Заданиеномер интервала границы интервалов t частота m свыше до(включительно) 1 57,997 57,999 2 2 57,999 58,001 2 3 58,001 58,003 8 4 58,003 58,005 25 5 58,005 58,007 33 6 58,007 58,009 50 7 58,009 58,011 65 8 58,011 58,013 71 9 58,013 58,015 32 10 58,015 58,017 37 11 58,017 58,019 26 12 58,019 58,021 6 13 58,021 58,023 3
1. Определение теоретической функции плотности распределения.Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений
плотность распределение доверительныйматематический ожидание
При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значениярезультатов измерений (середины интервалов xi),по оси ординат – частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.
Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместоматематического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки–соответственно эмпирическое среднее /> и эмпирическую дисперсию S2, характеризующие средний результат измерений истепень разброса измерений. /> и S2определяются из выражений:
/>
Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервалможно определить, используя значения функции:
/>,
где />.
Тогда вероятность попадания результата в i-йинтервал величиной h
/>.
Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатовпостроим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигонэмпирического распределения:/>
Середина интервала xi
Эмпирич. частости P’i
mixi
xi-/>
zi
mixi2
φi(z)
Pi /> /> 57,998 0,006 115,996 -0,01285 2,874965 6727,536 0,006399 0,002863 /> 58 0,006 116 -0,01085 2,4275 6728 0,020956 0,009377 /> 58,002 0,022 464,016 -0,00885 1,980034 26913,86 0,056179 0,025138 /> 58,004 0,069 1450,1 -0,00685 1,532569 84111,6 0,123277 0,055162 /> 58,006 0,092 1914,198 -0,00485 1,085103 111035 0,221427 0,099081 /> 58,008 0,139 2900,4 -0,00285 0,637638 168246,4 0,325553 0,145674 /> 58,01 0,181 3770,65 -0,00085 0,190173 218735,4 0,391793 0,175314 /> 58,012 0,197 4118,852 0,00115 0,257293 238942,8 0,385954 0,172701 /> 58,014 0,089 1856,448 0,00315 0,704758 107700 0,311212 0,139257 /> 58,016 0,103 2146,592 0,00515 1,152223 124536,7 0,20541 0,091914 /> 58,018 0,072 1508,468 0,00715 1,599689 87518,3 0,110976 0,049658 /> 58,02 0,017 348,12 0,00915 2,047154 20197,92 0,049077 0,02196 /> 58,022 0,008 174,066 0,01115 2,494619 10099,66 0,017765 0,007949 Сумма /> /> 20883,91 /> /> 1211493 /> />
/>= 58,01085
S2= 1,99775E-05 S= 0,00446962
/>
2. Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений
Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется стеоретическим, если (1 — g)больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические итеоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральнойфункции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:
/>,
где N – объем выборки.
Вычисление эмпирических F’iи теоретических Fi значений интегральнойфункции производим путем последовательного суммирования соответственно значенийP’i и Pi. Результаты вычислений сведены в таблицу:Номер интервала
Pi
P’i
Fi
F’i Fi-Fi' 1 0,002863 0,005556 0,002863 0,005556 0,002692 2 0,009377 0,005556 0,01224 0,011111 -0,00113 3 0,025138 0,022222 0,037379 0,033333 -0,00405 4 0,055162 0,069444 0,092541 0,102778 0,010237 5 0,099081 0,091667 0,191622 0,194444 0,002823 6 0,145674 0,138889 0,337295 0,333333 -0,00396 7 0,175314 0,180556 0,512609 0,513889 0,00128 8 0,172701 0,197222 0,68531 0,711111 0,025801 9 0,139257 0,088889 0,824566 0,8 -0,02457 10 0,091914 0,102778 0,91648 0,902778 -0,0137 11 0,049658 0,072222 0,966138 0,975 0,008862 12 0,02196 0,016667 0,988098 0,991667 0,003568 13 0,007949 0,008333 0,996048 1 0,003952
DN= F'8 –F 8= 0,025801,
N=åmi=360,
Тогда получаем:
λ= 0,48953
Для lN=0,52 g» 0,05 Þ (1 – 0,05)=0,95>0,1.
Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальнымтеоретическим можно считать хорошим.
3. Определение доверительных интервалов
В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не тольконайти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определитьдоверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находитьсятеоретическое значение параметра.
Доверительный интервал для математического ожидания определяем извыражения:
интегральный доверительный интервалматематический ожидание
/>
Значения tγ табулированы иравняется tγ = 2,18 для N=13 и γ*=0,95.
58,00814756
Доверительный интервал для среднегоквадратического отклонения определяем из выражения:
/>
Значения χ12, χ22табулированы и определяется в зависимости от числа измерений Nи односторонних вероятностей γ1, γ2:
/>
Значение χ12 определяем при вероятности (1- γ1), χ22 – при γ2.
χ12=24,1 χ22=4,18
И тогда0,003024897 4. Определение диапазона рассеиваниязначений
Определение границ диапазона рассеиваниязначений по результатам измерений, при вероятности риска0,0027 .
М »/>=58,01085
/>»S=0,00446962
М-3/>»57.997442
М+3/>»58.024258
Определение границ диапазона рассеиваниязначений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001
М±/>σ
/>
/>
/>=0,4995 приэтом/>=3,29 (по справочнику)
М-3,29/>=57,996146
М+3,29/>=58,025554
Список использованнойлитературы
1. Зябрева Н.Н. и др.Пособие к решению задач по курсу «Взаимозаменяемость, стандартизация итехнические измерения». Учеб. Пособие для вузов. М., «Высш. школа»,1977.