x|
Относительная погрешность часто выражается в процентах.
Значащие и верные цифры:
Значащие цифры в записи числа — все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.(все цифры, начиная с первой ненулевой слева).
Значащая цифра называется верной в широком смысле, еслиабсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре.
Значащая цифра называется верной в строгом смысле, еслиабсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда в которой стоит эта цифра.
Сомнительные — не верные цифры.
Правильная запись -если в его записи все цифры верны. Правильная запись обязывает выписывать нули в последних разрядах, если они являются выражением верных цифр.
Округление чисел:
Округление — замена числа его приближением с меньшим количеством значащих цифр.
∆окр=|Х-хn|
Абсолютная погрешность числа складывается из абсолютной погрешности первоначального числа и погрешности округления, т.е. ∆х1=∆х+∆окр
Используется 3 метода округления чисел:
Отбрасывание:
Оставляет все сохраняемые цифры округляемого числа верными в широком смысле.
Округление завышением:
Последнюю цифру увеличиваем на 1
Метод симметричного округления
Выполняется по правилам:
Если первая слева из отбрасываемых цифр
Если первая слева из отбрасываемых цифр >5, то последняя сохр-ая цифра увеличивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5 и среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последняя сохран-я цифра увеличивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5, и остальные отбрасываемые цифры 0, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная и остается неизменной, если она четная. (правило четной цифры)
Погрешности записывают с 1 значащей цифрой и всегда округляют завышением.
Вопрос №1 Источники погрешностей величин, структура погрешности приближенного значения числовой величины Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок. Абсолютная и относительная погрешности. Значащие и верные цифры. Округление чисел.
Решения, полученные численным методом, обычно являются приближенными, т.е. содержат некоторую погрешность.
Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок:
5 этапов:
Моделирование — осуществляется постановка задачи и построение математической модели.
Математическая постановка — точная формулировка условий и целей решения.
Построение математической модели - выделение наиболее существенных свойств реального объекта и описание их с помощью математических соотношений.
Алгоритмизация — осуществляется выбор метода и разработка алгоритма.
Программирование - алгоритм записывается на понятном ЭВМ языке.
Реализация - осуществляется отладка и исполнение программы на ЭВМ.
Интерпретация - анализ полученных результатов.
Ошибки могут появляться на любой стадии.
Погрешность обуславливается:
Матем. Описание задач неточно (например, исходные данные неточны). Погрешность, соответствующая этой причине, называется неустранимой погрешностью.
Применяемый для решения метод часто является неточным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому прибегают к приближенному решению. Часто погрешность возникает вместо замены бесконечных процессов конечными — это погрешность метода.
При выполнении арифметических операций часто производиться округление.
Абсолютная и относительная погрешность:
Приближенное число «x» — число, незначительно отличающееся от точного «Х» и заменяющее последнее вычисление.
Пусть «Х» — истинное значение некоторой величины. «х» — ее известное приближение.
Погрешность=(Х-х). Знак погрешности не имеет значения, поэтому рассматривают |Х-х|.
Величина |Х-х| называется абсолютной погрешностью приближенного значения «х».
Число «Х» часто неизвестно. =>По формуле считать нельзя, но бывает известна абсолютная величина ошибки, т.е. такое наименьшее число ∆х для которого справедливо неравенство:
|Х-х|
Неравенство |Х-х|+∆х.
По абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерений и вычислений.
Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки |Х-х|/Х.
Границей относительной погрешности δх приближенного числа Х называется отношение предельной абсолютной погрешности ∆х к модулю значения Х.
δх=∆х/|x|
Относительная погрешность часто выражается в процентах.
Значащие и верные цифры:
Значащие цифры в записи числа — все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.(все цифры, начиная с первой ненулевой слева).
Значащая цифра называется верной в широком смысле, еслиабсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре.
Значащая цифра называется верной в строгом смысле, еслиабсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда в которой стоит эта цифра.
Сомнительные — не верные цифры.
Правильная запись — если в его записи все цифры верны. Правильная запись обязывает выписывать нули в последних разрядах, если они являются выражением верных цифр.
Округление чисел:
Округление — замена числа его приближением с меньшим количеством значащих цифр.
∆окр=|Х-хn|
Абсолютная погрешность числа складывается из абсолютной погрешности первоначального числа и погрешности округления, т.е. ∆х1=∆х+∆окр
Используется 3 метода округления чисел:
Отбрасывание:
Оставляет все сохраняемые цифры округляемого числа верными в широком смысле.
Округление завышением:
Последнюю цифру увеличиваем на 1
Метод симметричного округления
Выполняется по правилам:
Если первая слева из отбрасываемых цифр
Если первая слева из отбрасываемых цифр >5, то последняя сохр-ая цифра увеличивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5 и среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последняя сохран-я цифра увеличивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5, и остальные отбрасываемые цифры 0, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная и остается неизменной, если она четная. (правило четной цифры)
Погрешности записывают с 1 значащей цифрой и всегда округляют завышением.