Контрольная работаТЕОРИЯВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белыхшаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найтивероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется черным.
/>/>/> Решение
/>/>Пусть гипотезы и состоят в том что:
- />Из первой урны извлекли черный шар, вероятность
— извлекли белый шар, вероятность
Гипотезы несовместны исумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.
Пусть событие А состоит в том, что из второй урныизвлекут черный шар. Если происходит событие Н1 то во второй урне станет 6+1=7черных и 4 белых шара. В этом случае вероятность наступления А равна
/>
Если же происходит событие Н2 то во второй урне станет6 черных и 4+1=5 белых шаров. Вероятность наступления А
/>
По формуле полной вероятности вычислим вероятностьсобытия А (из второй урны вынут черный шар)
/>
Ответ: 0,60
5. Студент знает 40 из 50 вопросовпрограммы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся вего экзаменационном билете.
Решение
Для каждого вопросавероятность того что студент его знает, одинакова
/>
Найдем вероятность того, что вдвух испытаниях событие А (студент знает вопрос) произойдет 2 раза по формулеБернулли/> />
Ответ: 0,64
11. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин.,равно четырем. Найти вероятность того, что за 2 мин. поступит: 1) 6 вызовов; 2)менее шести вызовов; 3) не менее шести вызовов. Предполагается, что потоквызовов – простейший.Решение
/> Интенсивность потока
Время t=2
/>
Поформуле Пуассона, вероятность того что за время t поступит k вызовов,равна
1)
2)/> />
/> />
3)
15. Среднее число самолетов,прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно трем. Найти вероятность того, что за 2мин прибудут: 1) 4 самолета; 2) менее четырех самолетов; 3) не менее четырехсамолетов./> />
По формуле Пуассона, вероятность того что завремя t поступит k вызовов, равна
/>1) /> />
2)
/>3)
21-30. Для дискретной случайной величины Х, определенной взадаче:
1).написатьряд распределения; 2).построить многоугольник распределения;
3).вычислить математическоеожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 4).построитьинтегральную функцию распределения.
21. Вероятность того, что вбиблиотеке необходимая книга свободна, равна 0,3. В городе 4 библиотеки. СВ Х –число библиотек, которые посетит студент в поисках необходимой книги.
Решение
Случай ная величина Х может принимать такие значения
Х=1 – еслистудент найдет книгу в первой же библиотеке
Х=2 –если в первой не найдета найдет во второй
Х=3- если не найдет в первойи второй а найдет в третьей
Х=4- если не найдет ни впервой, ни во второй, ни в третьей.
Найдем их вероятности.
Пусть событие А состоит в том что книга найдена.Р(А)=0,3.
/>
Не найдена – вероятность противоположногособытия равна
/>1)Запишем ряд распределения ХХ 1 2 3 4 Р 0,3 0,21 0,147 0,343
2) См. рисунок 1(21)
/>3) Математическое ожидание дискретной случайной величины
Дисперсия
/>
/> />
Среднеквадратическое отклонение
4) Х – дискретная случайная величина. Найдем функциюраспределения F(x)=P{x
/>
25. Три плавбазы вышли напутину. Вероятность того, что первая из них перевыполнит план равна 0,9; вторая– 0,8 и третья – 0,85. СВ Х – число баз, перевыполнивших план.
Случай ная величина Х может принимать такие значения
Х=0 если ни первая ни втораяни третья базы не перевыполнили план
Х=1 – это может произойти если 1-я база перевыполнила план,а вторая и третья нет, или вторая перевыполнила а первая и третья нет, или третьяпервыполнила а первая и вторая нет.
Х=2 –если первая и вторая базы перевыполнили план а третьянет, или вторая и третья перевыполнили а первая нет, или первая и третьяперевыполнили а вторая нет.
Х=3- если все три базыперевыполнили план
.
Найдем их вероятности.
/>По формулам суммы и произведения вероятностей, по формуле вероятности
1)Запишем ряд распределения ХХ 1 2 3 Р 0,003 0,056 0,329 0,612
2) См. рисунок 1(25)
/>/>3) Математическое ожидание дискретной случайной величины
Дисперсия/> />
Среднеквадратическое отклонение
4) Х – дискретная случайная величина. Найдем функциюраспределения F(x)=P{x
/>
31-40. Случайнаявеличина Х задана плотностью распределения ¦(х). Определить: а)параметр А; б) функцию распределения вероятностей F(х); в) математическое ожидание МХ; г) дисперсию ДХ; д) вероятностьтого, что в n независимых испытаниях случайная величина Х попадетровно m раз в интервал (a, b). Построить графики функций ¦(х), F(х).
31.
¦(х)=/> />
n = 4, m = 3, a = 0, b= 2 Решение
а)Для плотности распределения непрерывной случайнойвеличины должно выполняться условие/> /> /> /> /> /> /> /> />
В нашем случае
б) Функция распределения вероятностей
/>
в) Математическое ожидание
/>
г) Дисперсия
/>
д) При каждом независимом испытании вероятностьпопадания в интервал равна/> />
По формуле Бернулли вероятность того чтослучайная величина в n=4 испытаниях m=3 раза попадетв интервал равна
е)Графики смотри рис.2(31)
35.
¦(х)= /> />
n=4, m=2, a=-1/3 А, b=5/4 А.
а)Для плотности распределения непрерывной случайнойвеличины должно выполняться условие
/>
В нашем случае
/>
б) Функция распределения вероятностей
/>
в) Математическое ожидание
/>
г) Дисперсия
/>
д) При каждом независимом испытании вероятностьпопадания в интервал равна
/>
/> />
По формуле Бернулли вероятность того чтослучайная величина в n=4 испытаниях m=2 раза попадетв интервал равна
е)Графики смотри рис.2(35)
41-50. Дана выборка значений признака Х. Требуется:
1) построить статическую совокупность;
2) построить гистограмму частот;
3) найти точечные оценки генеральной средней, генеральной
дисперсии и генеральногосреднего квадратического отклонения;
4) найти доверительный интервал для неизвестногоматематического
ожидания;
5) проверить нулевую гипотезу о нормальном законераспределения
количественного признака Хгенеральной совокупности.
41.
38, 51, 57, 64, 76, 92, 89, 19,35, 60, 22, 41, 44, 48, 60, 44, 67, 80, 86,
57, 25, 83, 73, 70, 70, 70, 64,60, 60, 64, 57, 54, 57, 54, 32, 86, 86, 80,
76, 60, 76, 70, 70, 67, 67, 64,64, 60, 28, 67, 41, 41, 51, 48, 44, 80, 80,
76, 73, 51, 67, 60, 32, 41, 41,54, 57, 60, 67, 73, 73, 76, 57, 67, 73, 73,
64, 60, 54, 57.
1) Объем выборки n=80
Наименьшее значениепризнака Х
MIN:
19
Наибольшее значение
MAX:
92
Определим оптимальное числоинтервалов разбиения по формуле
/>
Число интервалов:
7,00
Шаг интервала h=(92-19)/7=
10,43
Составим интервальный вариационный ряд
/>Интервал
Колич. Элементов
m(i)
Относит. Частоты
m(i)/n
Середины интервалов
19,00
29,43
4
0,05
24,21
29,43
39,86
4
0,05
34,64
39,86
50,29
10
0,13
45,07
50,29
60,71
23
0,29
55,50
60,71
71,14
18
0,23
65,93
71,14
81,57
15
0,19
76,36
81,57
92,00
6
0,08
86,79
/>2)Построимгистограмму частот, откладывая по оси Х границы интервалов а по оси У значения
/>
3)Точечной оценкойматематического ожидания является эмпирическая средняя
/>
Точечной оценкой генеральнойдисперсии является дисперсия эмпирическая
/>
Точечная оценка генеральногосреднего квадратического отклонения
Исправленное среднееквадратическое отклонение
/>
4)Доверительный интервал длянеизвестного математического ожидания
имеет вид (принадежности p=0.95)
Доверительный интервал для оценки математическогоожидания имеет вид
/>
/>Где — такое число, для которого /> /> /> /> /> /> /> /> />
По таблицам значений функции Лапласа находим =1,96
Доверительный интервал имеет вид
6) />
Предположим, что количественный признак Х имеетнормальное распределение и вычислим теоретические частоты.
Параметры распределения
/>
Вероятность попадания в интервал для нормальнораспределенной случайной величины
/>
Для более точного применения критерия Пирсонатребуется чтобы теоретические частоты были>5. Это невыполняется для интервала 1, который объединяем с соседним. Теперь количествоинтервалов равно 6. Найдем величину уклонения
/>
По таблицам для критерия Пирсона найдемкритическую точку для количества степеней свободы k=6-1-2=3 и q=0.05
/>
Отсюда следует, что различия между теоретическими иопытными частотами случайны и гипотезу о нормальном распределении следуетпринять.
/>
45.
24, 99, 28, 68, 72, 81, 85, 93,29, 36, 32, 48, 72, 52, 62, 60, 40, 85, 68, 76,
64, 52, 60, 76, 56, 60, 64, 68,72, 76, 72, 68, 72, 85, 68, 72, 73, 98, 44, 51,
48, 52, 97, 56, 84, 81, 97, 62,64, 56, 93, 86, 69, 89, 64, 81, 56, 72, 72, 81,
68, 76, 85, 70, 81, 72, 68, 71,72, 93, 76, 92, 72, 93, 65, 55, 84, 36, 48, 52.
2) Объем выборки n=80
Наименьшее значениепризнака Х
MIN:
24
Наибольшее значение
MAX:
99
Определим оптимальное числоинтервалов разбиения по формуле
/>
Число интервалов:
7,00
Шаг интервала h=(99-24)/7=
10,71
Составим интервальный вариационный ряд
/>Интервальный ряд
Колич. Элементовm(i)
Относит. Частоты
m(i)/n
Середины интервалов
24,00
34,71
4
0,05
29,36
34,71
45,43
4
0,05
40,07
45,43
56,14
13
0,16
50,79
56,14
66,86
10
0,13
61,50
66,86
77,57
27
0,34
72,21
77,57
88,29
12
0,15
82,93
88,29
99,00
10
0,13
93,64
/>2)Построимгистограмму частот, откладывая по оси Х границы интервалов а по оси У значения
/>
3)Точечной оценкойматематического ожидания является эмпирическая средняя
/>
Точечной оценкой генеральнойдисперсии является дисперсия эмпирическая
/>
Точечная оценка генеральногосреднего квадратического отклонения
Исправленное среднееквадратическое отклонение
/>
4)Доверительный интервал длянеизвестного математического ожидания
имеет вид (принадежности p=0.95)
Доверительный интервал для оценки математическогоожидания имеет вид
/>
/>Где — такое число, для которого /> /> /> /> /> /> /> /> />
По таблицам значений функции Лапласа находим =1,96
Доверительный интервал имеет вид
7) />
Предположим, что количественный признак Х имеетнормальное распределение и вычислим теоретические частоты.
Параметры распределения
/>
Вероятность попадания в интервал для нормальнораспределенной случайной величины
/>
8) /> />
Для более точного применения критерия Пирсонатребуется чтобы теоретические частоты были>5. Это невыполняется для интервала 1, который объединяем с соседним. Теперь количествоинтервалов равно 6. Найдем величину уклонения
/>
По таблицам для критерия Пирсона найдемкритическую точку для количества степеней свободы k=6-1-2=3 и q=0.05
/>
Отсюда следует, что различия между теоретическими иопытными частотами значимы и гипотезу о нормальном распределении следует отклонить..
/>
51-60.
Для установлениякорреляционной зависимости между величинами
X и Y (где Y- случайная величина, X- неслучайнаявеличина) проведены
эксперименты, результатыкоторых представлены в таблице.
Требуется: 1. Найти условныесредние />и построить эмпирическую линию
регрессии Y по X (ломаную).2. Найти уравнение регрессии Y по X
методом наименьших квадратов,принимая в качестве сглаживающей
линии параболу />затем построить ее на одномчертеже
с эмпирической линиейрегрессии. 3. Оценить тесноту корреляционной
зависимости Y по X. 4.Проверить адекватность уравнения регрессии Y по X.
51.
/> 10 20 30 40 50
/>
212
220
251
270
292
258
258
285
314
325
282
290
325
326
343
316
330
334
361
370
370
330
350
375
380
Решение
Найдем условные средние по у
/>
Эмпирическая ломаная регрессии см рис3(51)
2. Для определения неизвестных параметров a,b,c требуетсярешить
системууравнений
/>
Заполнимвспомогательную таблицу
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Y(/>) 1 10 245 2450 100 1000 10000 24500 246,64 2 20 288 5760 400 8000 160000 115200 284,26 3 30 313,2 9396 900 27000 810000 281880 315,88 4 40 342,2 13688 1600 64000 2560000 547520 341,5 5 50 361 18050 2500 125000 6250000 902500 361,12
/> 150 1549,4 49344 5500 225000 9790000 1871600
Получаем системууравнений
/>
Решение системы:a=-0.03; b=4.662; c=203.02
Получаем уравнение кривой
/>
Подставляя в уравнение поочередно значения х,получаем соответствующие точки параболы, которые и наносим на график.(рис3(51))
3. Найдем значение коэффициентакорреляции
/>
Отсюда можно сделатьвывод что зависимость прямая сильная., тк
коэффициент близокк 1
55.
/> 1 2 3 4 5
/>
0.27
0.25
0.21
0.33
0.24
0.23
0.25
0.30
0.31
0.37
0.31
0.27
0.26
0.24
0.22
0.32
0.29
0.33
0.32
0.33
0.81
0.65
0.50
0.63
0.60
Решение
Найдем условные средние по у
/>
Эмпирическая ломанаярегрессии см рис 3(51)
2. Для определения неизвестных параметров a,b,c требуетсярешить
системууравнений
/>
Заполнимвспомогательную таблицу
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Y(/>) 1 1 0.26 0.26 1 1 1 0.26 0.294 2 2 0.292 0.584 4 8 16 1.168 0.224 3 3 0.26 0.78 9 27 81 2.34 0.254 4 4 0.318 1.272 16 64 256 5.088 0.384 5 5 0.638 3.19 25 125 625 15.95 0.614
/> 15 1.768 6.086 55 225 979 24.806
Получаем системууравнений
/>
Решая систему находим a=0.05,b=-0.22,c=0.464
/>
Подставляя в уравнениепоочередно значения х, получаем
соответствующие точкипараболы, которые и наносим на график(рис.3(55).)
И в таблицу.(последний столбец)
3. Найдем значение коэффициентакорреляции
/>
Отсюда можно сделатьвывод что зависимость прямая умеренная.
61-70. Найтивыборочное уравнение прямой регрессии У на Х по данной корреляционной таблице.
61.Y X 4 9 14 19 24 29
/> 10 2 3 __ __ __ __ 5 20 __ 7 3 __ __ __ 10 30 __ __ 2 50 2 __ 54 40 __ __ 1 10 6 __ 17 50 __ __ __ 4 7 3 14
/> 2 10 6 64 15 3 n=100 /> /> /> /> /> /> /> /> />
Выберем в качестве ложных нулейварианты по х и у с наибольшими частотами.
Перейдем к условным вариантам
/>
Получим таблицу в условных вариантах.V U -3 -2 -1 1 2
/> -2 2 3 __ __ __ __ 5 -1 __ 7 3 __ __ __ 10 __ __ 2 50 2 __ 54 1 __ __ 1 10 6 __ 17 2 __ __ __ 4 7 3 14
/> 2 10 6 64 15 3 n=100 /> /> /> /> /> /> /> /> />
/>Найдем выборочные средние
/>Найдем вспомогательные величины
/>
Вычислим коэффициент корреляции/>
Перейдем теперь к исходным вариантам и составим уравнениерегрессии
/>
Уравнение регрессии
/>
65.Y X 10 15 20 25 30 35
/> 6 4 2 __ __ __ __ 6 12 __ 6 2 __ __ __ 8 18 __ __ 5 40 5 __ 50 24 __ __ 2 8 7 __ 17 30 __ __ __ 4 7 8 19
/> 4 8 9 52 19 8 n=100 /> /> /> /> /> /> /> /> />
Выберем в качестве ложных нулейварианты по х и у с наибольшими частотами.
Перейдем к условным вариантам
/>
Получим таблицу в условныхвариантах.V U -3 -2 -1 1 2
/> -2 4 2 __ __ __ __ 6 -1 __ 6 2 __ __ __ 8 __ __ 5 40 5 __ 50 1 __ __ 2 8 7 __ 17 2 __ __ __ 4 7 8 19
/>/> 4 8 9 52 19 8 n=100 /> /> /> /> /> /> /> /> />
/>Найдем выборочные средние
Найдем вспомогательные величины
/>
Вычислим коэффициент корреляции/>
Перейдем теперь к исходным вариантам и составим уравнениерегрессии
/>/>
Уравнение регрессии