Частотные критерииустойчивости – 2 часа
Введение
При формулировке алгебраических критериев и критерия Михайлова не имеетзначения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость,т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследованияустойчивости разомкнутой и замкнутой систем.
Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследованияустойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.
Разомкнутая система – это система, в которой отсутствует обратная связьмежду входом и выходом, т.е. управляемая величина (выходная) не контролируется.
Замкнутая система – это система регулирования по отклонению, на вход УУчерез обратную связь поступает информация о фактическом изменении выходнойвеличины.
Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем.Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутойсистемы судить об устойчивости замкнутой системы.
АФЧХ разомкнутой системы – это кривая, которую описывает конец векторачастотной передаточной функции /> разомкнутойсистемы в комплексной плоскости.
1. Частотные критерии устойчивости
Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на,построении частотных характеристик и кривой Михайлова.
Будут рассмотрены следующие частотные критерии: критерий Михайлова, Найквистаи логарифмический частотный критерий.
/>
Рис.1 Схема для формулировки критерия Михайлова
Пусть характеристический полином системы равен:
/>
Подставим в него />:
/>
Кривая Михайлова – это кривая, которую описывает конец вектора />на комплекснойплоскости при изменении /> от 0 до />.
Критерий Михайлова. Для того чтобы система была устойчива, необходимо идостаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь при /> с действительной положительнойполуоси, при возрастании /> от 0 до /> последовательно обходила пквадрантов в положительном направлении, не попадая в начало координат (рис.1).
Пример Задан характеристический полином системы:
/>.
Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова.
Сначала необходимо подставить в него />, получим:
/>.
Для того, чтобы построить кривую Михайлова, представим характеристическийполином в виде:
/>,т.е. />, />
Для построения кривой составим таблицу:
/>
0 1
1
/>
/>>/> ® ¥
/> 2 >0 1 >0 /> >0 Построим кривую Михайлова (рис. 2, кривая 1). В пределах квадранта видкривой Михайлова на устойчивость не влияет, и она строится весьма приблизител/>ьно. Система неустойчива.
Рис.2. Кривые Михайлова
При формулировке алгебраических критериев и критерия Михайлова не имеетзначения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т.е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивостиразомкнутой и замкнутой систем.
Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследованияустойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.
Разомкнутая система – это система, в которой отсутствует обратная связьмежду входом и выходом, т.е. управляемая величина (выходная) не контролируется.
Замкнутая система – это система регулирования по отклонению, на вход УУчерез обратную связь поступает информация о фактическом изменении выходнойвеличины.
Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем.Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутойсистемы судить об устойчивости замкнутой системы.
АФЧХ разомкнутой системы – это кривая, которую описывает конец векторачастотной передаточной функции /> разомкнутой системы в комплекснойплоскости.
Критерий Найквиста: Пусть l корнейхарактеристического уравнения разомкнутой системы находятся в правойполуплоскости, а остальные п – l корней — в левойполуплоскости. Тогда, для того чтобы замкнутая система была устойчива,необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ееразомкнутой системы с ростом/>от 0 до /> охватывала точку (—1, j0) в положительном направлении, т. е. против движениячасовой стрелки, l/2 раз.
В частности, если разомкнутая система устойчива (и, следовательно, l = 0), то, для того чтобы замкнутая система была устойчива,необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ееразомкнутой системы не охватывала точку (—1, j0).
Пример. Дана замкнутая система (рис. 2, а). Оценить устойчивость системыпо критерию Найквиста.
Для этого необходимо получить частотную передаточную функцию /> разомкнутойсистемы и построить АФЧХ.
/>; />
Частотная передаточная функция ее разомкнутой системы
W (jw) = U(w) + jV (w),
U(w) =–2/(w2 + 1),
V (w) = –2w /(w2 + 1).
Для построения АФЧХ составим таблицу:w w >0 ®¥
U(w)
V(w)
–2
® 0
® 0
Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (рис. 3,б) охватывает точку (–1, j0) в положительномнаправлении 1/2раз. Необходимо составить характеристическое уравнениеразомкнутой системы:
/>
Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет один правыйкорень, т.е. l= 1. Поэтому замкнутая система поКритерию Найквиста устойчива, поскольку АФЧХ разомкнутой системы охватываетточку (-1;j0) ½ раза в положительном направлении. Алгебраическиекритерии и критерий Михайлова применяются для исследования устойчивости иразомкнутой и замкнутой систем.
/>/>
Рис. 3. Структурная схема и амплитудно-фазовая частотная характеристика
Если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет u(u³ 1) нулевых корней или, что-то же,передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
W (s) =kW0(s)/su,
где W0(0) = 1, то система называется астатическойс астатизмом u-го порядка.
Как следует из критерия Найквиста, на устойчивость замкнутой системывлияет не конкретный вид амплитудно-фазовой частотной характеристики ееразомкнутой системы, а только то, сколько раз она охватывает точку (–1, j0). Это можно установить по числу переходов (пересечений)амплитудно-фазовой частотной характеристики отрезка (–¥, –1) действительной оси [левее точки (-1;j0)].
Дадим определения:
Положительный переход (при возрастании частоты) – переход АФЧХ отрезка (–¥, –1) сверху вниз.
Отрицательный переход — это переход АФЧХ отрезка (–¥, –1) снизу вверх (рис. 4, а).
То, сколько раз АФЧХ охватывает точку (–1, j0) вположительном направлении, равно разности между числами положительных иотрицательных переходов на отрезке (-¥,-1).
Поэтому критерий Найквиста можно сформулировать также следующим образом: длятого чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобыразность между числами положительных и отрицательных переходовамплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы отрезка (-¥, -1) была равна l/2(l — число правых корней характеристического уравненияразомкнутой системы).
Используя связь между амплитудно-фазовой частотной характеристикой илогарифмическими частотными характеристиками, на основе критерия Найквистанетрудно сформулировать логарифмический частотный критерий устойчивости.
При пересечении амплитудно-фазовой частотной характеристики отрезка (-¥, -1) А(w) > 1 или L(w) = 20 lq А (w ) > 0 амплитудно-фазовой частотной и
j (w) = – (2i + 1)p,i = 0, 1,… .
/>
Рис. 4 Схема для формулировки логарифмического частотного критерия
Логарифмический частотный критерий: Для того чтобы замкнутаясистема была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числамиположительных и отрицательных переходов логарифмической фазовой частотнойхарактеристики разомкнутой системы прямых j(w ) = – (2i +1)p, ( i = 0,1, ...) при частотах, при которых L(w ) > 0 (логарифмическая амплитуднаячастотная характеристика положительна), была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравненияразомкнутой системы).
Положительный переход ЛФЧХ – это пересечение ЛФЧХ прямой j = – (2i + 1)p снизу вверх, отрицательный — сверху вниз(рис. 4, б, в).
Устойчивость систем с запаздыванием. Если система содержит звеночистого запаздывания, включенного последовательно с ее остальной частью, топередаточная функция разомкнутой системы имеет вид
W(s) = W0 (s)est=P (s)e-st/Q(s).
Наличие запаздывающего звена не влияет на характеристическое уравнение Q(l) = 0 исоответственно на устойчивость разомкнутой системы. Характеристическоеуравнение замкнутой системы Q(l) + P(l)e-lt =0 становится трансцендентным и к нему непосредственно нельзя применитьалгебраические критерии и критерий Михайлова. Критерий Найквиста (включая логарифмическийчастотный критерий) остается справедливым без изменений для систем сзапаздыванием.
Частотная передаточная функция системы с чистым запаздыванием
W(jw)=/W0 (jw)/e j[j(w)-wt] отличается от частотной передаточнойфункции системы без чистого запаздывания W(jw) = W0(jw)/e-jj(w) только дополнительным сдвигом фазы q(w)=-wt.Запаздывание может сделать устойчивую без запаздывающего звена системунеустойчивой.
Сравнительная характеристика алгебраических и частотных критериевустойчивости.Построение частотных характеристик является болеетрудоемким, чем вычисление определителей, необходимых для установленияустойчивости. Поэтому если параметры системы фиксированы и нужно проверитьтолько ее устойчивость, то, когда это возможно, лучше пользоватьсяалгебраическими критериями. Если система задается только частотнымихарактеристиками, снятыми экспериментально, или она содержит звено чистогозапаздывания, то следует воспользоваться частотными критериями, так как в этомслучае алгебраические критерии непригодны.
Как показано в гл. 6, частотные характеристики позволяют судить и окачестве системы. И поэтому если кроме проверки устойчивости нужно оценитькачество системы, то и в этом случае целесообразно использовать частотныекритерии.
2. Методы выделения области устойчивости
Критерии устойчивости позволяют характеризовать устойчивость системы,если все ее параметры фиксированы. Но часто приходится решать задачу, когдачасть параметров системы не фиксирована и их (варьируемые параметры) нужновыбрать так, чтобы система была устойчива и выполнялись какие-либодополнительные требования к ней. В этих случаях возникает необходимостьопределения множества всех тех значений варьируемых параметров, при которыхсистема устойчива. Это множество называют областью устойчивости в пространствепараметров, т. е. во множестве различных значений варьируемых параметров.
Область устойчивости – это множество всех значений варьируемыхпараметров, при которых система устойчива.
Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить,используя критерии устойчивости.
Граница устойчивости. Если часть корней характеристическогоуравнения находится на мнимой оси, а остальные корни — в левой полуплоскости,то считают, что система находится на границе устойчивости. Значения параметров,при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными.
Чтобы найти граничные значения, можно воспользоваться любым израссмотренных критериев устойчивости. При использовании алгебраическихкритериев нужно исходить из условия, что система находится на границеустойчивости, если часть коэффициентов и определителей Гурвица равна нулю,остальная часть — больше нуля. Поэтому для определения граничных значенийварьируемых параметров нужно приравнять нулю наиболее критичные коэффициенты иопределители. Обычно среди коэффициентов такими являются а0и аn, а среди определителей /> (предпоследнийопределитель Гурвица).
Поэтому можно составить следующие три условия нахождения системы награнице устойчивости:
1) а0=0
2) аn=0
3) />=0.
После нахождения варьируемых параметров из этих уравнений нужно проверитьостальные неравенства, входящие в условие устойчивости. Нужно, чтобы они были большенуля или равны нулю при найденных значениях варьируемых параметров. Тогданайденные значения будут граничными.
Метод Д-разбиения; Выделение области устойчивости на плоскости одногопараметра.
3. Методы выделения области устойчивости
Критерии устойчивости позволяют характеризовать устойчивость системы,если все ее параметры фиксированы. Но часто приходится решать задачу, когдачасть параметров системы не фиксирована и их (варьируемые параметры) нужновыбрать так, чтобы система была устойчива и выполнялись какие-либодополнительные требования к ней. В этих случаях возникает необходимостьопределения множества всех тех значений варьируемых параметров, при которыхсистема устойчива. Это множество называют областью устойчивости в пространствепараметров, т. е. во множестве различных значений варьируемых параметров.
Область устойчивости – это множество всех значений варьируемыхпараметров, при которых система устойчива.
Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить,используя критерии устойчивости.
Граница устойчивости. Если часть корней характеристическогоуравнения находится на мнимой оси, а остальные корни — в левой полуплоскости,то считают, что система находится на границе устойчивости. Значения параметров,при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными.
Чтобы найти граничные значения, можно воспользоваться любым израссмотренных критериев устойчивости. При использовании алгебраическихкритериев нужно исходить из условия, что система находится на границеустойчивости, если часть коэффициентов и определителей Гурвица равна нулю,остальная часть — больше нуля. Поэтому для определения граничных значенийварьируемых параметров нужно приравнять нулю наиболее критичные коэффициенты иопределители. Обычно среди коэффициентов такими являются а0и аn, а среди определителей /> (предпоследний определительГурвица).
Поэтому можно составить следующие три условия нахождения системы награнице устойчивости:
4) а0=0
5) аn=0
6) />=0.
После нахождения варьируемых параметров из этих уравнений нужно проверитьостальные неравенства, входящие в условие устойчивости. Нужно, чтобы они былибольше нуля или равны нулю при найденных значениях варьируемых параметров.Тогда найденные значения будут граничными.