Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Реферат

Реферат по предмету "Математика"


Фактор-группы. Cмежные классы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
Математический факультет
Кафедра алгебры и методикипреподавания математики
Курсовая работа

СОДЕРЖАНИЕ
Ведение
1.Основные определения и теоремы
2.Смежные классы
2.1. Правые и левые смежные классы
2.2 Двойные смежные классы
3. Нормальные подгруппы и фактор-группы
3.1 Нормальные подгруппы
3.2 Фактор-группы
Заключение
Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ
Первый значительныйвклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса оразрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввелпонятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в видеподстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини(1799) и Абеля (1825).
В 1830–1832 годахГалуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы.С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросахсвязанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки,формулировали и доказывали теоремы.
Теория групп – один изцентральных разделов современной алгебры, в настоящее время активноразрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска,Новополоцка, Мозыря.
Понятие группы приобретает в настоящее время всебольшее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений инаряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всейматематики.
Понятие группы не труднее понятия функции; его можноосвоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделатьэто можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этойтеорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современнойматематикой вообще.
Моя цель состоит в том, чтобы разобраться сначальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы,доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Рассмотрим некоторое непустое множество G, на которомопределена бинарная алгебраическая операция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:
1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c ÎG выполняется
a*(b*c)=(a*b)*c;
2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е.для любого a Î Gнайдется такой элемент e, что выполняется
a*e=e*a=a
3) для любого элемента G существует симметричныйэлемент относительно, т.е. для любых a, bÎ G выполняется
a*b=b*a=e;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называетсяподгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a.Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклическойподгруппой, порожденной элементом а, и обозначается áаñ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своихциклических подгрупп, то G называют циклической группой.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аÎG имеет конечный порядок k.
Тогда
áаñ ={e,a, a/>, …, a/>}
Кроме того, а/>= e в точности тогда, когда kделит m.
ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклическойгруппы G = áаñ исчерпываютсяединичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами á а/>ñ для каждого натурального m.
ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группыáаñ порядка nисчерпываются циклическими подгруппами á а/>ñ порядка n/m для каждого натурального m,делящего n.
ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество Hгруппы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда h/>h/>/>Hи h/>/>H.

2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
2.1 Правые и левые смежные классы
Пусть G – группа, H – ее подгруппа и gÎG.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежнымклассом группы G по подгруппе H называется множество Hg= {hg | hÎH}всех элементов группы G вида hg, где h “пробегает” все элементы подгруппы H.
Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hÎH}.
ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H– подгруппа. Тогда справедливы утверждения:
1) H=He;
2) gÎHg для каждого gÎG;
3) если a Î H, то Ha=H; если bÎ Ha, то Hb=Ha;
4) Ha=Hb тогда и толькотогда, когда ab/>ÎH;
5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;
6) если H – конечнаяподгруппа, то | Hg | = | H | для всех gÎG.
Доказательство
Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса
(4) Если Ha = Hb, то ea = hb, hÎHи ab/>= hÎH. Обратно, если ab/>ÎH,то aÎHb и Ha=Hb по утверждению 3.
(5) Пусть Ha Ç Hb ≠Æ и c Î Ha Ç Hb. Тогда c=/>a=/>b иab/>=/>ÎH.Теперь Ha=Hb по утверждению 4).
(6) Для каждого gÎGотображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H |= | Hg |
Ч.т.д.
Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы Gсодержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H.Это свойство позволяет ввести следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называетсяправой трансверсалью подгруппы H в группе G, если T содержит точно одинэлемент из каждого правого смежного класса группы G поподгруппе H.Итак, если T = {/> | aÎI} –правая трансверсаль подгруппы H вгруппе G, то G= />, H/>Æ при />.
Таким образом, справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, то G является подгруппойнепересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.
Если G – конечная группа, то число различныхправых смежных классов по подгруппе H также будетконечно, оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается через |G: H|. Ясно, что индекс подгруппы H вконечной группе G совпадает с числом элементов в правойтрансверсали T подгруппы H,т.е.
|G: H|=|T|=|G|/|H|
ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Если H-подгруппа конечной группы G, то | G | = | H || G: H |. В частности, порядок конечнойгруппы делится на порядок каждой своей подгруппы.
Доказательство.
Пусть индекс H в группе G равен n. По теореме 2.1.1. имеемразложение
G=Hg/>/>Hg/>/>Hg/>, Hg/>Hg/>Æ приi ≠ j.

Так как
| Hg/>|= |H| для всех i, то | G | = | H || G: H |
СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Порядок каждого элемента конечной группы делит порядоквсей группы.
Доказательство
Порядок элемента a совпадает с порядкомциклической подгруппы áаñ, порожденный этимэлементом, см. теорему 1.1. Поэтому, | á аñ | = | a | делит | G |.
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы Hв группе G. Если L={ l/> | aÎ J } – леваятрансверсаль подгруппы H в группе G,то
G=/>l/>H, l/>H Ç l/>H=Æ при />.
Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L подгруппы H, т.е. | G: H |=| L|. Для левой трансверсали справедлив аналог теоремы 2.1.1.Поэтому из теоремыЛагранжа имеем
СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Число левых и число правых смежных классов конечнойгруппы G по подгруппе H совпадают.
ТЕОРЕМА 2.1.3. В группе простого порядканет неотрицательных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.
Доказательство.
Пусть G – конечная группа простого порядка p. Если H – подгруппа группы G, то по теореме Лагранжа | H | делит| G |. Поэтому либо | H |=1 и H – единичная подгруппа, либо | H |= p и H совпадает с группой G. Выберем неединичный элемент а в группе Gи рассмотрим циклическую подгруппу áаñ,порожденную этим элементом. Так как a ≠e, то áаñ ≠ E, поэтому áаñ = Gи G – циклическая группа.
ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H ≤ K ≤G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H вгруппе K, а S – праваятрансверсаль подгруппы K в группе G,то TS – правая трансверсаль подгруппы Hв группе G. В частности, | G: H | = | G: K|| K: H |.
Доказательство
Пусть
T={t/>,… ,t/>}, S={s/>,…, s/>}
Тогда
K=Ht/>/>… />Ht/>, Ht/>Ht/>Æ, i ≠j;
G=Ks/>/>… />Ks/>, Ks/>Ks/>Æ, i ≠j.
Теперь
G =( Ht/>/>… />Ht/>)s/>/>.… /> ( Ht/>/>.… /> Ht/>)s/>. (2.1.1)
Предположим, что Ht/>s/>Ht/>s/> для некоторыхнатуральных a,b,c и d. Тогда
t/>s/>(t/>s/>)/> = t/>s/>s/>t/>ÎH ≤K,
поэтому
s/>s/>Î t/>Kt/> = K, K s/>=Ks/>

Но s/> иs/>– элементыиз правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s/>=s/> и b = d. Теперь
t/>s/>(t/>s/>)/> = t/>t/>ÎH, Ht/>=Ht/>
и a = c.Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы Gпо подгруппе H и TS – праваятрансверсаль подгруппы H в группе G.Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсалиэтой подгруппы, то
|G: H|=| TS |=| T | | S |=| K: H|| G: K |
Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы2.1.4. при H=E.
 
2.3. Двойные смежныеклассы
Пусть H и K – подгруппы группы G и g Î G. Множество
HgK ={hgk | h Î H, k Î K}
называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K
ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогдасправедливы следующие утверждения:
1) Каждый элемент gÎ G содержится в единственном двойномсмежном классе HgK;
2) Два двойных смежных класса по Hи K либо совпадают, либо их пересечение пусто;
3) Группа G есть объединениенепересекающихся двойных смежных классов по подгруппам Hи K;
4) Каждый двойной смежный класс по Hи K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;
5) Если группа G конечна, тодвойной смежный класс HgK содержит
| K: H/>/> K | правых смежных классов по H и | H: H />K/>| левых смежных классов поК.
Доказательство.
(1)Так как каждаяподгруппа содержит единичный элемент, то
g=ege Î HgK
Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxkдля некоторых hÎH, kÎK и
HgK=H(hxk)K=HxK.
(2) и (3) следуют из (1)
(4)Так как
HgK=/> =/>,
то утверждение (4)доказано.
Подсчитаем числоправых смежных классов в разложении HgK=/> по подгруппе H. Допустим, что Hgk/>=Hgk/>. Тогда
Hg k/>k/> = Hg и k/>k/> Î g/>Hg/>K=H/>/>K

Справедливо и обратное, т.е. если k/>k/>Î H/>/>K, то
k/>k/>Î g/>Hg, g k/>k/>ÎHg, g k/>ÎHgk/>
и Hg k/>= Hgk/>. Поэтому, в двойномсмежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе K по подгруппе H/>/>K.
Аналогично,
Hgk=/> и h/>gK=h/>gK
тогда и только тогда,когда h/>h/>ÎH/>K/>. Поэтому, в произведенииHgK левых смежных классов по Kбудет точно столько, каков индекс
|H: H /> />K/>|
 
Произведение подгрупп.При g = eдвойной смежный класс HgK=HK={hk | hÎH, kÎK} превращается в произведение подгрупп H и K. Вобщем случае HK не является подгруппой.
Пример:
Найдем разложениесимметрической группы S/> в левые смежные классы по подгруппе />.
Для этого найдем вселевые смежные классы группы
S/>={Î,(12),(13),(23),(123),(132)} по подгруппе H=/>={Î,(12)}
ÎH = Î{Î, (12)} ={Î, (12)}= H,
(12)H =(12) {Î,(12)} = {(12), Î}= H,
(13)H =(13) {Î,(12)} = {(13), (123)},
(23)H =(23) {Î,(12)} = {(23), (132)},
(123)H =(123){Î,(12)}= {(123),(13)} = (13)H,
(132)H =(132){Î,(12)}= {(132),(23)} = (23)
Искомое разложение принимает вид
S/>=ÎH />(13) H />(23) H.

3. НОРМАЛЬНЫЕПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ
3.1 Нормальныеподгруппы
Подгруппа Hназывается нормальной подгруппой группы G, если xH=Hxдля всех xÎG. Запись H /> Gчитается так: “H – нормальнаяподгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, чтодля любого элемента h/>ÎHсуществует элемент h/>Î H такой, что xh/>= h/>x.
ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерийнормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующиеутверждения эквивалентны:
1) H –нормальная подгруппа группы G;
2) Подгруппа Hвместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. h/>ÎH для всех hÎHи всех xÎG;
3) Подгруппа H совпадает скаждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H/> для всех xÎG.
Доказательство.
Доказательство проведем по схеме (1) /> (2) />(3)/>(4)
(1)/> (2). Пусть H/> G,т.е. xH=Hxдля всех xÎG.Если h — произвольный элемент из H, то hx /> Hx= xH. Поэтому существует элемент h/>/>H такой, что hx = x h/>.Теперь x/>hx = h/>/> H.
(2)/> (3). Пусть выполняютсятребование 2). Тогда H/> = {h/> | h />H} ÍÍH для всех x />G. В частности, Hx/> ÍH, т.е. xHx/>ÍH. Теперь
HÍx/>Hx =H/> и H = H/> для всех x /> G.
(3)/> (1). Если H/>= H для всех x /> G, то x/>Hx = H и Hx = xH для всех x/>G, т.е. H – нормальная подгруппагруппы G.
Ч.т.д.
СЛЕДСТВИЕ3.1.1.
ЕслиH/>G и h />H, то h/>ÍH. Обратно, если h/>ÍH для всех h />H, то H/>G.
Понятие«нормальная подгруппа» можно рассматривать не только по отношению ковсей группе, но и относительно подгрупп. Если H £K £G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x /> K.
Простаягруппа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и самагруппа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нетдругих нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу Eсчитают непростой группой.
ТЕОРЕМА3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка.Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.
3.2Фактор-группы
ПустьH — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через />совокупностьвсех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. />= ={xH | x ÎG}. Положим
(xH)(yH)= xyH. (3.2.1)
Проверим,что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве />. Если xH = x/>H, yH = y/>H для некоторых x/>, y/> ÎG, то x/> = xh, y/> = =yg, h и g ÎH. Поэтому
(x/>H)(y/>H) = x/>y/>H = (xh)(yg)H = xy(y/>hy)gH = xyH,
т.к.y/>hy ÎHпо теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выборапредставителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствиеединственный элемент xyH.
Ясно,что предложенная операция (3.2.1) определена на /> иассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент a/>H — обратным к элементу aH.Таким образом, доказана следующая.
ТЕОРЕМА3.2.1. Совокупность /> = {xH | x ÎG} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией
(xH)(yH)= xyH
образуетгруппу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH)/> = a/>H.
Группа/> называется фактор-группойгруппы G по подгруппе H и обозначается через G/H.
ЕслиH не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задаватьалгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.
Очевидно,что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальнойподгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H вгруппе G, т.е.
|G/H|=| G: H |=| G | / | H |
ЛЕММА3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.
Доказательство.
ПустьG/Z(G) = á gZ(G)ñциклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa= g/>z/>,b = g/>z/>,z/>,z/>ÎZ(G),k, lÎ Z
и
ab = g/>z/>g/>z/> =g/>g/>z/>z/> =g/>g/>z/>z/> =g/>z/>g/>z/> =ba

ТЕОРЕМА3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы áаñисчерпываются бесконечной циклической группой áаñ/ E »áа ñи конечными циклическими группами áaáа/>ññпорядка m для каждого натурального числа m.
Доказательство.
Потеореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñисчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M= áа/>ñ,m Î N. Так как каждая циклическая группаабелева, то в ней любая подгруппа нормальна.
Фактор-группаA/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A ={a/> | k ÎZ}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов a/>M, k ÎZ. Если два смежных класса совпадут a/>M = a/>M, то a/>ÎMи s — t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, a/>M,., a/>M попарно различны. Крометого, для любого a/>M ÎA/M имеем:
t = mq+ r, 0 ≤ rM= a/>a/>M= a/>M.
Такимобразом,
A/M = {M, aM, a/>M,..., a/>M} = áaMñ,
т.е.фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.
ТЕОРЕМА3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañпорядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáа/>ññпорядка m для каждого натурального m, делящего n.
Доказательство.
Потеореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañпорядкаn исчерпываются циклическими подгруппами M = áа/>ñпорядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что
A/M = áaMñ= {aM, a/>M,..., a/>M,M},
т.е.A/M=áaáа/>ññбудет циклической группой порядка m.
Условимсячерез S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащихподгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, аS(G,G) = {G}.
ТЕОРЕМА3.2.4.(Теорема о соответствии)
ПустьH — нормальная подгруппа группы G. Тогда:
1)если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то /> =U/H — подгруппа фактор-группы />= G/H;
2)каждая подгруппа фактор-группы /> = G/Hимеет вид /> = V/H, где V— подгруппагруппы G и H £V ;
3)отображение /> : U → /> является биекциеймножества S(G,H) на множество S(/>);
4)если N ÎS(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H –нормальная подгруппа фактор-группы G/H.
Доказательство.
(1)Пусть U ÎS(G,H) и пусть /> ={uH | u ÎU} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H.Если u/>H, u/>H ÎÎ/>, то u/>, u/> ÎU, а так как U — подгруппа, то u/>u/>ÎU и u/>ÎU. Поэтому,

(u/>H)(u/>H) = u/>u/>H Î/>, (u/>H)/>= u/> H Î/>
ипо критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность />–подгруппа группы />.
(2)Пусть /> — произвольная подгруппаиз />. Тогда />состоит из некоторыхсмежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех техэлементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие /> , т.е. V = {x ÎG | xH Î/> }. Если v/>, v/> ÎV, то v/>H, v/>H Î/> , а так как /> — подгруппа, то
(v/>H)( v/>H) = v/> v/>H Î/> и (v/>H)/> = v/> H Î/>
Следовательно,v/> v/> ÎV и v/> ÎV, т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ
(3)Отображение /> : U → /> будет сюръекцией наосновании утверждения (2). Докажем, что /> –инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы /> = {uH | u ÎU} и /> = { vH | v ÎV } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент vÎV такой, что uH = vH. Поэтому v/>u ÎH ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V.Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и /> — инъекция.
(4)Если N/> G,N ÎS(G,H),то
(gH)/> (nH)(gH)= g/>ngH ÎN/H
длявсех g ÎG, n ÎN. Поэтому /> = N/H /> />. Обратно, если /> /> />, то

g/>ngH = (gH)/>(nH)(gH) Î/>
иg/>ngHÎN,значит N/> G.
Пример:Найдем все фактор-группы группы S/>.
Средиподгрупп группы S/> сосвоими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E,S/>,H=/> (см.пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S/>.Ясно, что S/>/S/>–единичная группа, а S/>/E изоморфна S/>.Порядокподгруппы H=/> равен 3, а порядок S/>/H равен 2. Поэтому S/>/H – циклическая группа порядка2.Смежные классы S/> поH исчерпываются классами Hи (12)H. Таким образом, группаS/> имееттри фактор-группы: S/>/H/> S/>,S/>/ S/>/>E,S/>/ H={H,(12)H}=/>.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория групп является одним из самых важных разделов математики, апонятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этогоогромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теориигрупп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти кчему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешитьэти вопросы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Александров,П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.: Наука, 1980.
2. Богопольский,О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерныхисследований, 2002.
3. Монахов, В.С.Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.: Вышэйшаяшкола, 2006.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Організм і середовище
Реферат Закрепление магистральных трубопроводов анкерными устройствами
Реферат Технология убеждающего воздействия менеджера в работе с персоналом
Реферат Финансовые рынки, ценные бумаги, фондовые биржи
Реферат Майер, Христиан
Реферат Проектирование транспортной сети на базе ВОЛС для сотовых операторов стандарта GSM вдоль автотрассы
Реферат Проект механизации уборки семян зерновых культур в СХА "ХХХХХХ" Воробьевского района Воронежской области
Реферат Синтез пиррольных интермедиатов для высокосопряженных порфиринов
Реферат Конспект лекцій з дисципліни Маркетинг
Реферат Инородцы в Российской империи
Реферат Методы обучения рисованию в России
Реферат «Основы теории автоматического управления»
Реферат Тесты в технологии блочного обучения математике учащихся полной средней школы
Реферат Диалектологический словарь русского языка
Реферат Организация производства на Магнитогорском металлургическом комбинате в электросталеплавильном цехе