Содержание
Введение
1. Нелокальная граничная задачаΙ рода
2. Нелокальная граничная задача IIрода
Литература
уравнение спектральныйнелокальный дифференциальный
Введение
В современной теориидифференциальных уравнений с частными производными важное место занимаютисследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а такжеуравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа стали изучатьсясистематически с конца 40-х годов, после того, как Ф.И. Франкль указал ихприложения в околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже И.Н. Векуа былинайдены приложения этих уравнений и в других разделах физики и механики, вчастности, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментнойтеории оболочек. Также повышенный интерес к этим классам уравнений объясняетсякак теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленнымиприложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред,акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследованияпоследних лет также показали, что такие уравнения являются основой примоделировании биологических процессов.
Начало исследованийкраевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикомии С. Геллерстедта. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложеныв работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, Л. Ниренберга,М. Проттера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты, полученные ими иих последователями приведены в монографиях А.В. Бицадзе [4], Л. Берса [2], К.Г.Гудейлея [6], Т.Д. Джураева [7], М.М. Смирнова [14], Е.И. Моисеева [9], К.Б.Сабитова [12], М.С. Салахитдинова [13].
Среди краевых задачособое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи длядифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [15], А.В.Бицадзе и А.А. Самарского [3], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, Н.И. Ионкина, В.И.Жегалова [8], А.И. Кожанова, А.М. Нахушева, Л.С. Пулькиной [10], О.А. Репина [11],А.Л. Скубачевского, А.П. Солдатова и других.
Особо выделим работуА.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3], которая повлекла за собой систематическоеизучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.
Первые фундаментальныеисследования вырождающихся гиперболических уравнений были выполнены Ф. Трикомив начале прошлого столетия. Для уравнения
/> (0.1)
он поставил следующуюзадачу: пусть /> область,ограниченная при /> гладкой кривой /> с концами вточках /> и /> оси /> а при />характеристиками/> уравнения (0.1).Требуется найти функцию /> (/>отрезок оси />),удовлетворяющую уравнению (0.1) в /> и принимающуюзаданные значения на /> Ф. Трикомидоказал существование и единственность решения этой задачи при определённыхдополнительных требованиях относительно поведения /> в /> гладкостиграничных данных и характера дуги />. Эта краеваязадача и уравнение (0.1) называются сейчас задачей и уравнением Трикоми.
М.А. Лаврентьев с цельюупрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа предложилновое модельное уравнение
/> (0.2)
Подробное исследованиезадачи Трикоми и её различных обобщений для уравнения (0.2) провёл А.В.Бицадзе. Уравнение (0.2) называют сейчас уравнением Лаврентьева-Бицадзе.
Нахушев А.М. установилкритерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа вцилиндрической области .
В работах Сабитова К.Б.исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа
/>
в прямоугольнойобласти. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности идоказана теорема существования решения задачи Дирихле.
Изложенный в работахЕ.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применён при обоснованиикорректности постановки нелокальных начально-граничных и граничных задач дляразличных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.
Целью данной работыявляется доказательство единственности и существования решения следующих задач:
Рассмотрим вырождающеесяуравнение
/>(0.3)
где /> в прямоугольнойобласти />
/>заданныеположительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.
Задача 1. Найти вобласти /> функцию />,удовлетворяющую условиям:
/>; (0.4)
/> ; (0.5)
/> (0.6)
/> (0.7)
где />и />/> заданныедостаточно гладкие функции, причём />
Для того же уравненияисследована и следующая задача:
Задача 2. Найти вобласти /> функцию />,удовлетворяющую условиям:
/> (0.8)
/> ; (0.9)
/> (0.10)
/> (0.11)
где /> и />– заданныедостаточно гладкие функции, причём
/>, /> />, />
Для указанных задачустановлены критерии их однозначной разрешимости. Решения получены явно в виде соответствующихрядов.
1. Нелокальнаяграничная задача Ι рода
Рассмотримвырождающееся уравнение смешанного типа
/>(1)
где /> в прямоугольнойобласти />заданныеположительные числа, и для него исследуем следующую нелокальную задачу.
Задача 1. Найти вобласти /> функцию />,удовлетворяющую условиям:
/>; (2)
/> ; (3)
/> (4)
/> (5)
где />и />/> заданныедостаточно гладкие функции, причём />
Пусть />решение задачи (2)/>Рассмотримфункции
/> (6)
/> (7)
/>(8)
Дифференцируя дваждыравенство (8), учитывая уравнение (1) и условия (4), получим дифференциальноеуравнение
/> (9)
с граничными условиями
/>, (10)
/>(11)
Общее решение уравнения(9) имеет вид
/>
где /> и /> функции Бесселяпервого и второго рода соответственно,/>модифицированныефункции Бесселя, /> и /> произвольные постоянные,/>
Подберём постоянные /> и /> так, чтобывыполнялись равенства
/> (13)
Опираясь наасимптотические формулы функций Бесселя
/>
и модифицированныхфункций Бесселя
/>
в окрестности нуля,первое из равенств (13) выполнено при /> и любых /> и />, а второеравенство выполнено при
/>
Подставим полученныевыражения для постоянных /> и /> в (12), тогдафункции />примут вид
/>
/>
Отметим, что дляфункций (14) выполнено равенство
/>
Отсюда и из равенств(13) вытекает, что />являетсяпродолжением решения /> на промежуток /> и, наоборот, /> являетсяпродолжением решения /> на промежуток />. Следовательно,функции (14) принадлежат классу /> и удовлетворяетуравнению (9) всюду на />. Теперь наосновании (10) и (11) получим систему для нахождения /> и />:
/> (15)
Если определительсистемы (15):
/> (16)
то данная система имеетединственное решение
/> (17)
/> . (18)
С учётом (17) и (18) из(14) найдём окончательный вид функций
/> (19)
Где
/> (20)
/> (21)
/> (22)
/> (23)
Дифференцируя дваждыравенство (7) с учётом уравнения (1) и условий (4) для функции />, получимоднородное дифференциальное уравнение
/> (24)
с граничными условиями
/>(25)
Решение задачи (24) и(25) будет иметь вид
/> (26)
/>
/>
/>
/>
Аналогично для функции /> получаемнеоднородное уравнение
/> (27)
с граничными условиями
/> (28)
/>(29)
Общее решение уравнения(27) имеет вид
/>
Равенства /> будутвыполняться при следующих значениях постоянных
/>, />
при любых />и /> Подставимвыражения для постоянных /> и /> в (30), тогдафункции />примут вид
/> (31)
Для нахождения /> и /> на основании(28) и (29) получим систем
/> (32)
Если выполнено условие(16), то /> и /> определяются поформулам:
/> (33)
/>, (34)
Найденные значения /> и /> по формулам(33) и (34) подставим в (31), тогда функции /> будутоднозначно построены в явном виде:
/> (35)
Из формул (19), (26),(35) следует единственность решения задачи (2)/>так как если /> /> на />, то />, /> для />на /> Тогда из (6)/> имеем:
/>
/>
Отсюда в силу полнотысистемы
/>
в пространстве /> следует, чтофункция /> почти всюду на /> при любом />.
Таким образом, намидоказана следующая
Теорема 1. Еслисуществует решение /> задачи (2)/>то оноединственно только тогда, когда /> при всех />
Действительно, есливыполнено условие (16) и решение задачи (2)/> существует, тооно единственно. Пусть при некоторых /> и /> нарушеноусловие (16), т. е. /> Тогдаоднородная задача (2)/> (где /> имеетнетривиальное решение
/>
Выражение для /> на основанииследующих формул
/>
приводим к виду
/>
/>
/>
/>
Поскольку при любом /> и />
/>
где /> и />положительныепостоянные, то функция
/>
где /> в силу теоремыХилби /> имеет счётноемножество положительных нулей.
Следовательно, />при некоторых /> может иметьсчётное множество нулей независимо от />. Поскольку /> любое положительноечисло, то оно может принимать значения, близкие к нулям /> Поэтому прибольших n выражение/> может статьдостаточно малым, т.е. возникает проблема /> Чтобы такойситуации не было, надо показать существование /> и /> таких, что прилюбом /> и больших /> справедливаоценка
/>
Представим (16) вследующем виде
/> (36)
где
/>
Как известно /> функция /> строго убывает,функция /> строговозрастающая по />, поэтомувеличина
/>
есть бесконечно малаяболее высокого порядка, чем /> при больших />. Поэтомурассмотрим только выражение
/>
Используяасимптотическую формулу функции /> при />
/>
Получаем
/>
/>
Где
/>
Отсюда видно, что если,например,/>где /> то при />
/>
Тем самым справедливаследующая
Лемма 1. Существует /> и постоянная /> такие, что привсех /> и больших /> справедливаоценка
/> (37)
Рассмотрим следующиеотношения:
/>
/>, />
Лемма 2. При любом /> для достаточнобольших n справедливы оценки:
/>
/>;
/>;
/>
где />, /> здесь и вдальнейшем, положительные постоянные.
Доказательство. Сучётом (36) функция /> примет вид
/>
Оценим функцию /> при /> и больших /> :
/>
/>.
На основании поведенийфункций />в окрестностибесконечно-удалённой точки и леммы 1, получим
/> (38)
где />здесь и далеепроизвольные постоянные.
При 0/> и n>>1в силу асимптотических формул имеем
/>
/> (39)
Сравнивая (38) и (39)при любом /> получим
/>
Далее вычислимпроизводную
/>
/>
Оценим эту функцию при /> и больших />:
/>
/> (41)
При /> и большихфиксированных /> имеем
/>
/> (42)
Из оценок (41) и (42)следует, что при всех />
/>
Вторую производнуюфункции /> вычислимследующим образом:
/>
/>
/>
Используя формулы ([1],стр. 90)
/>
Получаем
/>
Зная оценку (40) для /> из последнегоравенства при всех /> имеем
/>
Функция /> с учётом (36)примет вид:
/> .
Оценим её, используялемму 1 при 0/> и больших n:
/>
/> (43)
При /> и большихфиксированных />:
/>
/> (44)
Из оценок (43) и (44)имеем:
/> (45)
Вычислим производную />:
/>
/>.
Оценим функцию /> при /> и />:
/>
/> (46)
При /> и /> имеем:
/>
/> (47)
Сравнивая (46) и (47)при всех />, получим
/>
Теперь вычислим вторуюпроизводную функции
/>
/>
/>
Используя формулы
/>
Получим
/>
Отсюда на основанииоценки (45) будем иметь
/> (48)
Аналогично получаемоценку для функции /> и />:
/>
/>
Лемма 3. При любом /> для достаточнобольших /> справедливыоценки:
/>
/>
/>
/>
Доказательство. Используя/> /> /> и /> функцию />, определяемуюформулой (19), представим в следующем виде:
/> (49)
Из (49) в силу леммы 2получим оценки для функций /> /> и /> Аналогичныеоценки справедливы и для функций /> /> и /> Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть /> /> то справедливыоценки:
/>
/> (50)
/>
/>
При получении оценок (50)дополнительно применяется теорема о скорости убывания коэффициентов ряда Фурьефункции, удовлетворяющей на />условию Гёльдерас показателем />
Теорема 2. Пусть /> /> и выполненыусловия (16) и (37). Тогда задача (2)-(5) однозначно разрешима и это решениеопределяется рядом
/> (51)
где функции />,/> /> определенысоответственно по формулам (26), (35), (19).
Доказательство. Посколькусистемы функций
/>
/>
образуют базис Рисса,то если />, тогда функцию /> можнопредставить в виде биортогонального ряда (51), который сходится в /> при любом />. В силу лемм 3и 4 ряд (51) при любом /> из /> мажорируетсясходящимся рядом
/>
поэтому ряд (51) в силупризнака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области />. Следовательно,функция /> непрерывна на /> как суммаравномерно сходящегося ряда (51). Ряды из производных второго порядка в /> мажорируютсятакже сходящимся числовым рядом
/>
Поэтому сумма /> ряда (51)принадлежит пространству /> и удовлетворяетуравнению (1) в />. Следствие 1. Построенноерешение /> задачи (2)-(5)принадлежит классу /> и функция /> всюду в /> являетсярешением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа /> уравнения (1)как особая линия устраняется.
2. Нелокальнаяграничная задача II рода
Рассмотрим уравнение(1) в прямоугольной области /> и исследуемсопряжённую относительно задачи 1 задачу.
Задача 2. Найти вобласти /> функцию />,удовлетворяющую условиям:
/> (52)
/> ; (53)
/> (54)
/> (55)
где /> и />– заданныедостаточно гладкие функции, причём />, /> />, />
Пусть />решение задачи(52)- (55). Вновь воспользуемся системами
/>
/>
Рассмотрим функции
/> , (56) /> (57)
/> (58)
Дифференцируя дваждыравенство (56) и учитывая уравнение (1), получим дифференциальное уравнение
/> (59)
с граничными условиями
/> (60)
/>(61)
Следуя §1 решениезадачи (59)-(61) построим в виде
/> (62)
Cучётом уравнения (1) продифференцируем дважды равенство (57). Получим дляфункции /> однородноедифференциальное уравнение
/> (63)
с граничными условиями
/> (64)
Решение задачи (63) и(64) имеет вид
/> (65)
Дифференцируя дваждыравенство (58) и учитывая уравнение (1) и условия (54), получаем неоднородноеуравнение для функции />
/> (66)
с граничными условиями
/>, (67)
/>. (68)
Решение этой задачиопределяется по формуле
/> (69)
Из формул (62), (65),(69) следует единственность решения задачи (52)-(55), так как если /> на />то />, />, /> для />на />Тогда из(56)-(58) имеем:
/>, />,
/>
Отсюда в силу полнотысистемы
/>
в пространстве /> следует, чтофункция /> почти всюду на /> при любом />.
Теорема 3. Еслисуществует решение /> задачи(52)-(55), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех nвыполняется условие (16).
Действительно, есливыполнено условие (16) и решение задачи (52)-(55) существует, то оноединственно. Пусть при некоторых /> и /> нарушеноусловие (16), т. е. />. Тогдаоднородная задача (52)-(55) (где /> ) имеетнетривиальное решение
/>
Теорема 4. Если /> /> />, /> и выполненыусловия (16) и (37), то существует единственное решение задачи (52)-(55) и онопредставимо в виде суммы ряда
/>
/>
где функции />, /> определенысоответственно по формулам (65), (62), (69).
Доказательство теоремы4 аналогично доказательству теоремы 2.
Следствие 2. Построенноерешение /> задачи(52)-(55) принадлежит классу /> и функция /> всюду в /> являетсярешением уравнения (1). Следовательно, линия изменения типа /> уравнения (1)как особая линия устраняется.
Литература
1. Бейтмен,Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн./>М.: Наука, 1966.Т./>
2. Берс,Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л.Берс. />М.: ИЛ, />
3. Бицадзе,А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач/ А.В. Бицадзе, А.А.Самарский // Докл. АН СССР. – 1969. – Т. 185. – № 4. – С. 739 – 740.
4. Бицадзе,А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных /
А.В. Бицадзе. – М.: Наука, 1981.–448 с.
5. Ватсон,Г.Н. Теория бесселевых функций.I./Г.Н. Ватсон.–М.: ИЛ, 1940.– 421 с.
6. Гудерлей,К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. – М.: ИЛ, 1960. – 421 с.
7. Джураев,Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов /Т.Д.Джураев – М.: ИЛ, 1961. – 208 с.
8. Жегалов,В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов //Неклассич. уравнения матем. физики. – Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. – С.172с.
9. Моисеев,Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. – М.:МГУ, 1988. – 150 с.
10. Пулькина,Л.С. Нелокальная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения /Л.С. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН,2002. – С. 176 – 184 с.
11. Репин,О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическаячасть которой – полуполоса / О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. – 1996.– Т. 32, №4. – С. 565 – 567 с.
12. Сабитов,К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б.Сабитов, Г.Г. Биккулова, А.А. Гималтдинова – Уфа.: Гилем, 2006. – 150 с.
13. Салахитдинов,М.С. Уравнения смешанно-составного типа – М.С. Салахитдинов. – Ташкент: Фан,1974. – 156 с.
14. Смирнов,М.М. Уравнения смешанного типа / М.М Смирнов. – М.: Высшая школа, 1985. – 304с.
15. Франкль,Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной,оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. – 1956. – Т.20. – №2. – с. 196 –202 с.