--PAGE_BREAK--
После подготовительной работы переходят к объяснению нового материала – письменное умножение (в столбик) многозначных чисел. Особенностью является то, что примеры как и умножение трехзначных на однозначное выполняются так же и любые многозначные числа на однозначные. Выполняют умножение значения величины на число (переводят в одну величину, затем умножают на число и потом еще раз переводят в два именованных числа). Даны задачи на умножение величины на число; далее задания на повторение: примеры на все действия, работа с геометрическим материалом, что вызывает интерес у детей, способствует развитию их познавательных способностей.
На третьем уроке знакомятся с приемом умножения, когда в записи первого множителя есть нули. Вспоминают правила умножения с числами 1 и 0; выполняют устные упражнения; примеры на закрепление разнообразные. Как и на предыдущих уроках в учебнике даны 2 текстовые задачи и примеры на все действия. На полях учебника дан геометрический материал, который развивает геометрическую зоркость; задание на повторение устной нумерации мн-ых чисел; дан ребус на полях на нахождение неизвестных множителей (1-ого и 2-ого) и произведения.
На четвертом уроке знакомятся с приемом умножения на однозначное число многозначных чисел, оканчивающихся одним или несколькими нулями. Для закрепления даны примеры (№446.) Даны три текстовые задачи на закрепление материала; примеры на деление с остатком; задание на повторение таблицы единиц времени; задача на смекалку и дан ребус на нахождение неизвестных множителей и произведения.
На пятом уроке знакомятся с решением уравнений на основе знания связей между множителями и произведением. (вводятся уравнения более сложной структуры) Задания на закрепление разнообразные: сложение и вычитание именованных чисел, задачи, примеры на все арифметические действия. Дан геометрический материал на сравнение периметра и площади фигур.
На следующем уроке рассматривается деление на однозначное число.
Идет повторение изученного материала о действии деления, закрепляют умение решать задачи с именованными числами; дано задание на разложение на сумму разрядных слагаемых, а также на сумму удобных слагаемых; на нахождение частного и остатка; устные упражнения. Задания на повторение предполагают не только выполнения действия, но и его проверку (№460). Даны примеры на все действия, задание развивающего характера («Головоломка»).
На седьмом уроке знакомятся с письменным делением на однозначное число.
Примеры на закрепление (№466) выполняют с рассуждением. Дана задача с буквенной символикой, задача на нахождение части от числа; примеры на все действия. Также включен геометрический материал развивающего характера.
На следующем уроке продолжается работа по формированию умения выполнять письменное деление трех- четырехзначных чисел на однозначные, включив случаи, когда число единиц высшего разряда делимого меньше делителя; и т.д.
Анализ учебника показывает, что упражнений для усвоения алгоритма сложения и вычитания достаточно. Все они очень разнообразные, представлены в различных формах. С помощью таких упражнений предупреждаются ошибки, допускаемые учащимися.
Для формирования алгоритма умножения и деления мы нашли недостаточно
упражнений. И считаем, что нужно использовать дополнительные упражнения.
1.3. Теоретические основы формирования алгоритма письменного приема сложения, вычитания, умножения и деления.
Рассмотрим теоретические основы выполнения письменного сложения.
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.
Например,
Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.
Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:
341 + 7238 = (3 х102 + 4 х 10 + 1) + (7 х 103 + 2 х 102 + 3 х 10 + 8)
Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3 х 102 + 4 х 10 + 1 + 7 х 103 + 2 х 102 + 3 х 10 + 8
На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые:
7 х 103 + 3 х 102 +2 х 102 +4 х 10 + 3 х 10 + 1 + 8
Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:
7 х 103 + ( 3 х 102 + 2 х 102) + ( 4 х 10 + 3 х 10) + (1 + 8)
Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102 , а во второй - 10 . Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:
7 х 103 + (3 + 2) х 102 + (4 + 3) х 10 + ( 1 + 8 )
Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения:
7 х 103 + 5 х 102 + 7 х 10 + 9
Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.
Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:
— способ записи чисел в десятичной системе счисления;
— свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
— дистрибутивность умножения относительно сложения;
— таблица сложения однозначных чисел.
Не трудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436.
Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами:
(7 х 102 + 4 х 10 + 8) + ( 4 х 102 + 3 х 10 + 6)
Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду:
(7 + 4 ) х 102 + (4 + 3) х 10 + (8 + 6)
Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1х10+4:
(7 + 4) х 102 + (4 + 3) х 10 + (1 х 10 + 4)
Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7 + 4) х 102 + (4 + 3 + 1) х 10 + 4
Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде
1 х 10 + 1 , получаем: (1 х 10 + 1) х 102 + 8 х 10 + 4
Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184.
Следовательно, 748+436=1184
Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа:
Х=AП х 10п + Ап-1 х 10п-1 +… + Ао и У = вп х10п + вп-1 х 10п-1 + …+ во ,
т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково.
Х+У = (ап х 10п + ап-1 х 10п-1 + …+ ао) + (вп х 10п + вп-1 х 10п-1 +…+ во) = (ап + вп) х 10п +
+(ап-1 + вп-1) х10р-1 +…+ (ао + во)
-преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (ап+ вп) х 10п +
+(ап-1 + вп-1) х 10п-1 + … + (ао + во) ,
вообще говоря , нельзя рассматривать как десятичную запись числа х+у, т.к. коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы ак + вR не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее R , для которого aR+ вR≥10.
Если aR+ вR≥10 , то из того, что 0 ≤ Ar≤ 9 и 0 ≤ ВR≤ 9 , следует неравенство 0≤≤ aR+ вR≤ 18 и поэтому аR+вR можно представить в виде аR+ вR= 10 + сR , где 0 ≤cR≤9.
Но тогда (аR+ вR) х 10R= (10 + cR ) x10R=10R+1cRx10R
В силу свойств сложения и умножения в (ап + вп) х 10п + … + (ао + во)
Слагаемые (аR+1+вR+1) x10R+1+ ( aR+ вR) x10R
могут быть заменены на (aR+1+ вR+1+1) x10R+1 +cRx10R
После этого рассматриваем коэффициенты ап+вп, ап-1 + вп-1 ,…, аR+2+вR+1 , аR+1 +вR+1 +1,
выбираем наименьшее S , при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через п шагов придем к выражению вида: х + у =
=(сп + 10) х 10п + … + со , где сп ≠0 , или х+у = 10п+1 + сп х 10п +…+ со ,
и где для всех п выполняется равенство 0 ≤Сп
В случае, когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уровняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения. Он позволяет сформулировать в общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления.
1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг за другом.
2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).
3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде
Ао+ во = 1 х 10 + со, где со -однозначное число; записывают со в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на1 и выполняем сложение 1+0=1
Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».
АЛГОРИТМ ВЫЧИТАНИЯ.
Вычитание однозначного числа в из однозначного числа А, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа С, что В+С=А, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.
Если же числа А и В многозначные и в
Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде:
485 – 231 = (4 х 102 + 8 х 10 + 5) – (2 х 102 + 3 х 10 + 1)
Чтобы вычесть из числа 4 х 102 + 8 х 10 + 5 сумму 2 х 102 + 3 х 10 + 1 , достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:
( 4 х 102 + 8 х 10 + 5) – (2 х 102 + 3 х 10 + 1) = (4 х 102 + 8 х 10 + 5)- 2 х 102 – 3 х 10 — 1
Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2х102 вычтем из слагаемого 4х102 , число 3х10 — из слагаемого 8х10 , а число 1 –из слагаемого 5, тогда: (4 х 102 + 8 х 10 + 5) – 2 х 102 – 3 х 10 – 1 = (4 х 102 – 2 х 102 ) + (8 х 10 – 3 х 10)+
+ ( 5 – 1 )
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 – 2 )х 102+ (8 – 3) х 10 + +(5—1)
Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 х 102 + 5 х 10 + 4 , которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 – 231 =254 Выражение (4 – 2) х 102+(8-3)х10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:
Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:
— способе записи числа в десятичной системе счисления;
— правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
— свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;
— таблице сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 – 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 760 – 326 = (7 х 102 + 6 х 10 + 0) – (3 х 102 + 2 х 10 + 6)
Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц – десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение:
(7 х 102 + 5 х 10 + 10) – ( 3х 102 + 2 х 10 + 6)
Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 – 3) х 102 + (5 – 2) х 10 + (10 – 6) или 4 х 102 + 3 х 10 + 4
Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит,
760 – 326 = 434
Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде:
Пусть даны два числа х = ап х 10п + ап-1 х 10п-1+…+ао и у = вп х 10п + вп-1 х10п-1+…+во
Известно также, что у
Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех R выполняется условие aR≥вR . Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее R , для которого aR R и am≠0, а am-1= … = aR+1=0. Имеет место равенство
Amx10m= (am– 1) x10m+ 9 x10m-1+ …+9 x10R+1+ 10 x10R (например, если m=4, R=1, am= 6, то 6х10 продолжение
--PAGE_BREAK--4 = 5 х 104 + 9 х 103+ 9 х 102 + 10 х 10).
Поэтому в равенстве (1) выражение (am– вm) x10m+ … +(aR — вR) x10R
Можно заменить на (am– вm– 1 ) x10m+ (9- вm-1)x10m-1+ …+ (9 – вR+1)x10R+1+ (aR+ 10 – вR) x10R
Из того, что aR
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.
3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е вo > ao,
а цифра десятков отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + ао число во и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.
4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем во из 10 + ао , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.
5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.
6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ.
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Умножим, например, столбиком 428 на 263.
Видим, что для получения ответа нам пришлось
умножить 428 на 3 , 6 и 2, т.е. умножить
многозначное число на однозначное; но, умножив
на 6, результат записали по особому, поместив единицы
числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.
Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
— умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;
— складывать многозначные числа.
Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4 х 102 + 2 х 10 + 8 и тогда 428 х 3 = (4 х102+ 2 х 10 + 8 )х3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4 х 102 ) х 3 + (2 х 10) х 3 + 8 х 3
Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12 х 102 + 6 х 10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12 х 102 + 6 х 10 + 24
-коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 х 10 + 2, а число 24 в виде 2 х 10 + 4. Затем в выражении (1 х 10 + +2) х 102 + 6 х 10 +(2 х 10 + 4) раскроем скобки: 1 х 103 + 2 х 102 + 6 х 10 + 2 х 10 + 4 На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6 х 10 и 2х10 и вынесем 10 за скобки: 1 х 103 + 2 х 102+ (6 + 2) х 10 + 4 . Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения:
1 х 103 + 2 х 102 + 8 х 10 + 4
Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428 х 3 = 1284.
Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на :
— записи чисел в десятичной системе счисления;
— свойствах сложения и умножения;
— таблицах сложения и умножения однозначных чисел.
Введем правило умножения однозначного числа на однозначное в общем виде Пусть требуется умножить х = ап х 10п + ап-1 х 10п-1 + …+ ао на однозначное число У: Х х У = ( ап х 10п + ап-1 х 10п-1 +…+ ао ) х У = (ап х У) х 10п + (ап-1 х У)х 10п-1 + … + ао х У, причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения аRxУ, где 0 ≤R ≤п ,
соответствующими значениями аRх У = вRх 10 + с и получаем:
Х х У = (вп х 10 + сп ) х 10п + (вп-1 х 10 + сп-1 ) х 10п-1 +…+ ( в1 х 10 + с1 ) х 10 +( во х 10 + со ) =вп х 10п+1 + (сп + вп-1 ) х 10п + …+ ( с1 + во ) х 10 + со
По таблице сложения заменяем суммы сR+ вR-1 , где 0 ≤R ≤п и R= 0, 1, 2, …, п, их значениями.
Если, например, со однозначно, то последняя цифра произведения равна m а к скобке (с1 + во ) надо прибавить 1.Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа Х х У.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа апап-1 …а1ао на однозначное число У.
1. Записываем второе число под первым.
2. Умножаем цифры разряда единиц числа Х на число У. Если произведение меньше10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
3. Если произведение цифр единиц числа Х на число У больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + co , где co -однозначное число; записываем co в разряд единиц ответа и запоминаем q1 -перенос в следующий разряд.
4. Умножаем цифры разряда десятков на число У, прибавляем к полученному произведению число q1, и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.
5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
Как известно, умножение числа Х на число вида 10R сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа R нулей.
Покажем это. Умножим число Х = ап х 10п + ап-1 х 10п-1 +…+ ао на 10R: ( ап х 10п + ап-1 х 10п-1 +…+ао ) х 10R= aпх 10п+R + ап-1 х 10п+R-1 + …+ ao x10R
Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа
Апап-1 …а1ао0…0 , т.к. равно ап х 10п+R+ aп-1х 10п+R-1 +…+aox10R+ 0 x10R-1+ 0 x10R-2+ … +0 x10 + 0 Например , 347 х 103 = (3 х 102 + 4 х 10 + 7) х 103 = 3 х 105 + 4 х 104 + 7 х 10 3= 3 х 105 +4 х 104+ 7 х 103 +0 х 102 + 0 х 10 + 0 = 347000
Заметим еще, что умножение на число У х 10R , где У – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число У и на число 10R. Например,
52 х 300 = 52 х (3 х 102 ) = ( 52 х 3 ) х 102 = 156 х 102 = 15600
Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 х 263
Представим число 263 в виде суммы 2 х 102 + 6 х 10 + 3 и запишем произведение 428 х (2 х 102 + 6 х 10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 х (2 х 102 ) + 428 х (6 х 10) + 428 х 3 Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим:( 428 х 2) х 102 + (428 х 6)х х10+428х 3 Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.
Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть Х и У – многозначные числа, причем у=вmx10m+ вm-1x10m-1+…+во
В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: Х х У = Х х(вmx10m+вm-1x10m-1+…+ во) =( Х х вm) x10m+ (Xxвm-1) x10m-1+…+ Х х во
Последовательно умножая число Х на однозначные числа вm, вm-1,…, во, а затем на 10m ,10m-1, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна Х х У Приходим к алгоритму умножения числа Х= апап-1 … а1ао на число У = вmвm-1…в1 во
1. Записываем множитель Х и под ним второй множитель У.
2. Умножаем число Х на младший разряд во числа У и записываем произведение Х х во под числом У.
3. Умножаем число Х на следующий разряд в1 числа У и записываем произведение Х х в1 , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению Х х в1 на 10.
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления Х х вR
5. Полученные R+ 1 произведения складываем.
Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:
428 х 3 = ( 400+ 20 + 8) х 3 = 400 х 3 + 20 х 3 + 8 х 3 =1200 + 60 + 24 = 1284
Основой выполненных преобразований являются:
— представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);
— правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);
— умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.
АЛГОРИТМ ДЕЛЕНИЯ.
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число А на натуральное число В – это значит найти такие целые неотрицательные числа qи r ,
Что а = вq+r, причем 0≤ r
Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 х 6 = 54 . Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Таким образом, чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45: 51 – 45 = 6. Значит, 51 = =9 х 5 + 6 , т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:
Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 — это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378 = 4q+ r , причем остаток r должен удовлетворять условию 0 ≤ r
Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q . Однозначным числом q быть не может, так как тогда произведение 4qможет быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для rи q . Если число q двузначное, т.е. если 10
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4 х 90 = 360, а 4 х 100 = 400, и 360
откуда 360 + 4qo≤378
--PAGE_BREAK--≤18
Число qo (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что qo= 4 и, следовательно, неполное частное q= 90 + 4 = 94 Остаток находится вычитанием: 378 – 4 x94 = 2
Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2:
378 – 4 x94 + 2. Описанный процесс является основой деления уголком:
Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316 = 52q+ r,0 ≤ r
Определим число цифр в частном q . Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q— двузначное число), так как 520
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 х 80 = 4160, а 52 х 90 = 4680, и 4160
52 x (80 + qo ) ≤4316
4160 + 52qo≤4316
52qo≤156
Число qo(цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52 х 3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.
Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:
Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа А на натуральное число В является следующий алгоритм деления уголком.
1. Если А=В, то частное q= 1 , остаток r= 0
2. Если a> в, и число разрядов в числах А и В одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая В на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как a
3. Если а >в и число разрядов в числе А больше, чем в числе В, то записываем делимое А и справа от него делитель В, который отделяем от А уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:
а) Выделяем в числе А столько старших разрядов, сколько разрядов в числе В или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное В. Перебором находим частное q1 чисел d1 и в, последовательно умножая В на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q1 под уголком (ниже В).
б) Умножаем В на q1и записываем произведение под числом А так, чтобы младший разряд числа вq1 был написан под младшим разрядом выделенного числа d1 .
в) Проводим черту под вq1 и находим разность r1= d1– вq1
г) Записываем разность r1 под числом вq1 , приписываем справа к r1старший разряд из неиспользованных разрядов делимого А и сравниваем полученное число d2 с числом В.
д) Если полученное число d2 больше или равно В, то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q2 записываем после q1.
е) Если полученное число d2 меньше В, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3 , большее или равное В. В этом случае записываем после q1 такое же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пп.1,2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа А окажется, что d3
ГЛАВА 2. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. ПУТИ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И ИСПРАВЛЕНИЯ.
2.1. ХАРАКТЕРИСТИКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ.
Одной из главных задач обучения младших школьников математике является формирование у них вычислительных навыков, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.
По мнению М.А.Бантовой вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки – значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.
Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.
ПРАВИЛЬНОСТЬ – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.
ОСОЗНАННОСТЬ - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. Как буде показано далее, в процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.
РАЦИОНАЛЬНОСТЬ - ученик, сообразуясь с конкретными условиями , выбирает для данного случая более рациональный прием, т.е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.
ОБОБЩЕННОСТЬ - ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т.е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшем образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого – одни и те же теоретические положения.
АВТОМАТИЗМ - (СВЕРНУТОСТЬ) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.
ПРОЧНОСТЬ - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часть допускают ошибки.
Мы рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении ими арифметических действий в концентре «многозначные числа», а также методические приемы предупреждения и устранения таких ошибок.
2.2. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ СЛОЖЕНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. РАБОТА ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.
Освоив все арифметические действия, поняв и выуичв таблицы сложения и умножения, овладев традиционными способами проверки, дети все же допускают достаточно большое количество ошибок при решении примеров. Такое положение можно исправить, если после изучения каждого арифметического действия несколько уроков посвятить конструированию «Справочника ошибкоопасных мест». Уроки желательно строить таким образом, чтобы дети не боялись рассуждать, давать самооценку своим действиям, показать свое непонимание.
На первом этапе учащимся предлагаем подумать, какие ошибки можно допустить при списывании математического выражения с доски, с учебника, с карточки…
Мы выделили следующие виды ошибок:
1) замена арифметических знаков при списывании математического выражения;
2) ошибки в записи чисел:
а) 2567 вместо 2657 – перестановка цифр в числе;
б) 256 вместо 2567 – пропуск цифры;
в) 25567 вместо 2567 – запись лишней цифры;
г) 2557 вместо 2567 – замена цифр.
Каждый ученик оформляет карточку №1, перечисляя предполагаемые ошибки. (См.приложение).
На следующих уроках отрабатываем алгоритм проверки чисел и арифметических знаков в математических выражениях.
На втором этапе учащиеся анализируют примеры на сложение многозначных чисел. Они отмечают такие ошибки, сопровождая свои рассуждения моделью:
1) Ошибка в записи чисел в столбик:
Например,
С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка.»
2) Ошибка в постановке знака:
3) Знак «плюс», а ученик вычитает:
Эта ошибка особенно характерна для случаев:
4) Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда; не прибавили к единицам высшего разряда:
Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, например:
Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя – не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: «К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 – четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 – 7, семь умножить на шесть, получится 42» и т.д.
5)неправильно определили количество цифр в сумме:
6) Допустили ошибки при сложении чисел в пределах десяти или с переходом через десять:
Во внеурочное время учащиеся оформляют карточку №2 «Возможные ошибки при выполнении действия сложения». Несколько последующих уроков посвящяется отработке алгоритма проверки действия сложения. Предлагаются такие задания: Исправь ошибки: 97062 + 194=
35678 + 1264 =
56706 + 4624 =
53628 + 24628 =
43640 + 1702 =
2) Объясни решение:
3) Придумай задания с «ловушками» для своего соседа.
Эффективность данной работы во многом будет зависеть, во-первых, от того, насколько сам учитель готов последовательно и регулярно включать эти задания в ход урока, комментировать их с точки зрения возможных ошибок; во-вторых, от того, насколько ученики осознанно выполняют эти задания, понимая конечную цель как можно меньше допускать ошибок при выполнении письменных вычислений.
2.3. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ВЫЧИТАНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. РАБОТА ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.
Как показывают наблюдения, усвоение уч-ся алгоритмов письменных вычислений происходит с определенными затруднениями. Аналогичные затруднения испытывают учащиеся и при вычитании многозначных чисел. Они, как правило, усваивают общий алгоритм вычитания, но затрудняются применять его в частном случае, когда уменьшаемое в записи содержит нули. Наблюдаются, например, такие ошибочные решения:
Несмотря на то, что ошибки в первом и втором примерах отличаются от ошибок в третьем и четвертом примерах, причина их возникновения одна – неумение заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда, т.е. учащиеся затрудняются представлять один десяток тысяч как 9 тысяч 9 сотен и 10 десятков. Они же раскладывают 1 десяток тысяч либо на 9 тысяч 9 сотен и 9 десятков, либо на 10 тысяч 9 сотен и 10 десятков, либо на 10 тысяч 10 сотен и 10 десятков. Предупредить указанные ошибки можно, если при изучении темы «Нумерация многозначных чисел» уделить особое внимание выполнению упражнений по замене единиц высшего разряда единицами низших разрядов.
Помимо упражнений, данных в учебнике, необходимо проводить подготовительную работу. Содержание ее может быть представлено упражнениями вида:
1. Отсчитайте от сотни палочек одну палочку, две палочки.
2. Замените сотню десятками и единицами .
3. Уменьшите 100, 300, 700 на 1, на 2, на 3.
4. Какое число предшествует при счете числу 200, числу 700?
5. Замените 1000 сотнями и десятками; сотнями, десятками и единицами.
6. Замените десяток тысяч тысячами и сотнями, тысячами, сотнями и десятками; тысячами, сотнями, десятками и единицами.
7. Замените сотню тысяч десятками тысяч, тысячами и сотнями.
8. Какое число предшествует при счете числам 7000, 20000, 500000?
9. Уменьшите на 5 единиц 6000, 40000, 600000.
10. Вычислите:
а) 1000 — 700 б) 100000 — 3 в) 10000 — 20 1000 – 70 100000 - 30 10000 — 200
1000 – 7 100000 – 300 10000 — 2
100000 – 3000
Наиболее трудные случаи вычитания, такие как:
700 – 261 , 70000 – 3257, 700000 – 302007, 701006 – 32057, и т.д. изучаются в 4-ом классе. Этим объясняется целесообразность продолжения и углубления подготовительной работы, начатой в 3-ем классе. В качестве наглядной основы используем счеты.
Для примера покажем один из вариантов выполнения задания из учебника математики, в котором требуется отложить на счетах число 100 тысяч и определить, какое число непосредственно предшествует ему при счете. Здесь уместно сочетать наблюдения учащихся за работой учителя на демонстрационных счетах с их практической работой на индивидуальных.
Предлагаем отложить число 100 тысяч на счетах (на шестой проволоке счетов появляется одна косточка). Вспоминаем, как найти число, непосредственно предшествующее какому-нибудь числу при счете (отсчитать от него единицу). Уточняем, на какой проволоке счетов откладываются единицы (на первой). Задаем вопрос, как с шестой проволоки попасть на первую, чтобы отсчитать единицу. При затруднении предлагаем учащимся спускаться постепенно с проволоки на проволоку. Чтобы спуститься с шестой проволоки на пятую, заменяем 100 тысяч, т.е. 1 сотню тысяч на 10 десятков тысяч, и 10 косточек откладываем на пятой проволоке.
Из десятков тысяч 9 тысяч (т.е. 9 косточек) оставляем, а 1 десяток тысяч (т.е. одну косточку) заменяем десятью единицами тысяч и откладываем десять косточек на четвертой проволоке. Продолжая аналогично рассуждать и откладывать косточки на счетах, мы получаем на первой проволоке 10 косточек (10 единиц). Обращаем внимание на то, что 1 сотню тысяч мы заменили на 9 десятков тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц. Отсчитываем 1 единицу (сбрасываем с первой проволоки счетов одну косточку), остается 9. Теперь читаем число, которое отложилось на счетах: девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять. (999999).
Продолжением такой работы является выполнение задания, где требуется назвать и записать, между какими числами встречается при счете каждое из следующих чисел: 100 1000 10000 100000
300 800 30000 700000
Наблюдения показывают, что учащиеся сравнительно легко справляются с присчитыванием единицы, нахождением последующего числа и затрудняются при отсчитывании (нахождении предшествующего). Целесообразно и в этом случае обращаться к счетам.
Кроме того, снизить уровень указанных трудностей помогает ориентация на осознание учащимися как общего алгоритма вычитания, так и особенностей его применения в рассматриваемых частных случаях. продолжение
--PAGE_BREAK--