Контрольная работа
Дисциплина:
«Высшая математика»
Тема:
«Универсальнаятригонометрическая подстановка»
1. Универсальнаятригонометрическая подстановка
Рассмотрим интегрированиевыражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которымивыполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называютсярациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случаеобозначаются />. Например,
/>, />, />.
В то же время функция /> рациональной не является.
Теорема. Интеграл вида /> с помощью подстановки /> преобразуется в интегралот рациональной дроби.
Для доказательствавыразим />, /> и /> через />:
/>;
/>;
/>.
В результате проведенныхпреобразований />, /> и /> превратились врациональные дроби от />. Подставляя их висходный интеграл, получаем:
/>.
В данном выражениирациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над нимивыполняются лишь арифметические операции, то в результате получается такжерациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функцийможно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.
Подстановка
/>, />, />, />
называется универсальнойтригонометрической подстановкой.
2. Частные случаиинтегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции
Рассмотренная в п. 11универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интегралот функции вида />. Однако на практикеона часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которыхпредставляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов оттригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.
1. Интегралы типа /> удобно вычислять с помощьюподстановки />. Тогда /> и получаем простойинтеграл />.
2. Интегралы типа /> удобно вычислять с помощьюподстановки />. Тогда /> и интеграл приводится квиду />.
3. Если подынтегральнаяфункция зависит только от /> (/>), то удобна замена />. В этом случае /> и />. В результате получаем />.
4. Если подынтегральнаяфункция является рациональной относительно четных степеней /> и />, то есть />, то в этом случае такжеудобна замена />. При этом:
/>;
/>;
/>.
Данная подстановка в этомслучае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальнойтригонометрической подстановки.
Пусть дан интеграл />, где /> и при этом хотя бы одно изэтих чисел нечетное. Допустим, что />. Тогда
/>.
Далее делается замена />, и получаем />.
6. Пусть дан интеграл />, где /> и /> неотрицательные и четные.Положим, что />, />. Тогда
/>; />.
Данная замена позволяет вдва раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки винтеграле />, получаем снова случаи 5или 6.
7. Пусть дан />, где /> и /> – четные и хотя бы одно изэтих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.
8. В случае /> используетсятригонометрическая формула
/>
и интеграл превращается вдва табличных интеграла.
9. В случае /> используетсятригонометрическая формула
/>.
10. В случае /> используетсятригонометрическая формула
/>.
3. Тригонометрическиеподстановки для интегралов вида/>
Рассмотримтригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводятподынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от />и />. Вначале выполняетсявыделение полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной заменыпеременной), в результате этого интеграл сводится, в зависимости от знаков />и дискриминантатрёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов:
/>, />, />.
Следующий шаг:
1) /> рационализируетсяподстановкой x = a sin t (или x = a cos t).Замена переменной в неопределённом интеграле.
2) /> рационализируетсяподстановкой /> (или />, или />).
3) /> рационализируетсяподстановкой x = a tg t (или x = a ctg t,или x = a sh t).
/>Пример 1. />. Интеграл вида />, из возможныхподстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t.
/>,
поэтому />
/>
/>
или
/>.
/>Пример 2.
/>
/>
/>
3. Интегрированиенекоторых алгебраических иррациональностей
Рассмотрим теперьинтегрирование функций, содержащих радикалы. Не от всякой иррациональнойфункции интеграл выражается через элементарные функции. Однако в наиболеепростых случаях, когда над радикалами выполняются рациональные действия, этоудается сделать. Необходимо отметить, что все такие иррациональные функцииинтегрируются посредством их рационализации, то есть избавления от корней.
1. Пусть дан интеграл
/>,
где />, />,…, />, />. Найдем общий знаменательдробей />,…, />. Пусть это число />. Сделаем подстановку />, />. В этом случае все дробныестепени становятся целыми и подынтегральная функция становится рациональнойотносительно />.
2. Рассмотрим общийслучай подобных интегралов:
/>,
где />, />,…, />, />.
Чтобы получитьрациональную функцию, находят общий знаменатель дробей />,…, /> (обозначим его />) и делают заменупеременной />. В этом случае
/>
/>.
Очевидно, если /> и />, то случай 2 переходит вслучай 1. Кроме того, необходимо иметь в виду, что в обоих случаях основаниявсех степеней должны быть одинаковы: в первом случае />, во втором – />.
4. Интегрированиенекоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
Рассмотри сноваинтегралы, содержащие квадратный трехчлен:
/>/>.
Выделив полный квадратпод корнем, получим один из трех интегралов: />, />, />. Все они вычисляются с помощьютригонометрических подстановок.
1. />
/>.
2. />
/>.
3. />
/>.
Во всех трех случаяхпосле проведенных подстановок интегралы пришли к виду, рассмотренному в п. 2.
5. Интегралы, невыражающиеся через элементарные функции
В п. 1 быласформулирована теорема о том, что любая непрерывная функция имеетпервообразную. Однако необходимо иметь в виду, что не всегда первообразнаявыражается в конечном виде через элементарные функции.
К таким интеграламследует отнести
/>, />, />, />,
/> (/>).
Во всех подобных случаяхпервообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится ккомбинации конечного числа элементарных функций.
Например, та изпервообразных />, котораяобращается в нуль при />, называетсяфункцией Гаусса и обозначается />. Этафункция хорошо изучена, составлены подробные таблицы ее значений. То же самоеможно сказать и о других подобных функциях.
Литература
1. Александров В.В.,Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В.,Потапов М.К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник.М: Высшая школа, 2001. – 736 с.
2. КрищенкоАлександр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие длястудентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.
3. МакарычевЮрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.
4. ПотаповМихаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями.Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.
5. Тоом А.,Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.
6. Шахмейстер А.Х.ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-е изд. МГУ, 2006. – 672 с.