В.А.Кузнецова
Посколькупрофессиональная деятельность педагога в основном осуществляется через общение,постольку формирование коммуникативной культуры будущего учителя должноявляться одной из важных задач в педагогическом вузе. От уровня коммуникативнойкультуры зависит возможность человека адаптироваться на работе, в обществе;способность уменьшить влияние отрицательных факторов на его эмоциональноесостояние, самосознание. Часто коммуникативная культура усваивается через методпроб и ошибок. Необходимо разрабатывать средства развития коммуникативнойкультуры, и в частности владения речью, в учебном процессе. Коммуникативнаякультура проявляется через социально-психологические коммуникативные умения,через логико-композиционные информационные коммуникативные умения, определяющиекультуру мышления, и речевые коммуникативные умения, определяющие культуруречи. Компоненты взаимно влияют друг на друга и границы между ними достаточнопрозрачны.
Свободноевладение речью — это важнейший компонент коммуникативной культуры учителя, наформирование которой не уделяют должного внимания при подготовке учителяматематики. Речь для учителя — инструмент, средство, которым он воздействует насвоих учеников. «Для учителя низкий уровень коммуникативности разрушаетсреду профессиональной деятельности, создаёт барьеры, препятствующиевзаимодействию со школьниками» [1].
Учителюматематики необходимо владеть точной, чётко сформулированной, и если потребуютобстоятельства — образной речью. Он должен логично излагать свои мысли, понятьмысль школьников, их доводы, суметь убеждать учеников и быстро найти нужныеаргументы. Применительно к проблемам подготовки будущего учителя математики,остановимся на рассмотрении двух упомянутых видов умений: логико-информационныхи речевых.
Клогико-информационным можно отнести следующие умения:
вычленитьв информации главное,
сформулироватьзадачу,
наметитьобщую стратегию и логику доказательства или решения задачи,
представитьпоследовательность изложения информации (по возможности, различнымисредствами),
обозначитьсмысловые ударения и логические акценты,
создатьустный или письменный текст с учётом особенностей восприятия адресата.
Вопросытехнологии формирования указанных умений будут рассмотрены ниже.
Речевыекоммуникативные умения — это умения: точно и не затрудненно излагать материал,опираясь на большой словарный запас и знания в области предметного поля;владеть логикой и синтаксисом языка, правильно использовать необходимыестилистические обороты и словосочетания; различать особенности устной и письменнойречи; находить и реализовывать адекватную форму изложения материала, включаяобразность и выразительность речи, интонацию и силу необходимого звучания.
Речевыекоммуникативные умения формируются как стихийно в процессе практическогоосвоения языка, так и целенаправленно в процессе изучения школьного курсаграмматики и работы по овладению конкретными речевыми коммуникативнымиумениями. Необходимо заметить, что речевые коммуникативные умения формируются ив высшей школе. Например, в процессе написания рефератов, курсовых и дипломныхработ развиваются умения письменного изложения материала и создания грамотных,понятных текстов.
Составнойчастью коммуникативной культуры является профессиональная культура, включающаяв себя, в частности, профессиональную речевую культуру и профессиональнуюкультуру мышления. Выделение профессиональной культуры как свойства некоторойсовокупности людей возникло в результате обособления видов профессиональнойдеятельности, когда та или иная профессия требует овладения определённымизнаниями, навыками, умениями, отличными от необходимых для других профессий.Применительно к педагогической деятельности можно сказать, что учитель — этопрофессия (род трудовой деятельности), а математик, историк и т.д. — этоспециальность (вид занятий в рамках одной профессии, в данном случаеопределяемый предметной областью преподавания). Поэтому профессиональнаякультура педагога характеризуется степенью овладения приёмами и способамирешения педагогических задач, начиная от проблем общения, воспитания и кончаязадачами методики преподавания конкретного предмета. В контексте данной работыпод профессиональными логико-информационными и речевыми коммуникативнымиумениями понимаем умения соответствующего вида, необходимые для успешногопреподавания математических дисциплин и проявляющиеся в этом процессе.Разумеется, понятие профессиональной культуры речи учителя шире только чтоприведённой интерпретации профессиональных умений. Однако в дальнейшем мы будемиметь в виду только лишь указанный нами аспект. Упомянутые выше конкретныелогико-информационные и речевые умения были сформулированы, как было указано, восновном применительно к деятельности преподавателя математики, то естьпредставлены через призму профессиональных умений.
Обычнов вузе при подготовке преподавателя среди основных целевых задач отсутствуетцель развития профессиональных речевых коммуникативных умений. По умолчаниюпредполагается, что их развитие осуществляется стихийно через метод проб иошибок в процессе изучения вузовских специальных, общеобразовательных игуманитарных дисциплин. Такой подход во многом связан с тем, чтопрофессионально-педагогическая культура речи как способность к осуществлениюдеятельности преподавателя в основном определяется уровнем общей культуры изнаниями в области самой математики. Поэтому распространено мнение, чтодостаточно хорошо знать конкретную научную область, чтобы уметь хорошопреподавать. В то же время многолетний опыт автора данной работы по руководствупедагогической практикой студентов университета и специальные исследованиядругих авторов [2] показывают, что молодой учитель, достаточно хорошоподготовленный в области математики, испытывает затруднения в последовательномизложении материала, в осмыслении понятий необходимого и достаточного условийи, в связи с этим, в построении правильной речи. Часто возникают затруднения споиском доступных форм передачи смысла сформулированных теорем и т.д.
Языкповседневного общения (естественный язык) не всегда бывает точен, иногдадопускает какие-то недосказанности, умолчания, которые, в принципе, вызываютзатруднения в осмыслении получаемой студентом информации. Использованиеискусственного языка, в роли которого могут выступать математическиеобозначения, символика математической логики или графические иллюстрации,помогает избежать многие ошибки. Например, утверждение: “Корни уравнения
/>
являютсякорнями уравнения
/>,
вдействительности, предполагает наличие не одной, а трёх возможных истинныхситуаций:
первоеуравнение имеет корни и они являются корнями второго уравнения;
первоеуравнение не имеет корней, а второе уравнение имеет корни;
первоеи второе уравнения не имеют корней.
Всущности, формулировка почти всякой теоремы, обратное утверждение к которой неявляется теоремой, в вербальном представлении несёт элемент«недосказанности», допускающий разные исходы. Примеры:
Всякаябесконечно малая последовательность является ограниченной.
Всякаясходящаяся последовательность является ограниченной.
Лучшемупрояснению подобных ситуаций может способствовать схематическое изображениенеявно сформулированной в рассматриваемых примерах конструкции импликации(схема 1):
/>
Длятеорем, имеющих обратные, возможны ситуации 1 и 3, а для теорем, не имеющихобратных, возможны все три ситуации.
Логическаясимволика освобождает информацию от непосредственного чувственного познания исоздаёт обобщенные формы представлений при изучении математики. Действительно,последние два рассмотренных примера и такие теоремы как: любая дифференцируемаяв данной точке функция непрерывна в этой точке, вертикальные углы равны и т.д.,выражаются одной и той же логической конструкцией: />, в отличие от теорем вида: />&/>. К последнимотносятся, например, теорема Пифагора, теоремы о пересечении двух прямыхтретьей, теорема Дезарга о перспективных треугольниках и т.д. Так называемые«теоремы существования» в сущности, выражаются теми же указаннымилогическими конструкциями. Действительно, предикаты />и />могут не быть элементарными.Например, если />имеет вид: />, то получаем формулировку теоремысуществования. К теоремам существования вида />относится, например, следующая: извсякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Используемыев искусственном языке символы составляют аппарат знаковых систем (терминологияС.И. Архангельского [3]). Необходимым является не только наличие у студентовнавыка применения символических знаков, но и их использование как инструментапознания на уровне автоматизма. Например, процедура нахождения корнейхарактеристического уравнения при решении систем линейных дифференциальныхуравнений проводится на основе автоматизированных навыков, без воспроизведенияобоснований проводимых действий. Об автоматизированных навыках прииспользовании знаковых систем С.И. Архангельский пишет: «Характернымпризнаком развития автоматизированных навыков в применении аппарата знаковыхсистем, так же как и других навыков, приобретаемых в процессе обучения,является их девербализация, т.е. уменьшение непосредственного обращения ковторой сигнальной системе, к речевому выражению. В то же время при всякомобучении, и особенно при обучении в высшей школе, весьма важно сочетание ипараллельное развитие автоматизации навыков в применении знаковых систем,осмысливании и сознательная оценка существа явлений, заключенных всоответствующие формулы, правила, графики и другие выражения» [3, c.209].
Рассмотримлогико-информационные умения. Умению вычленить в информации самое главное можноучить студентов с начала первого курса. В роли главного в разных ситуацияхмогут выступать различные объекты: части текста; набор нескольких теорем илиодна какая-то ведущая теорема раздела; основные понятия и идеи той или иной теориии даже отдельные слова. Например, при изучении основных теорем о счётныхмножествах необходимо обратить внимание на то, почему в отдельных теоремах заисходные берутся бесконечные множества, а в других — несчётные. Так,присоединяя к бесконечному множеству конечное или счётное, получим множество,эквивалентное исходному; а в теореме об удалении конечного или счётногомножества в качестве исходного надо брать уже несчётное множество. Студентысами должны привести пример, показывающий роль слова «несчётное» вовторой теореме. Их рассуждение в простейшем случае может выглядеть следующимобразом: удалим из множества чисел натурального ряда все числа, начиная снекоторого />-го,т.е. из бесконечного множества удалим счётное вида />, где />. Останется конечное множество из />элементов. Такимобразом, при некоторых удалениях из бесконечного счётного множества получаеммножество, не эквивалентное исходному. Здесь попутно студенты самиобнаруживают, что при удалении конечного множества из любого бесконечногополучается множество, эквивалентное исходному.
Другойпример. Пусть решается следующая задача:
/> — выпуклыйчетырёхугольник, />и /> — середины сторон />и />, соответственно.Доказать, что />.
/>
Рисунок1.
Приеё решении выясняется, что выпуклость является лишним требованием ичетырёхугольник может не быть выпуклым, а например таким, как на рисунках 2 или3:
/>
Рисунок2
/>
Рисунок3
Построивна рисунках 2 и 3 отрезки />и />, получим новые выпуклыечетырёхугольники />и />, и, переобозначив вершинычетырёхугольников в естественном порядке, будем иметь две новые задачи а) и б):
а)Доказать, что вектор />отрезка, соединяющегосоответственно середины диагоналей />и />четырёхугольника />, равен полусумме пар векторовсторон:
/>
б)Вектор />среднейлинии четырёхугольника />, где />, />, равен полусумме векторов />и />, определяющих егодиагонали.
Далееможно заметить, что точки />, вообще, могут не принадлежатьодной плоскости. Следовательно, имеем новую задачу: /> — вершины тетраэдра, />и /> — серединыпротивоположных рёбер />и />, соответственно. Доказать, что />. />как отрезок,соединяющий середины противоположных рёбер, вызывает естественные ассоциации сосредней линией треугольника и, действительно, устремив точку />по ребру />к точке />, получим, что />превратится всреднюю линию треугольника />и как частный случай предлагаемойзадачи получаем теорему о средней линии треугольника. Так, обратив внимание нароль одного слова «выпуклость», приходим к нескольким новым задачам.Вычленение главного в теме можно проводить на заключительном занятии по ней врамках подведения итогов, которое может осуществляться в форме коллективноймыследеятельности и, частично, проблемно-научного диалога преподавателя саудиторией.
Приизучении теорем и решении задач можно говорить о трёх аспектах представления ихдоказательства или решения:
логико-символическом- запись теоремы (или задачи) и хода её доказательства (или решения) сиспользованием символики математической логики;
вербальном(речевом) — инструментом выражения является язык повседневного общения — естественный язык;
графическом- иллюстрация хода доказательства с помощью графов, блок-схем, различныхрисунков.
Системыграфических построений позволяют легче и точнее установить логические отношениямежду отдельными частями теоремы. Заметим, что вербально-логическоепредставление доказательства теорем является необходимым выражениемпредставления доказательства любой теоремы. Вербальное представление вкомбинации с искусственными языками обеспечивают аналитико-синтетическую работумозга. Они помогают вычленить главную часть в теореме, определитьпоследовательность, записав ход доказательства в виде блок-схемы, установитьвсе логические связи и т.д., определить единообразную конструкцию, формудоказательства. Однако логическая и графическая символики в процессе обученияиграют вспомогательную инструментальную роль по отношению к мыслительнойдеятельности студента.
Рассмотримв качестве конкретного примера теорему Кантора:
Пусть/>и /> — два непустыхмножества и множество />содержит по крайней мере, дваэлемента. Тогда мощность множества всевозможных отображений множества />во множество />больше мощностимножества />.
Вербальноепредставление её доказательства можно сопроводить краткой записью этапов сиспользованием математической символики ( своего рода опорными сигналами),условной геометрической иллюстрацией, и наконец, блок-схемой доказательства.Три указанные вспомогательные сопровождения могут иметь следующий вид:
I.
1.
/>
2.Предположим:
/>
II.
/>
/>
/>
III.Блок-схема доказательства:
/>
Подобныелогические и графические иллюстрации помогают не только видеть общую стратегиюдоказательства, но и представить последовательность изложения с обозначениемосновных логических акцентов. Следует заметить, что, в силу различияиндивидуальных особенностей восприятия студенты, по разному реагируют насимвольно-графические сопровождения, однако, опыт показывает, что принеобходимости воспроизведения доказательства геометрическая иллюстрацияиспользуется подавляющим большинством студентов.
Геометрическаяиллюстрация особенно важна при изучении геометрических дисциплин. Например,решение даже простых задач по аналитической геометрии в />[1] лучше сопровождатьсхематическими рисунками, что способствует развитию пространственноговоображения, выработке умения нахождения общей стратегии решения задачи и, вцелом, формированию логико-информационных умений.
Ксожалению, имеющееся в математическом образовании стремление к формированиюцелостного мышления, умения воспринимать информацию в свёрнутом виде, к изучениюматериала с общих позиций, с высокой степенью абстракции, привело кпредпочтительному использованию аналитических и алгебраических подходов, безобращения к геометрическим представлениям. Без должной глубины проработки исоответствующих методик такие подходы ведут к формальному усвоению информации,неумению даже в простейших ситуациях применить соответствующие математическиеметоды и факты. О роли геометрии и её иллюстраций А.Д. Александров писал:«Особенность геометрии, выделяющая её не только среди остальных частейматематики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самаястрогая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущностии есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором онивзаимно организуют и направляют друг друга» [4]. Недостаточное внимание киспользованию геометрических образов приводит к тому, что студент часто поискрешения задачи начинает с механического отыскания подходящих формул, уравнений,а отнюдь не с геометрического осмысления условий задачи. В конечном итоге прирешении геометрических задач, где, как правило, отсутствуют какие-либо готовыеалгоритмы, он, не найдя подходящей формулы, просто перестаёт думать.
Удобствоиспользования алгоритмов — точных предписаний, определяющих последовательностьшагов, ведущих от исходных данных к искомому результату, порождает желаниеприменять их как можно шире. Чаще всего применяются так называемыевычислительные алгоритмы, являющиеся основными объектами численных методов.Среди многих свойств, которыми характеризуется алгоритм, имеется свойствомассовости, обозначающее его применимость к целому классу задач: нахождениепроизведения матриц, матрицы, обратной к данной, решение системы линейныхуравнений по методу Гаусса, нахождение корней квадратного уравнения и т.д…Каждый из этих алгоритмов применим к бесконечному множеству объектовсоответствующего вида. Теория разрешима, если существует алгоритм, позволяющийопределять тождественно-истинные формулы. Математические теории, как правило, заредким исключением (например, исчисление высказываний) не являются разрешимыми.Тогда возникает вопрос о существовании алгоритмов для определённого классаформул или даже для отдельных формул. Последние уже не будут алгоритмами вобычно употребляемом понимании этого термина, хотя несомненно запись ходарешения задачи или доказательства теоремы в виде последовательности чёткообозначенных шагов весьма полезна и способствует развитию каклогико-информационных умений, выражающихся в умении представить последовательностьизложения информации, так и речевых коммуникативных умений, связанных среализацией адекватной формы изложения материала.
Далеконе для всякой теоремы легко построить геометрическую иллюстрациюдоказательства. К подобным относится теорема Кантора — Бернштейна: Если двамножества />и/>таковы, чтомножество />эквивалентнонекоторому подмножеству />/>множества />, а /> — некоторому подмножеству />множества />, то множества />и />эквивалентны.
Длябудущего преподавателя математики логико-информационные умения сформулироватьзадачу, вычлененить в информации главное следует понимать не как способностьмеханического воспроизведения формулировки, а как умения передачи смысла«своими словами», такого понимания формулировки, которое позволяетвидеть конкретное проявление данного математического факта. Применительно ктолько что сформулированной теореме это означает, что студент в состояниипривести пример двух конкретных множеств />и />и их конкретных подмножеств />и />, для которых выполняютсяусловия теоремы.
Впредставленном выше перечислении логико-информационных и речевых умений былиуказаны важнейшие с нашей точки зрения. Однако в [5] в качестве основныхлогико-информационных умений обозначены следующие:
умениеформулировать тезис, подбирать аргументы, строить доказательства, восприниматьих;
располагатьвысказывания, планировать соразмерность частей, их логичность ипоследовательность;
строитьтексты, ориентируясь на тип взаимодействия, его цель, извлекать идеи и смысл.
Вматематических дисциплинах, оставаясь в рамках развития речевых умений,необходимо опираться на возможности, обусловленные особенностями предметногополя, и рассматривать вопросы точного выражения мысли через верно выполняемуюзамену кванторов, корректное построение отрицаний, правильную интерпретациюматериала, его осмысление в конкретизациях, аналогиях и обобщениях.
Список литературы
Основыпедагогического мастерства. Под ред. И.А.Зюзина, М., 1989.
Ю.Л.Львова Как рождается урок. М., 1976.
С.И.Архангельский Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы.М., «Высшая школа», 1980.
АлександровА.Д. О геометрии. //Математика в школе, 1980, N 3, с. 56
В.М.Соколов,Л.Н.Захарова, В.В.Соколова, И.В.Гребнев Проектирование и диагностика качестваподготовки преподавателя. М., 1994.
ЛюбецкийВ.А. Основные понятия школьной математики. М., «Просвещение», 1987,400с.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.yspu.yar.ru