Введение.
Центральнаяпредельная теорема (ЦПТ) имеет огромное значение для применений теориивероятностей в естествознании и технике. Ее действие проявляется там, гденаблюдаемый процесс подвержен влиянию большого числа независимых случайныхфакторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение процесса.Наблюдатель, следящий за состоянием процесса в целом, наблюдает лишь суммарноедействие этих факторов. Эта схема поясняет также исключительное место, котороенормальное распределение занимает среди других вероятностных распределений.
Случайные величины
Случайнойодномерной величиной, или просто случайной величиной, называют любую числовуюфункцию, определенную на пространстве элементарных событий .
Пример.Рассмотрим пространство элементарных событий, которое получается в результатенезависимых бросаний двух монет. В этом примере пространство элементарныхсобытий состоит из четырех элементарных событий, которым сопоставляетсявероятность 1/4. Определим теперь на этом пространстве случайную величину, равнуючислу гербов, появившихся при бросании двух монет. Очевидно, что значенияслучайной величины есть 0, 1, 2, и случайная величина принимает эти значения свероятностями 0, 25, 0, 5, 0, 25, соответственно.
Таккак случайная одномерная величина /> представляет собой числовуюфункцию на пространстве элементарных событии, то любая числовая функция /> от случайнойвеличины в соответствии с определением также является случайной величиной.
Функцияраспределения вероятностей случайной величины
Определение.Функцией распределения вероятностей, или просто функцией распределения (иногдаприменяют термин кумулятивная функция распределения) случайной величины />, называетсяфункция F(х), равная для любого значения x вероятности события:
P(ξ
Изопределения легко вывести свойства функции распределения:
/>
Нарис. 1 приведен график функции распределения вероятностей случайной величины изпримера.
/>
Рис.1. Функция распределения F(x) случайной величины из первого примера.
Случайныедискретные величины
Различаютсядва типа случайных величин: дискретные, принимающие конечное или счетное числозначений, и непрерывные, принимающие все значения на некотором непрерывномпромежутке числовой оси.
Определение.Случайной дискретной величиной /> называется случайная величина, принимающаяконечное или счетное множество значений х0, х1, x2,… .
Обозначиммножество всех возможных значений, которые принимает дискретная случайнаявеличина />,через x0, х1, х2, ..., а вероятности, с которыми /> принимает эти значения, — черезр0, р1, р2,…. Тогда Σpi = 1.
Распределениеслучайной дискретной величины будет полностью описано, если указать для любогоi вероятность рi того, что случайная величина принимает значение xi, т.е. />Функцияраспределения F(x) дискретной случайной величины /> при этом оказывается равной
/>
Такимобразом, F(x) — ступенчатая функция, равная постоянной на любом интервале, несодержащем точек xi, и имеющая в каждой точке xi скачок вверх на величину pi.
Такимобразом, чтобы задать дискретную случайную величину />, достаточно описать множествовсех возможных значений случайной величины x0, х1, х2, ..., а также указатьчисла рi такие, что
/>
Наиболеераспространенными формами представления дискретных случайных величин являютсятабличная
/>
играфическая (рис. 2-5), отображающие зависимость pi(xi)=p(ξ=xi)вероятности рi от возможного значения случайной величины xi. Функция pi(xi), выражающаяэту зависимость, называется распределением вероятностей дискретной случайнойвеличины.
Наиболееизвестными примерами дискретных случайных величин являются: случайная величина,распределенная по дискретному равномерному закону, биномиального распределеннаяслучайная величина, случайная величина, распределенная по закону Бернулли, случайнаявеличина, распределенная по закону Пуассона.
/>
Рис.2.Распределение вероятностей дискретной
случайнойвеличины.
Случайнаявеличина, принимающая n (n>1) значений х1, х2, ..., xn с вероятностямирi=1/n, называется случайной величиной, распределенной по дискретномуравномерному закону. На рис.3 рассматриваемая случайная величина (для n=6)представлена в графической форме. Случайная величина, распределенная подискретному равномерному закону, является моделью событий с равновероятнымиисходами (см. пример с бросанием игральной кости).
/>
Рис.3.Распределение вероятностей дискретного равномерного распределения (n=6).
Случайнаявеличина, принимающая два значения: 0 и 1 с вероятностями q=1-р и р, соответственно(0
Случайнаявеличина />,принимающая n+1 значение 0, 1, 2, ..., n, с вероятностями
/>
гдеi=0, 1, 2, ..., n, q=1-р, 0
/>
Рис.4.Распределение вероятностей биномиально
распределеннойслучайной величины для n=10 и p=0.2.
Заметимтакже, что случайная величина, распределенная по закону Бернулли, являетсячастным случаем биномиальной случайной величины для n=1.
Случайнаявеличина, принимающая счетное множество значений 0, 1, 2, ..., с вероятностями
/>
гдеi=0, 1, …, λ>0 называется случайной величиной, распределенной по законуПуассона. Величина λ /> называется параметромраспределения Пуассона.
Нарис. 5 случайная величина, распределенная по закону Пуассона, представлена вграфической форме. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, служитмоделью эксперимента, связанного с определением численности бактерий в единицеобъема, или численности животных на единицу площади, и других подобныхэкспериментов.
/>
Рис.5. Распределение вероятностей Пуассоновской случайной величины с λ=5.
РаспределениеПуассона иногда называют «распределением вероятностей редких событий»поскольку оно хорошо описывает ситуацию случайно и независимо друг от другапоявляющихся событий в течение заданного периода времени (регистрациирадиоактивных частиц в счетчике Гейгера, телефонные звонки, появлениепосетителей в малопосещаемом магазине и т.п.). Существенна именно независимостьсобытий, а их «редкость» требуется лишь для того, чтобы можно былопренебречь вероятностью одновременного появления двух событий. Если параметр /> относится кединице времени, то периоду времени длительностью t будет соответствоватьпуассоновское распределение с параметром />. Соответственно, вероятность того,что в течение периода t не произойдет ни одного события равна
/>
Если,например, появление события влечет гибель организма, то можно/>интерпретировать каквероятность того, что организм доживет до возраста t. Параметр λ /> в этом случаеназывают интенсивностью смертности, или просто смертностью. Из приведенной формулывидно, что чем больше λ />, тем меньше вероятность дожить дозаданного возраста t и, конечно, чем больше этот заданный возраст, тем меньшевероятность до него дожить (типичный пример — время жизни стакана в столовой).
Непрерывныеслучайные величины.
Определение1. Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределенияF(x) непрерывна.
/>
т.ефункция распределения есть некоторый интеграл.
Определение2.Функция f(x) называется плотностью распределения непрерывной случайнойвеличины.
f(x)обладает свойствами:
f(x)≥0;
/>
/>
Определение3.Еслифункция распределения имеет производную, то производная называется плотностьюраспределения.
Определение3.Случайнаявеличина называется непрерывной, если для неё определена функция f(x), обладающаясвойствами 1-3 и связанная с функцией распределения формулой
/>
(1)
Основныенепрерывные распределения
Определение.Случайная величина ξ называется равномерно распределено в интервале (a, b),если её плотность распределения постоянная, т.е. f(x) = с.
Из3 – го свойства плотности имеем:
/>
Итак,
/>
Изобразимграфик плотности распределении.
/>
(Рис.1.)Графикфункции плотности распределения
Функцияраспределения согласно (1) и учитывая свойства будет:
/>
Изобразимграфик функции распределения.
/>
Нормальноераспределение
Нормальноераспределение – это наиболее важное распределение, которое встречается в почтии везде.
Любаяслучайная величина, которая формируется, как результат суммарного воздействиямногих других случайных величин каждое из которых вносит вклад распределенанормально.
Определение.Говорят, что ξ имеет нормальное распределение с параметрами а и σ, гдеа Î R, σ > 0, и пишутξ Î N(а, σ) если ξимеет следующую плотность распределения:
/>для любого x Î R.
Функциюраспределения этого закона можно записать лишь в таком виде: />
/>
ЗАКОНБОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Законбольших чисел Чебышева. Имеет место, следующее утверждение. Пусть />последовательностьпопарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупностидисперсии, т.е. />для любого i. Тогда, каково бынибыло, ε>0 справедливо соотношение
/>
Доказательство:
Обозначимчерез />величину/>, т.е.среднюю арифметическую n случайных величин. Случайная величина />имеет математическоеожидание
/>
идисперсию
/>
(здесьмы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя кслучайной величине />вторую лемму Чебышева, найдем, что
/>
т.е.
/>
таккак />прилюбом i, и следовательно,
/>
Учитывая,что вероятность любого события не превосходит единицы, получим
/>
Переходяк пределу при />, имеем
/>
Смыслзакона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельнаяслучайная величина может принимать значения, очень далекие от своегоматематического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайныхвеличин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, малоотличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.
НеравенствоЧебышева.
Пустьξ случайная величина с Mξ и Дξ. Тогда для этой случайнойвеличины выполняется неравенство
/> - НеравенствоЧебышева.
Другимвидом неравенства Чебышева является
/>
Вкачестве ε берем 3σ = 3/>. Получаем: /> - правило “Трех Сигм”. />
Центральнаяпредельная теорема
/>/>/>Центральная ПредельнаяТеорема: Пусть/> последовательность независимых, одинаковораспределенных с.в. с конечной дисперсией. Обозначим и /> . Тогда
/>
где/>--функция/> распределения стандартного нормального закона.
Замечание1. Обозначим />. Тогда />, />. Следовательно, утверждение ЦПТможет быть записано в виде
/>
ЦПТимеет огромное значение для применений теории вероятностей в естествознании итехнике. Ее действие проявляется там, где наблюдаемый процесс подвержен влияниюбольшого числа независимых случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожномало изменяет течение процесса. Наблюдатель, следящий за состоянием процесса вцелом, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Эта схема поясняеттакже исключительное место, которое нормальное распределение занимает средидругих вероятностных распределений.
Моделированиеслучайных величин
Определение.Получение значений случайной величины заданными законами распределенияназывается моделированием случайной величины.
Стандартныйметод моделирования дискретной случайной величины.
Допустимимеется дискретная случайная величина заданная таблицей :ξ X1 X2 ... Xm … /> P1 P2 … Pm …
Σpi= 1;
Стандартныйметод моделирования такой случайной дискретной величины основан на следующемсоотношении:
/>
(*)
гдеα равномерная на [0, 1] случайная величина. Pm соответствует хm.На этом иосновывается стандартный метод. Из соотношения (*) вытекает следующий простойалгоритм моделирования дискретной случайной величины, который называетсястандартным алгоритмом.
Беремслучайную величину α, равномерную в [0, 1], например, с помощьюстандартной процедуры Random.
Надоопределить промежуток или интервал в который попадает случайная величинаα.Пусть номер этого промежутка или интервала равно m. Если этот номерравно m, то ξ пнимет значение хm
m=0, s=0;
α=random;
m=m+1; s=s+pm
Еслиα
Иначена (с)
x=xm
МетодМонте-Карло для вычисления определенных интегралов
МетодМонте-Карло занимает особое положение среди методов вычисления определенныхинтегралов по двум причинам. Во-первых, это единственный метод, позволяющийвычислять интегралы высокой кратности. И во-вторых, это метод, который даетлишь вероятностные гарантии степени точности вычисления интегралов.
МетодМонте-Карло — это статистический метод, его используют при вычислении сложныхинтегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделированииповедения элементарных частиц, в теориях передачи информации и массовогообслуживания, при исследовании сложных систем (экономических, биологических ит. д.).
Сущностьметода состоит в том, что в решаемую задачу вводят случайную величину ξ, изменяющуюсяпо какому-то закону p(ξ). Как правило, случайную величину выбирают такимобразом, чтобы искомая в задаче величина />стала математическиможиданием от случайной величины.
/>
Такимобразом мы определяем искомую величину лишь теоретически. А вот чтобы найти еечисленно, пользуются статистическими методами: берут выборку случайной величиныξ объемом />элементов. В результатеполучают />вариант случайной величины ξi, для которых вычисляют их среднееарифметическое (выборочное среднее)
/>
котороеи принимают в качестве приближенного значения (оценки) искомой величины />:
/>
Дляполучения результата приемлемой точности по методу Монте-Карло требуетсябольшое число статистических испытаний. Именно поэтому этот метод иногда так иназывают: метод статистических испытаний.
Теорияметода Монте-Карло изучает способы выбора случайных величин ξ для решенияразличных задач, а также способы уменьшения дисперсии используемых случайныхвеличин. Уменьшение дисперсии играет большую роль, поскольку при равных объемахвыборок, выборка с меньшей дисперсией имеет меньшую погрешность.
Итак,для вычисления однократного интеграла методом Монте-Карло может быть примененаформула
/>/> (а)
гдеxi равномерно распределенное на интервале [a, b] случайное число. Справедливаследующая оценка точности вычисления интеграла по формуле (а) с вероятностьюp=1-η выполняется неравенство
/>
Например,если положить p=99%, тогда η = 0.01 и можно утверждать, что с вероятностью99% справедливо неравенство
/>
где
/>
Все,что нужно для вычисления интегральной суммы по формуле (1) — это научитьсяполучать случайные числа, равномерно распределенные на интервале [a, b]. Дляэтой цели можно использовать генератор случайных чисел, входящий в составстандартных библиотек, поставляемых с компилятором. С помощью функции randomлегко получить случайное вещественное число, равномерно распределенное наинтервале [0, 1] — например, результатом выполнения оператора x=random являетсяслучайное вещественное число из интервала [0, 1]. Имея случайное вещественноечисло из интервала [0, 1] легко получить случайное число из любого интервала.Например, если z — случайное число из интервала [0, 1], тогда x=a+(b-a)*z — случайноечисло из интервала [a, b].
Каквидно из приведенных выше оценок погрешности формулы (а) точность вычисленияинтеграла и в методе Монте-Карло определяется числом слагаемых N в интегральнойсумме — чем больше слагаемых, тем точнее результат. Ниже приведен пример ипрограмма, вычисляющая определенный интеграл методом Монте-Карло.
МетодМонте-Карло легко обобщается на интегралы произвольной кратности. Например, двукратныйинтеграл может быть вычислен по формуле
/>
гдеxi, yi — случайные числа, равномерно распределенные на интервалах [a, b] и [c, d]соответственно. Оценка точности вычисления интеграла по формуле (b) совершенноаналогично приведенной выше для случая однократного интеграла и поэтому здесьне приводится.
Пример№1: Вычислить определенный интеграл I = />
Решение.
/>
/> = />.
Точноезначение интеграла I=/>, ниже приведены результатыпрограммы.
/>
Листингпрограммы приведен в приложении №1. Программа называется MonteKarlo.
Пример№2: Вычислить определенный интеграл I = />
Решение.
/>
Точноезначение интеграла I=/>, ниже приведены результатыпрограммы.
/>
Листингпрограммы приведен в приложении №2. Программа называется MonteKarlo1.
Приложение№1.
Программавычисления одномерного определенного интеграла методом Монте-Карло.
program MonteKarlo;
uses crt;
Label l1, l2;
var
j1, j, a, b, c, n1, k, n:integer;
I, Y, x:real;
Begin
randomize;
clrscr;
writeln('Vvod znachenii');
write('a = ');
Read(a);
write('b = ');
Read(b);
write('n = ');
Read(n);
writeln('--------------------------------');
writeln('| k | integral | vsego ispitani|');
for j:=1 to 9 do
begin
I:=0;
for j1:=1 to n do
begin
x:=a+(b-a)*random;
I:=I+x*x+5*x;
end;
I:=I*(b-a)/n;
writeln('--------------------------------');
writeln('| ', j, ' | ', i:2:6, ' | ', n, ' |');
{writeln(' Integral = ', i:6:7, ' vsego ispitani = ', n, ' popalopod function = ', n1);}
end;
writeln('--------------------------------');
readkey;
end.
Приложение№2.
Программавычисления многомерного определенного интеграла методом Монте-Карло.
program MonteKarlo2;
uses crt;
Label l1, l2;
var
j1, j, d, a, b, c, n1, k, n:integer;
I, Y, x:real;
Begin
randomize;
clrscr;
writeln('Vvod znachenii');
write('a = ');Read(a);
write('b = ');Read(b);
write('c = ');Read(c);
write('d = ');Read(d);
write('n = ');Read(n);
writeln('--------------------------------');
writeln('| k | integral | vsego ispitani|');
for j:=1 to 9 do
begin
I:=0;
for j1:=1 to n do
begin
x:=a+(b-a)*random;
y:=c+(d-c)*random;
I:=I+sqr(x)+sqr(y)*y;
end;
I:=I*(b-a)*(d-c)/n;
writeln('--------------------------------');
writeln('| ', j, ' | ', i:2:6, ' | ', n, ' |');
{writeln(' Integral = ', i:6:7, ' vsego ispitani = ', n, ' popalopod function = ', n1);}
end;
writeln('--------------------------------');
readkey;
end.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта referat.ru/