Контрольная работа 3.
1. Прибор может работать вдвух режимах ¾ нормальном и ненормальном. Нормальный режимвстречается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный ¾ в 20%. Вероятность выхода прибора за время tвнормальном режиме равна 0,1, в ненормальном ¾ 0,7. Найтивероятность выхода прибора из строя за время t./>/>Решение
/>
/>Пусть гипотезы и состоят в том что приборработает:
- в нормальном режиме, вероятность
- в ненормальном режиме, вероятность
/>/>Гипотезы несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезыобразуют полную группу.
Пусть событие А состоит втом, что прибор выходит из строя. При условии, что режим работы нормальный,вероятность наступления А равна
При условии что режим работы ненормальный вероятностьнаступления А /> />
По формуле полной вероятности вычислимвероятность того что прибор выйдет из строя за время t
Ответ: 0,22
2. В лотерее каждый десятый билет выигрывает 10 рублей, сам же лотерейный билет стоит 1 рубль.Некто приобрел 10 билетов. Найти вероятность того, что он:
а) не будет в проигрыше;
б) будет в выигрыше.
Решение
Вероятность выиграть по произвольному билету, поформуле классической вероятности равна p=0.1
Проводится n=10 испытаний cодинаковой вероятностью наступления события в каждом.
Для того чтобы игрок не был в проигрыше, долженвыиграть хотя бы один билет то есть k>=1
Для того чтобы игрок был в выигрыше, должно выигратькак минимум два билета или k>1
По формуле Бернулли,
/>
Теперь найдем вероятность противоположного события p(k>=1)=1-p(k
P(k>=1)=p(k>1)+p(k=1)– вероятность суммы несовместных событий
P(k>1)=p(k>=1)-p(k=1)=0.651-0.387=0.264– вероятность выигрыша
Ответ: а)0,651 б)0,264
3. Семена некоторыхрастений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастает:
а) 1600 семян;
б) не менее 1600 семян.
Решение
Мы имеем дело с серией последовательных независимыхиспытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью может произойтисобытие А (семя прорастает)
Количество испытаний n=2000
Вероятность наступления события А равна p(A)=0.8=p
q=1-p=1-0.8=0.2
/>Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. В силу того, что nдостаточно велико, удобно применить для вычислений локальную теоремуМуавра-Лапласа. Вероятность того, что событие А наступит ровно k=1600раз,приблизительно равна
/>
Здесь — локальнаяфункция Лапласа, значения которой можно взять из таблиц.
/>Получим
/>
Ответ :0,0223
4. В коробке лежат 10исправных и 3 неисправных батарейки. На удачу извлекаются 3 батарейки.Составить закон распределения случайной величины — числа исправных батареексреди извлеченных.Решение
Пусть Х- дискретнаяслучайная величина- число неисправных батареек. Х может принимать значения0,1,2 или 3. Найдем вероятности каждого из значений Х./> />
Вероятность для каждой батарейки бытьнеисправной определяем по формуле классической вероятности.
Проводится n=3 испытания Бернулли в каждомиз которых p=0.231, q=1-p=0.769
/>По формуле Бернулли
Проверка: p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=0.455+0.410+0.123+0.012=1.00
Получаем закон распределения случайной величины Х:Х 1 2 3 Р 0,455 0,410 0,123 0,012
5. Случайная величина Храспределена по нормальному закону, причем P(X>2)= 0,5, а P(1
/>Решение
/>Для случайной величины X с нормальнымраспределeнием вероятность попадания в интервал равна
/>
, гдеФ(х) – интегральная функция Лапласа,
значения которой табулированы.
По этой формуле
/>
/> />
Отсюда следует что
Из таблиц определяем a=2 –математическое ожидание Х
/>Кроме того
/>
Значит
/>
из таблицы определяем что -среднеквадратическое
отклонение
/>Дисперсия />Ответ:Математическое ожидание
/> Дисперсия