Гомельская научно — практическая конференция учащихся
по естественно — научным направлениям
«Поиск»
ГУО «Гимназия имени Я. Купалы»
Учебно-исследовательская работа
«Удивительные числа»
ученицы 5 «Г» класса
Гимназии имени Я. Купалы
г. Мозыря
Панглиш Ангелины Валерьевны
Научный руководитель-
учитель математики
II квалификационная категория
Борисевич Татьяна Александровна
2010
Содержание
Введение
Глава 1.О числе
Глава 2.Простые числа
2.1Простые числа. Решето Эратосфена
2.2Числа – близнецы
2.3Проблема Гольдбаха
Глава3.Фигурные числа
3.1 Фигурные числа
3.2Многоугольные числа
Глава 4.Дружественные, совершенные, компанейские числа
4.1Дружественные числа
4.2Совершенные числа
4.3Компанейские числа
Глава 5.Числовые суеверия и мистические представления чисел
5.1Число зверя 666
5.2Число Шахиризады
5.3Число на гробнице
Заключение
Литература
Введение
Возникновениечисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение безиспользования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечествуудалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадатькое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Беззамечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, нибудущее. А сколько ещё неразгаданного!
«Самыедревние по происхождению числа – натуральные. „Ручейки“ натуральныхчисел, сливаясь, порождают безбрежный океан вещественных и разного рода особыхспециальных чисел», так писал о числах Б.А.Кордемский в своей книге «Удивительныймир чисел».
Предметоммоего исследования являются натуральные удивительные числа и их свойства.
Цель работы:как можно больше отыскать удивительных натуральных чисел, установить ихсвойства и закономерности.
Предлагаемаяработа является результатом поиска удивительных и необычных чисел, проведенногопо литературным источникам.
Основнымиметодами исследования видов чисел являются изучение и обработка литературныхисточников, систематизация данных.
Задачиисследования:
1. Рассмотреть основные этапы развития натуральных чисел.
2. Выделить интересные виды удивительных натуральных чисел: простые, числа- близнецы, фигурные, совершенные, дружественные и другие.
3. Установить целый ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.
4. Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах.
Глава 1. Очисле
Число являетсяодним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связис изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.
Существуетбольшое количество определений понятию «число». О числах первый началрассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание «Всё прекрасноблагодаря числу». По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6–холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. А число 10 называли «священнойчетверицей», так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом иолицетворяла всю Вселенную.
Первое научноеопределение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица естьто, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Числоесть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа ирусский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).
Считается, чтотермин «натуральное число» впервые применил римский государственныйдеятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, тоесть природном ряде чисел.
Понятием «натуральноечисло» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийсяфранцузский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).
Первоначальныепредставления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе отпростого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н.э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление.Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что онпридумал числа: «один» и «два». Остальные количества длянего оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать вповседневной жизни, в связи, с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»…Долгое время пределом познания было число «семь».
О непонятномговорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказкахдавали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо былонастоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семьложек».
Познаваемый мирусложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им сталочисло 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временамчислом «сорок сороков», равным 1600.
Большой интересвызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует ввавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа.Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотойидол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением(неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следыкоторой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.
Следующимпределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков –мириада), равное 10 000, а запределом – «тьма тьмущая», равное 100миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большоечисло» или «большой счет»).
В Античном миредальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислениипесчинок» — до числа 10, возведенного в степень 8×1016, и Зенон Элейский (IVв. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.
Долго и трудночеловечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось,чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы добесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что ими обозначалисьреальные неделимые объекты: люди, животные, вещи… Самое трудное было придуматьнуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая точно датированнаязапись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г.
Глава 2. Простыечисла
2.1 Простыечисла. Решето Эратосфена
Каждоенатуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело неделится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целыеделители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, нисоставным.
Небольшую «коллекцию»простых чисел можно составить старинным способом, придуманный ещё в 3 в. до н.э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.
Выпишемнесколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, аостальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3.Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. Приэтом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например,6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число – это 5. Берем пятерку, аостальные числа, кратные 5, зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, вконце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простыечисла – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получилназвание «решето Эратосфена».
/>
Простых чиселбесконечное множество.
2.2 Числа –близнецы
Два простыхчисла, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название «близнецы».В натуральном ряду имеется даже «тройня» — это числа 3, 5, 7. Ну асколько всего существует близнецов — современной науке неизвестно.
В пределахпервой сотни близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13),(17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуляблизнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться вскопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Какмного таких скоплений – тоже пока неизвестно.
2.3 ПроблемаГольдбаха
В 1742 г. член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предложение, что любоецелое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чемтрех простых чисел.
50 = 47 + 3, 46= 43 + 3, 32 = 29 + 3.
Гольдбахиспытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзябыло бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли таквсегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа «проблемойГольдбаха» и сформулирована так, требуется доказать или опровергнутьпредложение:
Всякое число,большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.
Л. Эйлерответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще болееинтересную догадку: «Всякое четное натуральное число, большее двух,представляет собой сумму двух простых чисел».
12 = 5+ 7; 64 =59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;
162 = 157 + 5 =151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.
Почти 200 летвыдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха – Эйлера, нобезуспешно.
Глава 3. Фигурныечисла
3.1 Фигурные числа
Давным-давно,помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры,которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один,два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, тополучаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатсячисла, делящиеся на три.
/>
Фигурные числа— общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.
Различаютследующие виды фигурных чисел:
Линейныечисла — числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает срядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Плоскиечисла — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то естьсоставные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
Телесныечисла — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18,20, 24, 27, 28, …
3.2 Многоугольные числа
Выкладываяразличные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольныхчисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвестичисло в квадрат или в куб».
Последовательностьтреугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д. (1, 1+2=3,1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)
/>
Квадратныечисла представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, тоесть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4,1+3+5=9, 1+3+5+7=16).
Пятиугольныечисла 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145
Пирамидальныечисла возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они нераскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде — треугольноечисло. Наверху один камушек, под ним — 3, под теми — 6 и т.д.: 1, 1+3=4,1+3+6=10, 1+3+6+10=20,…
/> />
Кубическиечисла возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125…и так далее.
Глава 4.Дружественные, совершенные, компанейские числа
4.1 Дружественныечисла
Дружественныечисла – это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первогочисла (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второгочисла (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античногофилософа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом,ответил: «Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284».
Историядружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа былиоткрыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну парудружественных чисел – 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойстводружественных чисел:
1 + 2 + 4 + 5 +10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,
1 + 2 + 4 + 71+ 142 = 220.
Долгосчиталось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном изтрактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: «Числа17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ».
А задолго доИбн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901)сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:
если длянекоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1и r=9·22n-1-1 простые, то числаA=2npq и B=2nr — дружественные.
При n=2, числа p=5, q=11,r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и284.
При n=4, числа p=23, q=47,r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны иФерма 17296 и 18416.
При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французскимматематиком и философом Рене Декартом.
После Декартапервым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пардружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работупродолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец НикколоПаганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитыематематики, изучавшие дружественные числа.
Пару чисел 220и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы свыгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплениюлюбви.
Дружественныечисла продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которыходно число четное, а другое — нечетное? Конечно или бесконечно число пардружественных чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все парыдружественных чисел?
4.2 Совершенныечисла
Иногда частнымслучаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенноечисло дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик,писал: " Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки инемногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными инедостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чиселнемного" Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры незнал.
Совершеннымназывается число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключаясамо число).
Первымпрекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, былочисло «6». На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый,самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан вшесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем «6»,нет, поскольку оно первое среди них.
Рассмотримчисло 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители,отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6дружественно самому себе и является первым совершенным числом.
Следующимсовершенным числом, известным древним, было «28». Мартин Гарднерусматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28суток, потому что число «28» – совершенное. В Риме в 1917 году приподземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большогоцентрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было зданиенеопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. Допоследнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которогодавным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклидабыли известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют лидругие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.
Благодаря своейформуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.
Почти полторытысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могутли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, иникто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формулеЕвклида.
Формула Евклидапозволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.
– Всесовершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров,мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.
– Всесовершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубовпоследовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53…
– Суммаобратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.
Кроме того,совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=2×2, 8 = 2· 2· 2, 16 = 2 ·2 · 2 · 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут бытьпредставлены в виде 2n, где n –число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают»до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицуменьше самого числа.
– Всесовершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36,56, 76 или 96.
4.3 Компанейскиечисла
Понятиясовершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе позанимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числамогут дружить и компаниями. Понятие компанейских чисел хорошо раскрывается ванглоязычных источниках.
Компанейскиминазывается такая группа из k чисел, в которых суммасобственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителейвторого – третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.
Есть компании по4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено. Пример пятёрки,пока единственной известной: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.
Глава 5.Числовые суеверия и мистические представления чисел
5.1 Числозверя 666
Число зверя 666— число Смита, сумма его цифр равна сумме цифр его простых сомножителей: 2+ 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18.
666 являетсясуммой квадратов первых семи простых чисел:
22 +32 + 52 + 72 + 112 + 132+ 172 = 666.
666 равноразности и сумме шестых степеней первых трёх натуральных: 16 −26 + 36 = 666.
666 равно суммесвоих цифр и кубов своих цифр:
6 + 6 + 6 + 63+ 63 + 63 = 666.
666 можнозаписать девятью различными цифрами двумя способами в их возрастающем порядке иодним в убывающем:
1 + 2 + 3 + 4 +567 + 89 = 666
123 + 456 + 78+ 9 = 666
9 + 87 + 6 +543 + 21 = 666
Сумма всехцелых от 1 до 36 включительно — 666. Это означает, что 666 — это 36-етреугольное число.
5.2 ЧислоШахиризады
ЧислоШахиризады — число 1001, которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок«Тысяча и одна ночь». С точки зрения математики число 1001 обладаетцелым рядом интереснейших свойств: это самое маленькое натуральноечетырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двухнатуральных чисел:1001=103+13; число 1001 состоит из 77злополучных чертовых дюжин (1001=13· 77); или из 91 числа 11, или из 143семёрок; далее, если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 — количество ночей в течение 1+ 1+ + года или по- другому: 1001= 52 · 7 +26. 7+13· 7. В числе Шахиризады литература переплетается с математикой.
5.3 Число нагробнице
В одной изегипетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированноеиероглифами число 2520. трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долюэтого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все безисключения целые числа от 1 до 10. действительно, нет числа, меньшего, чем2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это числоявляется наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка. Это минимальноечисло, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Заключение
Среди всехинтересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое местозанимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа.
Из огромногомногообразия натуральных чисел ученые выделили дружественные и совершенныечисла, обладающие рядом очень интересных свойств.
Анализируянаучно-популярную литературу о совершенных и дружественных чисел, можноубедиться, что формулы общего вида для нахождения всех пар дружественных,совершенных чисел не существует. Вопрос о существовании: бесконечностимножества четных совершенных чисел, нечетного совершенного числа,четно-нечетной пары дружественных чисел и взаимно простых дружественных чиселоткрыт до сих пор.
Причем нередкоодно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно частоповторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось истановилось достоянием всех народов. Математика невольно связывает единой нитьюнароды мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.
Мир полон тайни загадок. Но разгадать их могут только пытливые.
Современнаянаука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изученияприходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжитьизучение чисел, ведь я только знаю натуральные числа.
Литература
1. Я. Познаюмир. Детская энциклопедия: Математика/ Я 11 Авт.-сост. А.П. Савин и др.: — М.:ООО «Издательство АСТ», 2001.
2.Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.:Просвещение, 1981.
3.Г.Н.Берман Число и наука о нем. Общедоступные очерки. Москва: Гос. издание технико– технической литературы 1984.
4. И.Депман. Мир чисел. Рассказы о математике. Ленинград «Детская литература»1988.
5. Я.И.Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада –литера 1994.
6.И.Я.Депман. Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. Пособие дляучащихся 5-6 классов. Издательство«Просвещение» 1989.
7. Е.КарпеченкоТайны чисел.Математика /Прил. К газете «Первое сентября» №13 2007.
8. А.Н.Крылов.Числаи меры. Математика/ Прил. К газете «Первое сентября»№7 1994
9. Internet ресурсы