Циклоида

Федеральное агентствопо образованию
ГОУ ВПО «Красноярскийгосударственный педагогический университет им. В.П. Астафьева
Факультет математики иинформатики
Кафедра математическогоанализа и методики его преподавания

Курсоваяработа
поматематическому анализу на тему
«Циклоида»

Выполнила студентка 43группы
Ковальчук М.В.
Научный руководитель
доцент кафедры мат. анализаи мп
Шатохина М.П
Красноярск 2010

Оглавление
 
1. Введение
2. Историческиесведения
3. Основныесвойства циклоиды
4. Построениециклоиды
5. Геометрическоеопределение циклоиды
6. Параметрическоеуравнение циклоиды и уравнение в декартовых координата
7. Задачина нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой
8. Заключение
Литература 

Введение
Кривая циклоида очень интересна дляизучения, однако не так просто найти литературу ей посвященную. В большинстветаких источников циклоида упоминается только вскользь или рассматривается недостаточно полно. Однако она используется при решении различных задач. В видутого, что в школах вводится углубленное изучение математических дисциплин, вскором времени может понадобиться подробная информация о различных кривых, втом числе и о циклоиде. Так же задачи связанные с циклоидой встречаются и вфизике и в высшей математике. Поэтому я посчитала данную тему актуальной иинтересной для изучения.
Цель работы: описать основные свойствациклоиды, привести решение геометрических задач, связанных с циклоидой.
 

1. Исторические сведения
 
Первым ктостал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642)_ знаменитый итальянский,астроном, физик и просветитель. Он же и придумал название «циклоида», чтозначит: «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но оего работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани,Торичелли и другие.
Великийантичный философ — «отец логики» — Аристотель из Стагиры (384—322 годы до н.э.), занимаясь логическим обоснованием понятия движения, рассматривал, междупрочим, следующий парадокс.
/>
рис. 1
Пустькружок, изображенный на рис. 1 жирной линией, катится по прямой АВ. Когдакружок этот сделает полный оборот, точка М вернется на прямую АВ изаймет положениеМх. При этом, как мы знаем, отрезокММХбудет равен длине «жирной» окружности. Рассмотрим начерченный кружок с центромО, изображенный тонкой линией. Когда точка М придет в положениеМ1этот маленький кружок тоже сделает полный оборот и его точка К придет вположение К1. При этом в каждый момент времени какая-то однаединственная точка маленькой окружности совмещается с единственной же точкойотрезка КК1. Каждой точке окружности соответствует единственнаяточка отрезка и каждой точке отрезка — единственная точка окружности. Поэтомунапрашивается вывод: длина маленькой «тонкой» окружности равна длине отрезка КК1— ММ1 т. е. равна длине большой («жирной») окружности. Итак, кругиразличных радиусов имеют окружности одинаковой длины! В этом и состоит парадоксАристотеля.
Ошибка здесьв следующем. Из того, что каждой точке окружности радиусаОКсоответствует единственная точка отрезка КК1 вовсе не следует, чтодлина этой окружности равнаКК1. Так, например, на рис. 2точки отрезка АВ приведены при помощи лучей, проходящих через точку D, во «взаимно однозначное» соответствиес точками вдвое большего отрезкаСЕ, но никому в голову не придетутверждать, что отрезки АВ и СЕ имеют одинаковую длину! Это же относится нетолько к отрезкам прямых, но и кривых линий. Парадоксу Аристотеля можно придатьследующую, более грубую, а потому и более ясную форму: рассмотрим двеконцентрические окружности (рис. 3). На них «поровну» точек: соответствующиеточки соединены на рис. 3 прямыми линиями (радиусами). И все же никто не станетутверждать, что длины этих окружностей одинаковы.
/>                                    />
рис 2                                                                           рис.3
Аристотельрассматривал именно то движение, которое через 1900 лет привело Галилея к открытиюциклоиды; но он не заинтересовался кривыми, которые вычерчиваются точкамиокружности катящегося круга.
В самом начале XVII века юный Галилей пыталсяэкспериментально проверить свою догадку о том, что свободное падение —равноускоренное движение. Когда он перенес наблюдения с Пизанской башни влаборатории, ему стало очень мешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобызамедлить это движение, Галилей решил заменить свободное падение тел ихдвижением по наклонной плоскости, предположив, что и оно будет равноускоренным.Проводя эти опыты, Галилей обратил внимание на то, что в конечной точкевеличина скорости тела, скатившегося по наклонной плоскости, не зависит от угланаклона плоскости, а определяется только высотойH и совпадает с конечнойскоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (как вы хорошо знаете, вобоих случаях |v̄|=/>Изучив движения по наклонным плоскостям,Галилей перешел к рассмотрению движения материальной точки под действием силытяжести по ломаным линиям. Сравнивая времена движения по различным ломаным,соединяющим фиксированную пару точекА иВ, Галилей заметил, чтоесли через эти две точки А, В провести четверть окружности и вписать внее две ломаные М иL, такие, что ломанаяL «вписана» в ломаную М,то материальная точка изА вВ быстрее попадает по ломаной М, чемпо ломаной L.Увеличивая у ломаной число звеньев и переходя к пределу, Галилей получил, чтопо четверти окружности, соединяющей две заданные точки, материальная точкаспустится быстрее, чем по любой вписанной в эту четверть окружности ломаной. Изэтого Галилей сделал ничем не аргументированный вывод, что четверть окружности,соединяющая пару заданных точек А, В (не лежащих на одной вертикали), и будетдля материальной точки, движущейся под действием силы тяжести,линиейнаискорейшего спуска (позже линию наискорейшего спуска стали называтьбрахистохроной). Впоследствии выяснилось, что это утверждение Галилея былоне только необоснованным, но и ошибочным.
Свойства касательной и нормали к циклоиде быливпервые изложены Торичелли (1608—1647) в его книге «Геометрические работы»(1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже,но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математикаЖилля Персонна, 1602—1672). В 1634 году Роберваль –вычислил площадь,ограниченную аркой циклоиды и ее основанием. Свойства касательной к циклоидеизучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.
 
2. Основныесвойства циклоиды
Определениециклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опираетсяна механические понятия — скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометрывсегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение» Но для того,чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойствациклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое ихарактерное из этих свойств, можно положить его в основу геометрическогоопределения.
Начнем сизучения касательной и нормали к циклоиде. Что такоекасательная ккривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определениекасательной дается в курсах высшей математики, и мы его приводить здесь небудем.Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный вточке касания. На рис. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ееточке М
/>
Рассмотримциклоиду (рис. 17), круг катящийся по прямой АВ. Допустим, что вертикальный радиускруга, проходивший в начальныймомент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол φ и занялположение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок МоТ составляет такую долю отрезка МоМ1,какую угол φ составляет от 360° (от полного оборота).
/>
Касательная к циклоиде
При этом точка М0пришла в точку М. Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.
Стрелочка OH изображает скорость движения центракатящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, втом числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращениикруга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении,направлена по касательной МС1 к окружности, т. е.перпендикулярно к радиусу ОМ. А т.к. в этом случае скорость МС повеличине равна скорости MP (т. е. скорости ОН). Поэтомупараллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР нарис. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.
Все сказанное дает возможность решить следующую«задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус гпроизводящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 17). Требуетсяпостроить касательную МК к циклоиде.
Имея точку М, мы без труда строим производящийкруг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М. Для этогопредварительно найдем центр О при помощи радиуса МО =r (точка О должка лежать на прямой, параллельной АВ нарасстоянии г от нее). Затем строим отрезок MP произвольной длины,параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую МС1,перпендикулярную к ОМ На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равныйMP. На МС и MP, как на сторонах, строимромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.
Это построение — чисто геометрическое, хотяполучили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься смеханикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простойтеоремы.
Теорема 1. Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющейпрямой равен дополнению до 90°половины угла поворота радиуса производящего круга.
Инымисловами, на нашем рис. 17 угол KLT равен /> или
∟КМР = /> .
Эторавенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол /> поворотарадиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис.17 — основной угол. Будем считать основной угол острым. Читатель самвидоизменит рассуждения для случая тупого угла, т. е. для случая, когдакатящийся круг сделает больше четверти полного оборота.
Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна к ОМ (касательная кокружности перпендикулярна к радиусу). Сторона MP (горизонталь)перпендикулярна к ОТ(к вертикали). Но угол МОГ, по условию, острый (мы условились рассматриватьпервую четверть оборота), а угол СМР — тупой (почему?). Значит, углы МОТ и СМРсоставляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, изкоторых один острый, а другой — тупой).
Итак, угол CMP равен 180° — φ Но,как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам.
Следовательно, угол КМР=90° — /> что и требовалось доказать.
Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Мыговорили уже, что нормалью к кривой называется перпендикуляр к касательной,проведенный в точке касания (рис. 16). Изобразим левую часть рис. 17 крупнее,причем проведем нормаль ME (ME ┴ МК; см. рис. 18).
Из рис. 18 следует, что угол ЕМР равен разностиуглов КМЕи КМР,т. е. равен 90° — ∟KMP.
/>
К теореме 2
Но мы только что доказали, что сам угол КМРравен 90° — />
Таким образом, получаем:
∟РМЕ = 90° — ∟ КМР = 90° — (90° — /> ) = />
Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадимее формулировку:
Теорема 2. Угол между нормалью кциклоиде (влюбой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основногоугла».
(Вспомним, что «основным углом» называется уголповорота радиуса катящегося круга )
Соединим теперь точку М («текущую» точкуциклоиды) с «нижней» точкой (Т) производящего круга (с точкой касанияпроизводящего круга и направляющей прямой — см. рис. 18). Треугольник МОТ,очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ— радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольникаравна 180° —/>, а каждый из углов при основании —половике этой суммы. Итак,
∟OMT = 90°— />.
Обратим внимание на угол РМТ. Он равенразности угловОМТ и ОМР. Мы видели сейчас, что ∟OMT равен 90°- /> ; что касается угла ОМР, то нетрудновыяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углу DOM (внутренние накрестлежащие углы при параллельных).
/>

 
3. Основныесвойства касательной и нормали к циклоиде
Непосредственно очевидно, что ∟DOM равен 90° — φ.
Значит, ∟OMP = 90° — φ. Такимобразом, получаем:
∟РМТ = ∟ОМТ — ∟ ОМР = 90° —/> — (90° — φ) = />.
Получается замечательный результат: угол РМТ оказываетсяравным углу РМЕ (см. теорему 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис.18 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 19.
Сформулируем полученный результат виде теоремы 3.
Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды).Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.
Изэтой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью,по определению, — прямой. Это угол, вписанный в окружность производящего круга.Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, ТТ1— диаметр, и T1 — «верхняя» точка производящего круга.Сформулируем полученный результат.
Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоидепроходит через «верхнюю» точку производящего круга.
Что бы объяснить это свойство нам необходимопостроить циклоиду.
Построениециклоиды.
/>
Построениециклоиды производится в следующей последовательности:
1. На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА12,равный длине производящей окружности радиуса r, (2πr);
2. Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющаяпрямая была касательной к неё в точке А;
3. Окружность и отрезок АА12 делят на несколько равныхчастей, например на 12;
4. Из точек делений 11, 21, ...121восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной осиокружности в точках 01, 02, ...012;
5. Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальныепрямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;
6. Полученные точки А1, А2,… А12принадлежат циклоиде.
На рис. 20 основание циклоиды разделено на 6равных частей;
/>

чем число делений будет больше, тем, как мы знаем, чертежполучится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведемкасательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. Нанашем чертеже получилось семь касательных (из них две — вертикальные). Проводятеперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касаласькаждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этомсама циклоида будет огибать все эти касательные [1]).
Проведем на том же рис. 20 нормали во всехнайденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей.Можно построить от руки сгибающую этих нормалей. Если бы мы вместо шести взяли12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающаянаметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль приизучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживаетсялюбопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида,только сдвинутая на 2а вниз и наπа вправо. Этот факт характерен именно для циклоиды.

4. Геометрическое определение циклоиды
Теперь мы дадим определение циклоиды какгеометрического места точек, не пользуясь механикой. Проще всего поступить так.Рассмотрим произвольную прямую АВ (будем условно считать ее направлениегоризонтальным) и на ней точку М0. Далее рассмотрим всевозможныекруги определенного радиуса, касающиеся этой прямой и расположенные по однусторону от нее. На каждом круге от точки Т касания его с прямой АВ отложим (внаправлении к точке М0) дугу ТМ, по длине равную отрезку М0Т. Геометрическоеместо точек М (взятых на всех упомянутых нами кругах) и будет циклоидой.
Установим еще одно важное свойство циклоиды ипопробуем именно его положить в основу изучения этой кривой.
Рассмотрим треугольник МТТ1(рис. 21), образованный вертикальным диаметром производящего круга, касательнойк циклоиде и нормалью к ней.
/> 
Связьмежду «высотой» и наклоном касательной
Угол МТ1Т, как вписанный в окружность,равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т. е. равен />. Проведем МК||АВ и ME ┴ АВ. Отрезок МЕ будетиграть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение:будем называть его «высотою» точки М циклоиды и обозначать буквою h. Итак, высота точки М циклоиды — эторасстояние ее от направляющей прямой.
Обратим внимание на угол КМТ. Он равен углу МТ1Т.Из треугольника ТМТ1 получаем:
МТ = 2а sin />
а из треугольника ТКМ:
КТ = МТ sin-/>.
Сопоставляя эти результаты и замечая, что КТ = h, получим окончательно:
h = 2a sin2 />
Мы выразили высоту точки М через угол междукасательной в точке М и вертикалью (горизонталью мы по-прежнему считаемнаправление прямой АВ). Теперь выразим синус этого угла через «высоту».Получим, очевидно:
/>
где через k обозначена постоянная для данной циклоидывеличина /> Полученный результатизложим в теореме.
Теорема 4. Синус угла между касательной к циклоиде в точке М и вертикальюпропорционален корню квадратному из «высоты» точки М.
Этим свойством обладает, очевидно, любаяциклоида. Возникает вопрос: в какой мере это свойство характеризует именно циклоиду:будет ли всякаякривая, обладающая этим свойством, непременно циклоидой? Можнодоказать, что это будет именно так, — что верна и следующая (обратная) теорема:
Теорема 5. Если даны прямая АВ и точка М, то единственнойкривой, удовлетворяющей условиям теоремы 4 и проходящей через точку М, будетциклоида.
При этом радиус производящего круга этой циклоидысвязан с коэффициентом k, о котором говорится в теореме 4, следующим соотношением:
/>

(Разумеется, расстояние точки М от АВ должно бытьменьше, чем 2а.)
Строгое доказательство этой теоремы средствами элементарнойматематики очень громоздко, и мы его приводить здесь не будем.
/>
Семействоциклоид
Если в условии теоремы 5 не оговорить, чтоискомая кривая проходит через наперед указанную точку М, то получится не одна,а бесконечное множество циклоид, которые получаются друг из друга параллельнымсдвигом по направлению прямой АВ (одна из них проходит через точку М, другая —через М1 третья — через М2 и т. д.). Это множество, или,как его называют, семействоциклоид изображено на рис. 22.
5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение вдекартовых координатах
Допустим,что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точкеА.
Есливыбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успелповернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, токоординаты х и у точки М выразятся следующим образом:
х= OF = ON — NF = NM — MG = at-a sin t,
y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t
Итакпараметрические уравнения циклоиды имеют вид:
/> (0/>
≤ t ≤ 2π).
Приизменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая избесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.
Так же,помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение вдекартовых координатах:
/>, где r – радиус окружности, образующей циклоиду.
 

6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованныхциклоидой
 
Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды,уравнение которой задано параметрически
/>
и осью Ох.
/>
Решение.Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теорииинтегралов, а именно:
Площадькриволинейного сектора.
Рассмотримнекоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].
Будемсчитать, что r и ϕ — полярные координаты точки. Тогда любому
ϕ0∈ [α, β]соответствует r0= r(ϕ0) и, значит, точка M0(ϕ0, r0), где ϕ0,
r0— полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменнаяточка M опишет некоторую кривую AB, заданную
уравнением r = r(ϕ).
Определение7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB,заданной в полярных
координатах уравнением r =r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
Справедливаследующая
Теорема.Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь
криволинейногосектора вычисляется по формуле:
/>
Эта теоремабыла доказана ранее в теме определенного интеграла.
Исходя изприведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченнойодной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t), и осью Ох, сводится к следующемурешению.
Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая аркациклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,
/>
Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды
/>
Так же винтегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.
Теорема.Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f’(x)непрерывны на [a, b], то AB является спрямляемой и
Следствие.Пусть AB задана параметрически
LAB = /> (1)
/>
Пустьфункции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда
формулу (1)можно записать так
/>
Сделаемзамену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)=/> ;
dx= x’(t)dt и, следовательно:
/>
То есть:
/>
А теперьвернемся к решении нашей задачи.
Решение. Имеем />, апоэтому
/> = 8a
 
Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной аркициклоиды
L={(x,y):x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π}
Винтегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площадиповерхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a,b] параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t0≤t ≤t1)
|S|=/>
Применяяэту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:
/>
 
Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды
/>

Вдоль осиОх.
Винтегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:
Есликривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическимиуравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о заменепеременной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг осиОх, будет вычисляться по формуле
/>
Воспользуемсяэтой формулой для нахождения нужного нам объема.
/>
/>
/>
Задачарешена.

Заключение
Итак, в ходе выполнения данной работы быливыяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду,выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромноепрактическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах,в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII векапри разработке приемов исследования кривых линий, — тех приемов, которыепривели в конце концов к изобретению дифференциального и интегральногоисчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц иих первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов.Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления,столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказаласьнеразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.

Литература
 
1. Берман Г.Н. Циклоида.– М., 1980
2. Веров С.Г.Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. — №5
3. Веров С.Г. Тайныциклоиды// Квант. – 1975. — №8.
4. Гаврилова Р.М.,Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С., Радченко Т.Н. Приложенияопределенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания длястудентов 1 курса физического факультета. — Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.
5. Гиндикин С.Г. Звездныйвек циклоиды // Квант. – 1985. — №6.
6. Фихтенгольц Г.М. Курсдифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969