МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
Математический факультет
Кафедра алгебры и методикипреподавания математики
Курсовая работа
СОДЕРЖАНИЕ
Ведение
1.Основные определения и теоремы
2.Смежные классы
2.1. Правые и левые смежные классы
2.2 Двойные смежные классы
3. Нормальные подгруппы и фактор-группы
3.1 Нормальные подгруппы
3.2 Фактор-группы
Заключение
Список использованных источников
ВВЕДЕНИЕ
Первый значительныйвклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса оразрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввелпонятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в видеподстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини(1799) и Абеля (1825).
В 1830–1832 годахГалуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы.С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросахсвязанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки,формулировали и доказывали теоремы.
Теория групп – один изцентральных разделов современной алгебры, в настоящее время активноразрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска,Новополоцка, Мозыря.
Понятие группы приобретает в настоящее время всебольшее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений инаряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всейматематики.
Понятие группы не труднее понятия функции; его можноосвоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделатьэто можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этойтеорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современнойматематикой вообще.
Моя цель состоит в том, чтобы разобраться сначальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы,доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.
1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Рассмотрим некоторое непустое множество G, на которомопределена бинарная алгебраическая операция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:
1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c ÎG выполняется
a*(b*c)=(a*b)*c;
2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е.для любого a Î Gнайдется такой элемент e, что выполняется
a*e=e*a=a
3) для любого элемента G существует симметричныйэлемент относительно, т.е. для любых a, bÎ G выполняется
a*b=b*a=e;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называетсяподгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a.Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклическойподгруппой, порожденной элементом а, и обозначается áаñ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своихциклических подгрупп, то G называют циклической группой.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аÎG имеет конечный порядок k.
Тогда
áаñ ={e,a, a/>, …, a/>}
Кроме того, а/>= e в точности тогда, когда kделит m.
ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклическойгруппы G = áаñ исчерпываютсяединичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами á а/>ñ для каждого натурального m.
ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группыáаñ порядка nисчерпываются циклическими подгруппами á а/>ñ порядка n/m для каждого натурального m,делящего n.
ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество Hгруппы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда h/>h/>/>Hи h/>/>H.
2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
2.1 Правые и левые смежные классы
Пусть G – группа, H – ее подгруппа и gÎG.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежнымклассом группы G по подгруппе H называется множество Hg= {hg | hÎH}всех элементов группы G вида hg, где h “пробегает” все элементы подгруппы H.
Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hÎH}.
ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H– подгруппа. Тогда справедливы утверждения:
1) H=He;
2) gÎHg для каждого gÎG;
3) если a Î H, то Ha=H; если bÎ Ha, то Hb=Ha;
4) Ha=Hb тогда и толькотогда, когда ab/>ÎH;
5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;
6) если H – конечнаяподгруппа, то | Hg | = | H | для всех gÎG.
Доказательство
Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса
(4) Если Ha = Hb, то ea = hb, hÎHи ab/>= hÎH. Обратно, если ab/>ÎH,то aÎHb и Ha=Hb по утверждению 3.
(5) Пусть Ha Ç Hb ≠Æ и c Î Ha Ç Hb. Тогда c=/>a=/>b иab/>=/>ÎH.Теперь Ha=Hb по утверждению 4).
(6) Для каждого gÎGотображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H |= | Hg |
Ч.т.д.
Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы Gсодержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H.Это свойство позволяет ввести следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называетсяправой трансверсалью подгруппы H в группе G, если T содержит точно одинэлемент из каждого правого смежного класса группы G поподгруппе H.Итак, если T = {/> | aÎI} –правая трансверсаль подгруппы H вгруппе G, то G= />, H/>Æ при />.
Таким образом, справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, то G является подгруппойнепересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.
Если G – конечная группа, то число различныхправых смежных классов по подгруппе H также будетконечно, оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается через |G: H|. Ясно, что индекс подгруппы H вконечной группе G совпадает с числом элементов в правойтрансверсали T подгруппы H,т.е.
|G: H|=|T|=|G|/|H|
ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Если H-подгруппа конечной группы G, то | G | = | H || G: H |. В частности, порядок конечнойгруппы делится на порядок каждой своей подгруппы.
Доказательство.
Пусть индекс H в группе G равен n. По теореме 2.1.1. имеемразложение
G=Hg/>/>Hg/>/>Hg/>, Hg/>Hg/>Æ приi ≠ j.
Так как
| Hg/>|= |H| для всех i, то | G | = | H || G: H |
СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Порядок каждого элемента конечной группы делит порядоквсей группы.
Доказательство
Порядок элемента a совпадает с порядкомциклической подгруппы áаñ, порожденный этимэлементом, см. теорему 1.1. Поэтому, | á аñ | = | a | делит | G |.
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы Hв группе G. Если L={ l/> | aÎ J } – леваятрансверсаль подгруппы H в группе G,то
G=/>l/>H, l/>H Ç l/>H=Æ при />.
Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L подгруппы H, т.е. | G: H |=| L|. Для левой трансверсали справедлив аналог теоремы 2.1.1.Поэтому из теоремыЛагранжа имеем
СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Число левых и число правых смежных классов конечнойгруппы G по подгруппе H совпадают.
ТЕОРЕМА 2.1.3. В группе простого порядканет неотрицательных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.
Доказательство.
Пусть G – конечная группа простого порядка p. Если H – подгруппа группы G, то по теореме Лагранжа | H | делит| G |. Поэтому либо | H |=1 и H – единичная подгруппа, либо | H |= p и H совпадает с группой G. Выберем неединичный элемент а в группе Gи рассмотрим циклическую подгруппу áаñ,порожденную этим элементом. Так как a ≠e, то áаñ ≠ E, поэтому áаñ = Gи G – циклическая группа.
ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H ≤ K ≤G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H вгруппе K, а S – праваятрансверсаль подгруппы K в группе G,то TS – правая трансверсаль подгруппы Hв группе G. В частности, | G: H | = | G: K|| K: H |.
Доказательство
Пусть
T={t/>,… ,t/>}, S={s/>,…, s/>}
Тогда
K=Ht/>/>… />Ht/>, Ht/>Ht/>Æ, i ≠j;
G=Ks/>/>… />Ks/>, Ks/>Ks/>Æ, i ≠j.
Теперь
G =( Ht/>/>… />Ht/>)s/>/>.… /> ( Ht/>/>.… /> Ht/>)s/>. (2.1.1)
Предположим, что Ht/>s/>Ht/>s/> для некоторыхнатуральных a,b,c и d. Тогда
t/>s/>(t/>s/>)/> = t/>s/>s/>t/>ÎH ≤K,
поэтому
s/>s/>Î t/>Kt/> = K, K s/>=Ks/>
Но s/> иs/>– элементыиз правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s/>=s/> и b = d. Теперь
t/>s/>(t/>s/>)/> = t/>t/>ÎH, Ht/>=Ht/>
и a = c.Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы Gпо подгруппе H и TS – праваятрансверсаль подгруппы H в группе G.Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсалиэтой подгруппы, то
|G: H|=| TS |=| T | | S |=| K: H|| G: K |
Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы2.1.4. при H=E.
2.3. Двойные смежныеклассы
Пусть H и K – подгруппы группы G и g Î G. Множество
HgK ={hgk | h Î H, k Î K}
называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K
ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогдасправедливы следующие утверждения:
1) Каждый элемент gÎ G содержится в единственном двойномсмежном классе HgK;
2) Два двойных смежных класса по Hи K либо совпадают, либо их пересечение пусто;
3) Группа G есть объединениенепересекающихся двойных смежных классов по подгруппам Hи K;
4) Каждый двойной смежный класс по Hи K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;
5) Если группа G конечна, тодвойной смежный класс HgK содержит
| K: H/>/> K | правых смежных классов по H и | H: H />K/>| левых смежных классов поК.
Доказательство.
(1)Так как каждаяподгруппа содержит единичный элемент, то
g=ege Î HgK
Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxkдля некоторых hÎH, kÎK и
HgK=H(hxk)K=HxK.
(2) и (3) следуют из (1)
(4)Так как
HgK=/> =/>,
то утверждение (4)доказано.
Подсчитаем числоправых смежных классов в разложении HgK=/> по подгруппе H. Допустим, что Hgk/>=Hgk/>. Тогда
Hg k/>k/> = Hg и k/>k/> Î g/>Hg/>K=H/>/>K
Справедливо и обратное, т.е. если k/>k/>Î H/>/>K, то
k/>k/>Î g/>Hg, g k/>k/>ÎHg, g k/>ÎHgk/>
и Hg k/>= Hgk/>. Поэтому, в двойномсмежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе K по подгруппе H/>/>K.
Аналогично,
Hgk=/> и h/>gK=h/>gK
тогда и только тогда,когда h/>h/>ÎH/>K/>. Поэтому, в произведенииHgK левых смежных классов по Kбудет точно столько, каков индекс
|H: H /> />K/>|
Произведение подгрупп.При g = eдвойной смежный класс HgK=HK={hk | hÎH, kÎK} превращается в произведение подгрупп H и K. Вобщем случае HK не является подгруппой.
Пример:
Найдем разложениесимметрической группы S/> в левые смежные классы по подгруппе />.
Для этого найдем вселевые смежные классы группы
S/>={Î,(12),(13),(23),(123),(132)} по подгруппе H=/>={Î,(12)}
ÎH = Î{Î, (12)} ={Î, (12)}= H,
(12)H =(12) {Î,(12)} = {(12), Î}= H,
(13)H =(13) {Î,(12)} = {(13), (123)},
(23)H =(23) {Î,(12)} = {(23), (132)},
(123)H =(123){Î,(12)}= {(123),(13)} = (13)H,
(132)H =(132){Î,(12)}= {(132),(23)} = (23)
Искомое разложение принимает вид
S/>=ÎH />(13) H />(23) H.
3. НОРМАЛЬНЫЕПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ
3.1 Нормальныеподгруппы
Подгруппа Hназывается нормальной подгруппой группы G, если xH=Hxдля всех xÎG. Запись H /> Gчитается так: “H – нормальнаяподгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, чтодля любого элемента h/>ÎHсуществует элемент h/>Î H такой, что xh/>= h/>x.
ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерийнормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующиеутверждения эквивалентны:
1) H –нормальная подгруппа группы G;
2) Подгруппа Hвместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. h/>ÎH для всех hÎHи всех xÎG;
3) Подгруппа H совпадает скаждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H/> для всех xÎG.
Доказательство.
Доказательство проведем по схеме (1) /> (2) />(3)/>(4)
(1)/> (2). Пусть H/> G,т.е. xH=Hxдля всех xÎG.Если h — произвольный элемент из H, то hx /> Hx= xH. Поэтому существует элемент h/>/>H такой, что hx = x h/>.Теперь x/>hx = h/>/> H.
(2)/> (3). Пусть выполняютсятребование 2). Тогда H/> = {h/> | h />H} ÍÍH для всех x />G. В частности, Hx/> ÍH, т.е. xHx/>ÍH. Теперь
HÍx/>Hx =H/> и H = H/> для всех x /> G.
(3)/> (1). Если H/>= H для всех x /> G, то x/>Hx = H и Hx = xH для всех x/>G, т.е. H – нормальная подгруппагруппы G.
Ч.т.д.
СЛЕДСТВИЕ3.1.1.
ЕслиH/>G и h />H, то h/>ÍH. Обратно, если h/>ÍH для всех h />H, то H/>G.
Понятие«нормальная подгруппа» можно рассматривать не только по отношению ковсей группе, но и относительно подгрупп. Если H £K £G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x /> K.
Простаягруппа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и самагруппа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нетдругих нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу Eсчитают непростой группой.
ТЕОРЕМА3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка.Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.
3.2Фактор-группы
ПустьH — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через />совокупностьвсех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. />= ={xH | x ÎG}. Положим
(xH)(yH)= xyH. (3.2.1)
Проверим,что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве />. Если xH = x/>H, yH = y/>H для некоторых x/>, y/> ÎG, то x/> = xh, y/> = =yg, h и g ÎH. Поэтому
(x/>H)(y/>H) = x/>y/>H = (xh)(yg)H = xy(y/>hy)gH = xyH,
т.к.y/>hy ÎHпо теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выборапредставителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствиеединственный элемент xyH.
Ясно,что предложенная операция (3.2.1) определена на /> иассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент a/>H — обратным к элементу aH.Таким образом, доказана следующая.
ТЕОРЕМА3.2.1. Совокупность /> = {xH | x ÎG} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией
(xH)(yH)= xyH
образуетгруппу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH)/> = a/>H.
Группа/> называется фактор-группойгруппы G по подгруппе H и обозначается через G/H.
ЕслиH не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задаватьалгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.
Очевидно,что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальнойподгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H вгруппе G, т.е.
|G/H|=| G: H |=| G | / | H |
ЛЕММА3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.
Доказательство.
ПустьG/Z(G) = á gZ(G)ñциклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa= g/>z/>,b = g/>z/>,z/>,z/>ÎZ(G),k, lÎ Z
и
ab = g/>z/>g/>z/> =g/>g/>z/>z/> =g/>g/>z/>z/> =g/>z/>g/>z/> =ba
ТЕОРЕМА3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы áаñисчерпываются бесконечной циклической группой áаñ/ E »áа ñи конечными циклическими группами áaáа/>ññпорядка m для каждого натурального числа m.
Доказательство.
Потеореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñисчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M= áа/>ñ,m Î N. Так как каждая циклическая группаабелева, то в ней любая подгруппа нормальна.
Фактор-группаA/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A ={a/> | k ÎZ}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов a/>M, k ÎZ. Если два смежных класса совпадут a/>M = a/>M, то a/>ÎMи s — t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, a/>M,., a/>M попарно различны. Крометого, для любого a/>M ÎA/M имеем:
t = mq+ r, 0 ≤ rM= a/>a/>M= a/>M.
Такимобразом,
A/M = {M, aM, a/>M,..., a/>M} = áaMñ,
т.е.фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.
ТЕОРЕМА3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañпорядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáа/>ññпорядка m для каждого натурального m, делящего n.
Доказательство.
Потеореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañпорядкаn исчерпываются циклическими подгруппами M = áа/>ñпорядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что
A/M = áaMñ= {aM, a/>M,..., a/>M,M},
т.е.A/M=áaáа/>ññбудет циклической группой порядка m.
Условимсячерез S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащихподгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, аS(G,G) = {G}.
ТЕОРЕМА3.2.4.(Теорема о соответствии)
ПустьH — нормальная подгруппа группы G. Тогда:
1)если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то /> =U/H — подгруппа фактор-группы />= G/H;
2)каждая подгруппа фактор-группы /> = G/Hимеет вид /> = V/H, где V— подгруппагруппы G и H £V ;
3)отображение /> : U → /> является биекциеймножества S(G,H) на множество S(/>);
4)если N ÎS(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H –нормальная подгруппа фактор-группы G/H.
Доказательство.
(1)Пусть U ÎS(G,H) и пусть /> ={uH | u ÎU} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H.Если u/>H, u/>H ÎÎ/>, то u/>, u/> ÎU, а так как U — подгруппа, то u/>u/>ÎU и u/>ÎU. Поэтому,
(u/>H)(u/>H) = u/>u/>H Î/>, (u/>H)/>= u/> H Î/>
ипо критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность />–подгруппа группы />.
(2)Пусть /> — произвольная подгруппаиз />. Тогда />состоит из некоторыхсмежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех техэлементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие /> , т.е. V = {x ÎG | xH Î/> }. Если v/>, v/> ÎV, то v/>H, v/>H Î/> , а так как /> — подгруппа, то
(v/>H)( v/>H) = v/> v/>H Î/> и (v/>H)/> = v/> H Î/>
Следовательно,v/> v/> ÎV и v/> ÎV, т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ
(3)Отображение /> : U → /> будет сюръекцией наосновании утверждения (2). Докажем, что /> –инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы /> = {uH | u ÎU} и /> = { vH | v ÎV } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент vÎV такой, что uH = vH. Поэтому v/>u ÎH ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V.Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и /> — инъекция.
(4)Если N/> G,N ÎS(G,H),то
(gH)/> (nH)(gH)= g/>ngH ÎN/H
длявсех g ÎG, n ÎN. Поэтому /> = N/H /> />. Обратно, если /> /> />, то
g/>ngH = (gH)/>(nH)(gH) Î/>
иg/>ngHÎN,значит N/> G.
Пример:Найдем все фактор-группы группы S/>.
Средиподгрупп группы S/> сосвоими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E,S/>,H=/> (см.пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S/>.Ясно, что S/>/S/>–единичная группа, а S/>/E изоморфна S/>.Порядокподгруппы H=/> равен 3, а порядок S/>/H равен 2. Поэтому S/>/H – циклическая группа порядка2.Смежные классы S/> поH исчерпываются классами Hи (12)H. Таким образом, группаS/> имееттри фактор-группы: S/>/H/> S/>,S/>/ S/>/>E,S/>/ H={H,(12)H}=/>.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория групп является одним из самых важных разделов математики, апонятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этогоогромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теориигрупп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти кчему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешитьэти вопросы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Александров,П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.: Наука, 1980.
2. Богопольский,О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерныхисследований, 2002.
3. Монахов, В.С.Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.: Вышэйшаяшкола, 2006.