--PAGE_BREAK--Глава 2. §1.Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений
Обобщение понятия степени.
Определение: Пусть , корнем -ой степени из чиста называется такое число, -я степень которого равна .
Согласно данному определению корень -ой степени из числа – это решение уравнения . Число корней этого уравнения зависит от и . Рассмотрим функцию . Как известно, на промежутке эта функция при любом возрастает и принимает все значения из промежутка . По теореме о корне уравнение для любого имеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем -ой степени из числа и обозначают ; число называют показателем корня, а само число – подкоренным выражением. Знак называют так же радикалом.
Определение:Арифметическим корнем -ой степени из числа называют неотрицательное число, -я степень которого равна .
При четных функция четна. Отсюда следует, что если , то уравнение , кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.
При нечетных значениях функция возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение имеет один корень при любом и, в частности, при . Этот корень для любого значения обозначают .
Для корней нечетной степени справедливо равенство . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, .
Замечание 1. Для любого действительного
Замечание 2. Удобно считать, что корень первой степени из числа равен . Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.
Напомним известные свойства арифметических корней -ой степени.
Для любого натурального , целого и любых неотрицательных целых чисел и справедливы равенства:
1. .
2. .
3. .
4.
5. .
Перейдём к введению степени с рациональным показателем.
Выражение определено для всех и , , кроме случая при . Напомним свойства таких степеней.
Для любых чисел , и любых целых чисел и справедливы равенства:
Отметим так же, что если , то при и при
Определение:Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное , называется число .
Итак, по определению .
При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).
§2. Показательная функция.
Это функция вида (,). Для неё , , , и при график имеет такой вид:
При вид графика такой:
1. Число называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
(ax)¢=axlna
4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а
5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6. График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1.
7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.
8. При любых действительных значениях и справедливы равенства
Эти формулы называют основными свойствами степеней.
Можно так же заметить, что функция непрерывна на множестве действительных чисел.
§3. Логарифмическая функция.
Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , то бы получить число .
Формулу (где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.
При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом ()и любых положительных и выполнены равенства:
1.
2.
3.
4.
5. для любого действительного .
Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому: .
Перейдём к определению логарифмической функции
Пусть – положительное число, не равное 1.
Это функция вида
ü Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).
ü Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.
ü Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле
(
loga
x
)
¢
=
ü Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0a
ü Логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
ü При любом основании a >0, a¹1, имеют место равенства
loga
1 = 0,
loga
a
=1.
ü При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0a
при график имеет такой вид:
При график получается такой:
продолжение
--PAGE_BREAK--