--PAGE_BREAK--
18. Второй замечательный предел
lim(n®¥)(1+1/n)^n=e Док-во:
x®+¥n x:n=[x] => n£x 1/(n+1)
Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£(1+1/n)^(n+1) (4)
Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥)
lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e
lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n*lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e
19.Б-м ф-ии, действия над ними
Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:
1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м aимеет более высокий порядок малости чем b.
2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.
3) если a(х)/b(х)®1, то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0.
4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).
Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥и х®¥.
20. Б-б ф-ии, связь с б-м
Опр. Ф-ия y=f(x) называется бесконечно большой в точке а, если ее предел в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim(x->a)(f(x))=∞
Свойства: Пусть y=f(x) и y=g(x) — бесконечно большие ф-ии в точке а.
Ф-ия j
(х) имеет предел в точке а, отличный от 0
Ф-ия a
(х)и b
(ч)– бесконечно малые
Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.
2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел — бесконечно большая.
3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.
21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии
22.Определение непрерывности в точке, на отрезке.
Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f(x))=f(x0)
Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений аргумента Х: х1, х2, х3…., хn,…. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть значений ф-ии: f(x1), f(x2),f(x3),....,f(xn),… сходится к числу f(x0), т.е. ("{xn}->x0, xn€X):{f(xn)}->f(x0)
Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ε>0 найдется отвечающее ему положительное число δ такое что для всех х, удовлетворяющих условию |x-x0|
Опр4. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ▲x->0, т.е. lim(▲x->0)( ▲y)=0
23.
Th
о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии
ThПусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x), f(x)g(x),f(x)\g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)≠0)
Докво.Т.к. ф-ия f(x) непрерывна в точке х0, то lim(x->x0)(g(x))=g(x0). Тогда по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f(x)+g(x),f(x)g(x) bf(x)\g(x) существуют и соответственно равны f(x0)±g(x0),f(x0)g(x0),f(x0)\g(x0)(g(x0)≠0).Но эти величины равны соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно определению ф-ии f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)\g(x) непрерывны в точке х0
24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода
Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-ии.
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го, и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 $оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.
Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции fпостроить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 $оба 1-стороних предела f(x±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.
25.
Th
об устойчивости знака непрерывной ф-ии
26.1
Th
Больцано-Коши (
th
о прохождении ф-ии через нулевое значение при смене знаков)
Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то $т-ка сÎ(a,b), в которой ф-ия обращается в0.
Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=dТ-ма доказана.
Пусть f(d)¹0 [a,d] или [d,b] ф-ция fпринимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку dили перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)¹0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой dокрестности, т-ке с fимеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно Nпопабают в эту окрестность и по построению fимеет разный знак на концах этих отрезков.
27.2
Th
Больцано-Коши(
Th
о прохождении непрерывной ф-ии через любое промежуточное значение)
28.1
Th
Вейерштрасса(
Th
об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)
Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е. $с>0:½f(x)½£c"xÎ(a,b).
Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; fнеогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр.
Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d(d=cс надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки dна конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны fнепр. на [a,b] и => в т-ке dи по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d=> получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки dнах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки
29. 2
Th
Вейерштрасса(
Th
о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих точных граней)
Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. $т-каmax X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x) "xÎ[a,b].
Док-во.Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хÎ[a,b])=M(-¥). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. $х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $и сл-но f(x)0
!0 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c"xÎ[a,b]
Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань fна [a,b] а в правой части стоит “C”
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки
30.
Th
о непрерывности сложной ф-ии
31.
Th
о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры)
Пусть ф-ия y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У обратная ф-ии x=φ(y) одназначна, строго монотонна и непрерывна.
32.Понятие производной
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть ▲x– приращение
аргумента в точке x0, а ▲y=f(x0+▲x)-f(x0)– соответствующее приращение функции. Составим
отношение ▲y/(поделить)▲xэтих приращений и рассмотрим его предел при▲x->0. Если указанный
предел существует, то он называется производной функции fв точке x0 и обозначается ,
или , то есть
.
Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая
производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в
каждой точке интервала (a,b), то она называется дифференцируемой на этом интервале. продолжение
--PAGE_BREAK--
33.Геометрический смысл производной
а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x), дифференцируемой в
точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и M(x0+▲x, y0+▲y) графика прямую l, и пусть
B(угол Бэтта) — угол ее наклона к оси х. Тогда (1)▲y/(деленный)▲x=tgB(бэтта)
Рис. 13.
Если ▲xстремится к нулю, то ▲yтакже стремится к нулю, и точка Mприближается к точке M0, а
прямая l— к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью xугол α(альфа). При этом
равенство (1) принимает вид: (2) f’(x0)=tgα’ откуда следует, что производная функции в точке
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
34.Понятие дифференцируемости ф-ии
Df: Ф-ия дифференцируема в точке х0, если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде:
, А – const.
Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.
Доказательство: (необходимость)
(достаточность):
35.Непрерывность и диф.
36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью
dy
Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но ▲х, часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала ф-ии используют символ dy.
Из Dfдифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии можно представить в виде
Из равенства нулю предела следует, что — б.м. более высшего порядка малости, чем , и
Поскольку — б.м. одного порядка малости.
— б.м. одного порядка малости — б.м. эквивылентные, т.е.
Пусть
**************
Zm
1:и х – независимые переменные, т.е.
Zm1: для независимых переменных.
37.Правила диференц суммы, разн, произв, частн
1) ;
2) , где — постоянная;
3) ;
4) ;
5) если , а , то производная сложной функции находится по формуле
,
где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.
38.Вычислен производных элемент.ф-ий:
x
^
n
,
n
Є
N
,
cos
,
sin
,
tg
,
ctg
,
loga
(основание)Х(а>0,
a
≠1,
x
>0)
39.
Th
о произв сложной ф-ии
Пусть:
1. — дифф. в точке y0 .
2. — дифф. в точке х0 .
3.
тогда сложная ф-ия — дифф. в точке х0 и справедлива формула:
Доказательство:
1. — дифф. в точке y0
2. — дифф. в точке х0
3. — дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке.
40.Производная ф-ий
x
^
α
,
α
Є
R
(прием логарифм. Диф)
41.
Th
о производной обратной ф-ии
Предложение:Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)
Теорема:Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN®y0, yN¹y0=> $посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN
g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO®1/f’(xo) при n®¥, получили при xN®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)
42.
Произв
ф
-
ии
: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a≠1)
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y
2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2
3) x®Arctg’x = 1/1+x2
4) x®Arcctg’x= -1/1+x2
5) y=a^x(встепених) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x являетсяобратнойдляф-ииx=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, тоизсоотношенияloga(a-OCH)b=1/logb(b-OCH)a получимy’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(встепених)lna
43.Производная высших порядков
Определение:Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) — называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) — производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0(xO)=f(xO).
Замечание:Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®fN-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t).
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t)
+нужно док-во
44.Диференциалы высших порядков
dy= f‘(x)dx– диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)yназ-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.
Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f
(х)называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По определению dny
=
d
(
dn
-1
y
).Иногда dyназывают диф. Первого порядка. В общем случае, dny
=
f
(
n
)
(х)
dxn
,в предположении, что n-ая производная f
(
n
)
(х)сущ-ет.
+нужно док-во
45.Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и убыван ф-ии в точке
46.Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума
Опр-ие: Функция у=f
(х)имеет в точке x
локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х0-d
, х0+
d
),для всех точек х которой выполняется неравенство f
(х)
£
f
(х0).Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f
(х)
³
f
(х0).
Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х0локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f
'(х0)равна нулю.
Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0. Пусть (х0-d
, х0+
d
)— та окрестность, для точек которой выполняется неравенство
Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х|
При ∆х>0, будет ∆y:∆x≤0, поэтому
При ∆х
По условию теоремы, существует производная f
'(х0)А это означает, что правая производная f
пр
'(х0)и левая производная f
л
'(х0)равны между собой: f
пр
'(х0)=
f
л
'(х0)=
f
'(х0). Таким образом, с одной стороны, f
'(х0)≤0, с другой стороны,f
'(х0)≥0, что возможно лишь, когда f
'(х0)=0.
47.
Th
Роля
Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) $т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.
Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $xÎ(a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f¹constна [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и maxи min. Поскольку fпринимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – maxили minобязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.
48.
Th
Логранжа (формула конечн.приращен)
Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда "т. х и x+DxÎ[a,b] $т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx(7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены.
Придадим ф-ле (7) классический вид => x=ax+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.
(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)
продолжение
--PAGE_BREAK--