Министерство образования Республики Беларусь
Учреждениеобразования
«Гомельскийгосударственный университет
имениФранциска Скорины»
Математическийфакультет
Кафедрадифференциальных уравнений
Дипломнаяработа
Устойчивостьпо Ляпунову
Гомель2007
Оглавление
Введение
Устойчивостьрешений дифференциальных систем и функции Ляпунова
Устойчивостьпо Ляпунову
Методфункций Ляпунова. Теоремы Ляпунова
Методыпостроения функций Ляпунова
Понятиепродолжимости решения. Признак Винтера-Еругина
Применениефункций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем
Развитиеметода функций Ляпунова
ФункцииЛяпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений
Продолжимостьвсех решений некоторых уравнений третьего порядка
Заключение
Списокиспользованных источников
Введение
Понятиефункций Ляпунова появилось в связи с развитием теории устойчивости, началокоторой положили труды великого русского математика А.М. Ляпунова. Рождениетеории устойчивости как самостоятельной научной дисциплины можно отнести ковремени появления докторской диссертации А.М. Ляпунова «Общая задача обустойчивости движения», впервые опубликованной в Харькове в 1892 году. Запоследние годы наблюдается бурный рост этой теории, вызванный потребностямиразвивающейся техники, в частности, теории автоматического регулирования иуправления.
Развитиетеории устойчивости движения осуществляется двумя путями: во-первых,расширением круга задач и, во-вторых, созданием новых и усилением уже известныхметодов исследования. Метод функций Ляпунова (известный также как второй или прямойметод Ляпунова) является одним из наиболее эффективных методов исследованияустойчивости, чем вызвано и его широкое применение в теории управления.Значение его далеко не исчерпывается возможностью установления фактаустойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функцияЛяпунова для конкретной системы позволяет решать целый комплекс задач, которыеимеют важное прикладное значение, например, получение оценки изменениярегулируемой величины, оценки времени регулирования, оценки качестварегулирования, оценки области притяжения (множества всех начальных возмущений,исчезающих во времени), оценки влияния постоянно действующих возмущений идругие.
ФункцииЛяпунова позволяют решать вопросы устойчивости в «большом», т.е.оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени запределы заданной области. С помощью функций Ляпунова решается проблемасуществования или отсутствия периодических решений, устанавливаетсяограниченность и продолжимость всех решений заданной нелинейной системыобыкновенных дифференциальных уравнений.
Всвязи с широким применением функций Ляпунова возник вопрос универсальностиэтого метода. Решением этой задачи занимались Я.П. Персидский, Н.Н. Красовский,Е.А. Барбашин, Я. Курцвейль, Ж.Л. Массера и другие математики. Былоустановлено, что в теории устойчивости этот метод универсален для широкогокруга задач. В этой связи возникла задача о методах построения функцийЛяпунова. Следует заметить, что известные методы построения функций Ляпунова, разработанныедля получения достаточных условий устойчивости, не являются достаточноэффективными, поскольку каждый из них приспособлен для исследования конкретныхсистем. Поэтому проблему построения функций Ляпунова для нелинейных систем внастоящее время нельзя считать решенной.
Даннаяработа содержит исследования вопроса о применении функций Ляпунова кисследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений.
Устойчивость решенийдифференциальных систем и функции Ляпунова
Вданной работе мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений внормальной форме. Напомним, что система обыкновенных
/> (??)
дифференциальныхуравнений называется нормальной. В этой системе /> --- независимая переменная, /> ---неизвестные функции этой переменной, а /> --- функции от /> переменной, заданные намножестве /> пространстваразмерности />,в котором координатами точки являются числа />. В дальнейшем будем предполагать,что функции
/> (??)
непрерывнына открытом множестве />; также будем предполагать, что ихчастные производные
/> (??)
существуюти непрерывны на множестве />. Следует заметить, что частныепроизводные (??), непрерывность которых предполагается, берутся только попеременным />,а не по независимой переменной />.
Решениемсистемы уравнений (??) называется система непрерывных функций
/> (??)
определенныхна некотором интервале /> и удовлетворяющих системе (??).Интервал /> называется интервалом определения решения (??) (случаи />, /> не исключаются). Считается, чтосистема функций (??) удовлетворяет системе уравнений (??), если при подстановкев соотношение (??) вместо /> функций (??) соотношения (??)превращаются в тождества по /> на всем интервале /> и чтобы правые частиуравнений (??) были определены для всех подставляемых в них значенийаргументов. Таким образом, точка с координатами /> должна принадлежать множеству /> для всехзначений /> наинтервале />.Устойчивость по Ляпунову
Рассмотримсистему дифференциальных уравнений
/> (??)
Выделимнекоторое решение /> системы (??) и назовем егоневозмущенным решением.
Решение/> назовем устойчивымв смысле Ляпунова, если для любого /> можно указать /> такое, что изнеравенства /> следует неравенство /> при />. Здесь через /> обозначенолюбое другое решение системы (??), определяемое начальным условием />. Решение /> называется асимптотическиустойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и еслисуществует такое />, что при /> будем иметь
/> (??)
Пример Решение/> уравнения/> неявляется устойчивым ни справа, ни слева, т.к. каждое решение />, где /> (/>), перестаетсуществовать при /> (рис. 1).
/>
Пример.Решение /> уравнения/> неустойчивосправа, т.к. все решения />, />, />, приближаются к /> при />. Каждое решение /> так же, как ирешение />,является асимптотически устойчивым справа (рис. 2).
/>
Проведемв системе (??) замену переменных />. Новая система будет иметь вид
/>
вводяобозначение
/>
получимсистему
/> (??)
где/> при />. Решение /> перешло прирассматриваемой замене переменных в положение равновесия /> новой системы. Задачаустойчивости решения /> переходит, таким образом, взадачу устойчивости нулевого (тривиального) решения /> системы (??).
Приведемопределение устойчивости нулевого решения системы (??).
Решение/> системы (??)называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого /> можно указать /> такое, что изнеравенства /> следуетнеравенство /> при/>. Если же,кроме того, всякое решение />, начальные данные которогоопределяются условием />, обладает свойством />, то нулевоерешение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова.Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова
Проиллюстрируемидею метода на простейшем примере:
/> (??)
Рассмотримфункцию />.Эта функция положительна всюду, кроме точки />, где она обращается в нуль. Впространстве переменных /> уравнение /> определяет параболоид свершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости /> представляютсобой эллипсы. Зададим произвольно малое />. Построим на плоскости /> круг /> радиуса />. Возьмем однуиз линий уровня — эллипс, целиком лежащий внутри круга />. Построим другой круг /> целиком лежащийвнутри эллипса (рис. 3).
/>
Пустьначальная точка /> лежит внутри />.
Рассмотримфункцию двух переменных />. Легко видеть, что если вместо /> подставитьрешение системы (??), то полученная таким образом, функция от /> будет представлятьсобой полную производную функции /> вдоль траектории решения системы (??).Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в />, неположительна, то этобудет означать, что траектория не сможет покинуть />, так как иначе между /> и значением />, при которомона попадет на границу />, найдется значение />, для которого />, поскольку />. То, что ниодна траектория, начинающаяся в />, не покидает ни при одном /> круг />, означаетустойчивость тривиального решения.
Итак,мы должны проверить знак /> вдоль траектории. Для этого надознать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод долженбыть рассчитан на систему общего вида, для которого /> нельзя выписать явно и тем самымнельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция /> быланеположительной как функция двух независимых переменных /> по крайней мере внекоторой окрестности />. Это условие можно проверитьнепосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примереименно так и будет, поскольку /> всюду на плоскости />, а тем самым вдольлюбой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция /> и есть функцияЛяпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя впринципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительнойвсюду, кроме точки />, где она обращается в нуль, авыражение /> былонеположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, воснову которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы(??).
Вседальнейшие построения будем вести в некоторой />-окрестности начала координат вфазовом пространстве. Пусть для определенности /> задается неравенством />, />. Функция /> (или короче />) называется положительноопределенной в />, если /> в />, причем /> тогда и только тогда, когда />.
Приведемряд утверждений, показывающих применение функций Ляпунова [??].
ТеоремаПервая теорема Ляпунова
Пустьв /> существуетнепрерывная вместе с частными производными первого порядка положительноопределенная функция /> такая, что функция /> удовлетворяетнеравенству
/> (??)
Тогдатривиальное решение системы (??) устойчиво.
ТеоремаВторая теорема Ляпунова
Пустьдополнительно к условиям первой теоремы для /> выполняется неравенство />, где /> ---положительно определенная в /> функция.
Тогдатривиальное решение системы (??) асимптотически устойчиво.
ТеоремаТретья теорема Ляпунова
Пустьв /> существуетнепрерывная вместе с частными производными первого порядка положительноопределенная функция /> такая, что
а)/> и /> />-окрестность точки />, в которойвыполняется неравенство />;
б)/> из />, справедливоепри всех />.
Тогдатривиальное решение системы неустойчиво.
Замечание.Недостатокизложенных методов заключается в том, что не существует достаточно общегоконструктивного способа построения функций />.
Замечание.Горбунов[??] показал, что для линейных систем с непрерывными коэффициентами функцияЛяпунова всегда существует в виде квадратичной формы.
Замечание.Для дифференциальных уравнений, описывающих некоторые механические системы,роль функции Ляпунова играет потенциальная энергия />. Сама система имеет вид />, асоответствующая функция />.
Взамечании (??) было обращено внимание на отсутствие общей методики построенияфункций Ляпунова для конкретных дифференциальных систем. Ниже приведены некоторыеизвестные способы построения функций Ляпунова.Методы построенияфункций ЛяпуноваЭнергетическийметод
Применяетсядля системы второго порядка.
Рассмотримсистему
/> (??)
где/>, />, /> непрерывны, /> ---положительные постоянные и />, /> при />, /> при />, /> при />, где />, />, />.
Вкачестве механической модели можно взять движение системы /> материальных точек /> с массой />, в которойточка /> подвергаетсядействию сил />, выражающие влияние других точек /> этой системына точку />.
Тогдаможно дать механическую интерпретацию. Функцию /> составим как полную энергиюсистемы, то есть как сумму кинетической и потенциальной энергий. Получим
/>
Очевидно,что эта функция определенно положительная.
Найдемпроизводную функции /> в силу системы (??), получим
/> (??)
Таккак члены /> определяютсилы, способствующие рассеиванию механической энергии, то полная энергиясистемы убывает, а значит, соображений производная (??) знакоотрицательная.МетодМалкина
Рассмотримуравнение
/> (??)
Этоуравнение эквивалентно системе
/> (??)
Соответствующаялинейная система имеет вид
/> (??)
Длянее может быть построена функция Ляпунова
/>
причем/>.
Замечаемтеперь, что /> несодержит в своей записи параметра />, поэтому эта же функция пригоднадля исследования системы
/>
нонепригодна для системы (??).
Чтобыполучить функцию Ляпунова для системы (??), необходимо найти аналог члена /> в записи />. Но с точкизрения механики величина /> (или /> характеризует восстанавливающуюсилу, а величина /> соответствует потенциальнойэнергии. Поэтому естественно принять за функцию Ляпунова для системы (??)функцию
/> (??)
Очевидно,получим в силу системы (??)
/>
Условияустойчивости в целом запишутся следующим образом:
а)/> при />,
б)/>,
в)/> при />.
Легкопроверить, что множество />, то есть прямая /> не содержит целыхтраекторий, кроме начала координат.
Укажемдругой подход к задаче. Производя в уравнении (??) замену переменной /> получимсистему
/> (??)
Используяснова прежнюю функцию Ляпунова (??), получим в силу системы (??)
/>
Условияустойчивости в целом в данном случае улучшаются, так как условие б) заменяетсяменее ограничительным условием
/>Методделения переменных
Рассмотримсистему
/> (??)
где/> при /> ---постоянные, /> могутбыть функциями координат, параметров и времени.
Определенноположительная функция
/>
имеетпроизводную в силу системы (??) в следующем виде:
/>
где
/>
Такимобразом, /> будетопределенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойствомобладает форма
/>
Какизвестно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм спеременными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может бытьиспользован.
Вкачестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходногопроцесса синхронного двигателя
/>(??)
Здесь/>, /> ---постоянные, /> ---возмущение рабочего угла, /> --- возмущение силы тока,возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.
Вданном случае получаем
/>
ав качестве матрицы /> берем единичную матрицу. Такимобразом, получим
/>
Построеннаяфункция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, чтодает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронныйдвигатель.
Предложенныйметод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости,если найти подходящие выражения для />. Это следует из того, что всякаяопределенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием можетбыть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных.Трудность этого метода состоит в подборе /> и матрицы />.МетодКрасовского
Исследуетсясистема уравнений
/> (??)
ФункцияЛяпунова строится в виде />, где симметричная матрица /> подбираетсятак, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица
/> (??)
удовлетворялакритерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы (??)
/>
Такимобразом, получим /> и />.
Вкачестве примера рассмотрим уравнение
/>
эквивалентноесистеме
/>
ФункциюЛяпунова выбираем в виде
/>
Легковидеть, что
/>
Очевидно,следует принять /> и />, тогда будем иметь
/>
иусловие устойчивости в целом принимает вид /> при любых />.МетодУокера-Кларка
Рассмотримуравнение
/> (??)
эквивалентноесистеме
/>(??)
ФункциюЛяпунова для системы (??) предлагается брать в виде
/> (??)
где/> специальноподбирается с целью упрощения вида /> и с целью выполнения неравенства />.
Так,например, для системы
/>(??)
функцию/> будемискать в виде
/>
Имеемв силу системы (??)
/>
где
/>
Очевидно,проще всего положить />, />, />, откуда
/>
иполучаем функцию
/> (??)
Вкачестве второго примера рассмотрим уравнение
/> (??)
эквивалентноесистеме
/> (??)
Согласнопредложенному способу следует принять
/>
Имеемтогда
/>
Еслиположить />,то условия устойчивости будут иметь вид
/> и />.
Ноэти условия не могут быть удовлетворены для линейной функции
/>.
Значительнополезней оказывается функция, предложенная Л. Америо,
/>
Вданном случае получим
/>
иусловия устойчивости в целом принимают вид
а)/> при />,
б)/> при />,
в)/>при />.Градиентныйметод
Предлагаетсяначинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме
/>
где
/>
Функции/> подбираютсяиз условия отрицательности /> и из требования, чтобы векторноеполе /> былопотенциальным. Это значит, что должны выполняться условия />. После того как найденградиент /> самафункция /> определяетсякак криволинейный интеграл
/> (??)
Вкачестве примера рассмотрим уравнение
/> (??)
где/>. Этоуравнение эквивалентно системе
/> (??)
Будемискать вектор-градиент /> в форме
/>
Всилу системы (??) получим
/>
Удобноположить />,/>, />. Условияпотенциальности поля дают />. Таким образом, имеем />, />, />. Формула (??)дает нам
/>
или,что то же самое,
/>
Таккак />, тоусловия устойчивости имеют вид /> и
/>Понятие продолжимостирешения. Признак Винтера-Еругина
Пусть
/> (??)
— решение системы уравнений (??), определенное на некотором интервале />, и
/> (??)
---решение той же системы уравнений (??), определенное на некотором интервале />. Будемговорить, что решение /> является продолжением решения (??),если />.Решение (??) будем называть непродолжаемым, если не существует никакогоотличного от него решения, являющегося его продолжением.
Покажем,что каждое решение может быть продолжено до решения, далее непродолжаемого. Вэтом смысле непродолжаемые решения исчерпывают совокупность всех решений.
Пусть
/> (??)
---векторная запись нормальной системы уравнений (??). Тогда справедлива следующаятеорема [??]:
Теорема1. Существует непродалжаемое решение уравнения (??) с произвольными начальнымизначениями из />.
2.Если некоторое непродолжаемое решение уравнения (??) совпадает с некоторымдругим решением уравнения (??), хотя бы при одном значении />, то оно являетсяпродолжением этого решения.
3.Если два непродолжаемых решения уравнения (??) совпадают между собой хотя быдля одного значения />, то они полностью совпадают, т.е.имеют один и тот же интервал определения и равны на нем.
Пусть/> ---решение системы (??) с начальным условием />. Ясно, что:
а)либо это решение может быть продолжено для всех значений />, и тогда будемговорить, что решение /> неограниченно (бесконечно) продолжаемо[в право];
б)либо существует такое />, что /> при />, и тогда будем говорить, чторешение /> имеет конечное время определения.
Этидве возможности явно несовместимы и дополняют друг друга. Третий случай
в)решение ограничено.
— совместим с возможностью а), но, конечно, несовместим с б).
Отметим,следующее
Свойство Если решение /> ограничено в своем максимальномпромежутке существования />, то оно бесконечно продолжаемо,т.е. />.
Ограниченность всех решений представляет собой своего рода устойчивость; в этом случаеговорят об устойчивости в смысле Лагранжа или, короче, об устойчивости поЛагранжу.
Неограниченнаяпродолжимость решений системы (??) является необходимым условием устойчивостипо Ляпунову решений этой системы.
Пример
/>
Всерешения данного уравнения /> бесконечно продолжаемы, но неограничены.
Пример
/>
Наинтервале />,для любого /> всерешения данного уравнения /> бесконечно продолжаемы иограничены.
Пример
/>
Всерешения />,/> имеютконечное время определения.
Приведембез доказательства теорему Майергофера-Еругина.
ТеоремаМайергофера-Еругина
Пустьрешение /> уравнения
/> (??)
гдефункция /> непрерывнадля всех /> и/>,определено на промежутке /> и непродолжимо для значений />.
Тогдапри />, где/> ---граница области />.
Предположимтеперь, что в окрестности любой точки /> выполняются условия существованиярешения уравнения (??). Для простоты предположим, что /> --- скаляр.
Теоремапризнак Винтнера-Еругина
Пустьфункция /> уравнения(??) определена и непрерывна для всех вещественных /> и /> как функция двух переменных.
Тогдалюбое решение уравнения (??) неограниченно продолжим в обе стороны, если тольковыполнено неравенство
/>
где/>---функция, удовлетворяющая условию
/> (??)
где/>---число.
Доказательствопроведем методом от противного.
Пустьсуществует решение />, которое не являетсянеограниченно продолжимым, например, вправо. Тогда на основании теоремыМайергофера-Еругина существует некоторое число /> такое, что /> принимает /> разных знакови при />.
Ввидунепрерывности решения /> как функции от /> оно должно бесконечноечисло раз проходить через нуль. А это означает, что существуетпоследовательность значений />, по которой это решение стремитсяк нулю. Это невозможно (по теореме Майергофера-Еругина).
Допустим,что /> при />. Так как /> --- решениеуравнения (??), то /> в промежутке />. Допустим, что /> не меняетзнак. Тогда
/> (??)
Проинтегрируемобе части (??) по отрезку />, где /> получим
/>
Произведемзамену />.Получим
/>
Тогда
/>
Такимобразом получаем
/>
Теперьпусть />.Учтем, что с заменой /> и получаем
/>
поусловию теоремы. Это неравенство противоречиво, так как слева стоит конечнаявеличина.
Рассмотримобщий случай, когда /> может менять знак. Тогда
/>
Таккак /> при />, то снекоторого момента величина /> станет положительной и знакмодуля можно будет опустить. Тогда получим
/>
Проинтегрируемобе части от /> до />, где /> --- значение, после которого /> становитсяположительным.
Сделаемзамену />,получим
/>
Устремим/> и учтем (??)
/>
Последнеенеравенство противоречиво, что говорит о том, что не существует решения,которое не является неограниченно продолжимым вправо.Применениефункций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных системРазвитие метода функций Ляпунова
Методфункций Ляпунова дал довольно сильный и гибкий аппарат исследованияустойчивости решений дифференциальных уравнений. Модификации этого используютсейчас и для выявления других свойств решений дифференциальных уравнений.Например, японский математик Окамура использовал идеи, сходные с идеями второгометода Ляпунова, для изучения продолжимости решений, а затем Йошизава применилэтот метод для получения сведений об ограниченности решений.
Какизвестно, Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знакупроизводной />,где /> ---положительно определенная функция. Таким образом изучается неравенство />. После работрусского ученого С.А. Чаплыгина началось широкое применение дифференциальныхнеравенств в теории дифференциальных уравнений. Развитие теории привело ксочетанию метода функций Ляпунова с методом дифференциальных неравенств: началирассматривать функции Ляпунова в дифференциальных неравенствах вида
/> (??)
чтопозволяет получить, в частности, интересные выводы относительно продолжимости иограниченности решений. Остановимся кратко на этом вопросе [??].
Еслирассмотреть систему
/> (??)
тоее решение /> можетбыть ограниченным, иметь конечное время определения или существовать для всех />.
Внеравенстве (??) нас будут интересовать только его положительные решения. Саминеравенства могут быть двух типов:
а)неравенства, не имеющие ни одного положительного решения с конечным временемопределения;
б)неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного решения. Заметим,что в дальнейшем, если под /> понимается некоторое множество,то через /> обозначаетсядополнение этого множества в пространстве.
Приведембез доказательства несколько утверждений [??].
Теорема
Предположим,что /> ---ограниченное множество пространство />, содержащее начало координат, ичто функция /> определенаво всем множестве /> и при всех />. Допустим далее, что /> при /> равномерно накаждом интервале изменения времени />. Наконец, предположим, что />, во всем /> и для />. Еслинеравенство (??) не имеет ни одного положительного решения с конечным временемопределения, то каждое решение /> системы (??) неограниченнопродолжаемо.
Дляприменения результатов такого рода часто полагают />, то есть неравенство (??)записывается в виде
/> (??)
Лемма/>
Если/>, тонеравенство (??), при непрерывности /> для всех /> и положительности и непрерывности/> для />, не имеет ниодного положительного решения с конечным временем определения.
Лемма/>
Если/>, />, тонеравенство (??) не имеет ни одного положительного неограниченного при /> решения.
Теорема
Пусть/> и /> имеют тот жесмысл, что и в теореме (??), /> при /> равномерно по /> и />. Если неравенство /> не имеет ниодного положительного неограниченного при всех /> решения, то система (??)устойчива в смысле Лагранжа.
Замечание.Дляавтономной системы вместо /> используется функция />.Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальныхуравнений
Рассмотримсистему вида
/> (??)
где/> определенаи непрерывна на />, где /> — некоторый промежуток прямой, а/> ---область />-мерногопространства />.
Определение.Будем говорить, что вектор-функция /> удовлетворяет на множестве /> локальномуусловию Липшица по />, если для каждой точки /> найдется такаяокрестность /> ипостоянная Липшица />, что для любой из двух точек /> и /> из этойокрестности выполняется неравенство
/>.
Введемобозначения.
Рассмотримотношение
/>.
Рассмотримверхний (нижний) предел последнего отношения
/> />
Этотпредел будем называть производной функции в силу системы (??).
Теорема[??]
Пустьфункция /> определена,непрерывна и локально липшицева относительно /> на произведении />.
Тогдадля продолжимости всех решений системы (??) на промежутке /> необходимо идостаточно, чтобы на множестве /> существовали две функции Ляпунова/> и />, обладающиесвойствами:
1)/>;
2)/>при /> равномерноотносительно /> накаждом конечном сегменте, />.
Замечание.Вместо условия 1) в теореме (??) может быть взято условие />.
Следствие.Если /> и /> непрерывны вовсем пространстве, то для продолжимости каждого решения системы (??) на /> необходимо идостаточно, чтобы в пространстве /> существовали две непрерывнодифференцируемые функции Ляпунова /> и />, обладающие свойствами:
1)/>;
2)/> при /> равномерноотносительно /> накаждом конечном сегменте, />. Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьегопорядка
Посколькуодна из целей данной дипломной работы — показать на примере применениефункций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем,мы ставим перед собой задачу применить функции Ляпунова для решения вопросапродолжимости на /> всех решений некоторых нелинейныхуравнений третьего порядка.
Рассмотримуравнение
/> (??)
эквивалентноесистеме
/> (??)
Теорема/>
Пустьфункции />, /> и /> удовлетворяютследующим условиям:
а)/> непрерывнапри />,
б)функция /> ограниченадля достаточно больших />, то есть /> для больших />;
в)функция />непрерывнаи имеет непрерывную производную по /> и, кроме того, удовлетворяетусловиям:
1)/> длядостаточно больших /> и />,
2)/> длядостаточно больших /> и />;
тогдавсе решения системы (??) неограниченно продолжаемы.
Доказательство
Рассмотримфункцию
/>
Еепроизводную в силу системы (??) для достаточно больших />, /> и /> легко оценить:
/>
Получилидифференциальное неравенство вида
/>,
где/>, а />. По лемме (??)это неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временемопределения. В качестве множества />, о котором говорится в теореме,можно взять любое ограниченное множество, содержащее начало координат и такое,что вне его выполняются условия, наложенные на функции /> и />.
Применяятеорему (??), приходим к требуемому выводу.
Замечание.Если вместо требований, наложенных на функцию />, потребовать /> при достаточно больших />, />, то, взяв />, получим
/>
Аотсюда легко следует утверждение теоремы.
Замечание.Можно показать, что если в правой части уравнения (??) вместо функции /> поставитьфункцию /> котораялибо ограничена для всех />, либо для /> существует непрерывнаяфункция /> такая,что при всех /> выполняется неравенство />, то всерешения уравнения /> при тех же предположенияхотносительно функций /> и /> неограниченно продолжаемы.
Замечание.Заключение о неограниченной продолжимости решений дифференциального уравнения (??)легко получить из теоремы (??), положив />.
Какотмечено выше, существует ряд признаков продолжимости решений. Простейшим изних является признак Винтнера-Еругина, который утверждает, что если в уравнении/> функция /> определена инепрерывна для всех /> и />, как функция двух переменных, толюбое решение этого уравнения неограниченно продолжаемо в обе стороны, еслитолько выполняется неравенство />, где /> --- функция, удовлетворяющая условию/>, где /> --- число. Впростейшем случае />, где /> --- число, т.е. получаем, чтофункция /> близкак линейной. Ясно, что в этом случае продолжимость всех решений на /> легкоустановить при помощи функций Ляпунова с использованием дифференциальныхнеравенств, взяв />. Обратное утверждение не всегдаверно. Например, для уравнения
/>
условияпродолжимости, полученные при помощи функций Ляпунова, запишутся так: /> для больших /> и /> для больших />. Понятно, что,положив /> и/> получим,на основании теоремы (??), вывод о продолжимости всех решений уравнений />. Но критерийВинтнера-Еругина не выполняется за счет />.
Рассмотримуравнение
/>(??)
эквивалентноесистеме
/> (??)
Теорема
Пусть/> ---непрерывная на всех /> функция, а функции />, /> и /> удовлетворяют условиям:
а)/> ---ограниченная для всех />, где /> --- некоторое ограниченноемножество, содержащее начало координат,
б)/> при />,
в)/> ---непрерывная и непрерывно дифференцируемая по /> функция и />, /> для всех />. Тогда все решениясистемы (??) или уравнения (??) неограниченно продолжаемы.
Доказательство
Всамом деле, возьмем функцию
/>
Оцениваяее производную в силу системы (??) при /> (для />, вообще говоря больших), перейдемк неравенству
/>
которое,очевидно, в силу леммы (??), не имеет ни одного положительного решения сконечным временем определения. Воспользовавшись теоремой (??), приходим ктребуемому заключению.
Замечание.Воспользовавшись этой теоремой, легко получить вывод о продолжимости всехрешений уравнения
/> (??)
иуравнения
/> (??)
Всамом деле, при выполнении всех условий теоремы (??), полагая /> в первом случае и /> --- во втором,легко получаем
Следствие.Если в уравнении (??) функции />, /> непрерывны по /> и /> соответственно и /> для больших />, а функция /> для больших /> то все решенияэтого уравнения продолжимы на />.
Следствие. Если в уравнении ((??)) функции />, /> и /> удовлетворяютусловиям:
а)/> непрерывнадля />,
б)/> ограниченадля больших />,
в)/> длябольших />,
г)/> непрерывнаи /> длябольших />,то все решения уравнения (??) неограниченно продолжимы вправо.
Пример.Очевидно, что всем условиям продолжимости удовлетворяет уравнение
/>
илисистема
/>
Однакокритерий Винтнера-Еругина не гарантирует продолжимости всех решений. В самомделе />.Обозначим />.Получаем, что
/>
Отсюдаможно сделать вывод, что для установления продолжимости на /> более эффективноиспользование функций Ляпунова, нежели признака Винтнера-Еругина.
Рассмотримуравнение
/> (??)
эквивалентноесистеме
/> (??)
Теорема
Дляпродолжимости всех решений уравнения (??) на /> достаточно выполнения условий:
1)непрерывности при всех /> функции />,
2)непрерывности функций /> и /> и непрерывной дифференцируемостипо /> функции/>, а, крометого, выполнения для них условий
/>
вненекоторого ограниченного множества />, содержащего начало координат.
Действительно,взяв функцию
/>
внемножества /> идля достаточно больших />, будем иметь
/>
Этонеравенство, в силу леммы (??), не имеет ни одного положительного решения сконечным временем определения, и на основании теоремы (??) получаемсправедливость нашего утверждения.
Заключение
Восновном данная работа посвящена построению функций Ляпунова для выявлениясвойства продолжимости всех решений некоторых нелинейных уравнений третьегопорядка на полупрямую />.
Вработе рассмотрены следующие нелинейные уравнения третьего порядка:
/>
/>
/>
Длярассмотренных уравнений с помощью функций Ляпунова получены достаточные условияпродолжимости всех решений на полупрямую />.
Приведенныепримеры построения функций Ляпунова для выявления свойства продолжимостинелинейных уравнений третьего порядка говорят о возможности примененияуказанных функций не только для выяснения вопросов устойчивости, но и длявыявления других свойств решений дифференциальных систем.
Список использованных источников
1.Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4-е изд., М.: Наука,-- 1974., — 331стр.
2.Горбунов А.Д., Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных линейныходнородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. М.: Учен.зап. ун-та, 165. Математика, 7 (1954), 39--78.
3.Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, М.:Мир, 1964г.
4.Ющенко А.А., // Доклады АН БССР, т. 11, №10, 1967г.
5.Ющенко А.А., // Дифференциальные уравнения т.4 №11, 1968г.
6.Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости, М.: Наука, 1967г.
7.Барбашин Е.А., Функции Ляпунова, М.: Наука, 1970