1. Бросаются 2 кости. Определить вероятность того, что на верхних гранях:
а) сумма очков не превосходит 12; б) произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делится на 12.
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
а).Пусть событие А – сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12, то есть указанная сумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А:
m = 36. В результате получаем
/>
Таким образом, искомая вероятность равна 1 .
б) Пусть событие В – произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12.
×
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18--PAGE_BREAK--
24
30
36
Вероятность события В находим с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 23. В результате получаем:
/>
Таким образом, искомая вероятность равна 0,6389.
в) Пусть событие С – произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12.
Вероятность события С находим с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей, полученной в пункте б).
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 7. В результате получаем:
/>
Таким образом, искомая вероятность равна 0,1944.
Ответ: а) 1; б) 0,6389, в) 0,1944.
2. Имеются n изделий 4-х сортов, причём />, где i= 1, 2, 3, 4. Для контроля берутся m изделий, где />. Определить вероятность того, что среди m изделий m1 – первого сорта, m2 – второго сорта, m3 – третьего сорта, m4 – четвёртого сорта
Дано: n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4, n4 = 2, m1 = 2, m2 = 1, m3 = 2, m4 = 2.
Решение.
Пусть событие А – среди m изделий 2 изделия – первого сорта, 2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртого сорта.
Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Находим m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первого сорта можно выбрать из 3 изделий /> способами, 1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий /> способами, 2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий /> способами, 2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий /> способами. Воспользуемся теоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно:
/>
Находим n – общее число равновозможных исходов испытания.
/>(2+1+2+2)=7 изделий из /> изделий можно выбрать /> способами, то есть: />
Отсюда, искомая вероятность равна:
/>
Ответ: Р(А) = 0,0795.
3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных.
Дано: n = 10, l = 5, m =7, k = 7.
Решение.
Пусть событие А — среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать /> способами, а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать /> способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно:
m= />×/>=/>
Находим n… Из 10 билетов 7 билета можно выбрать />способами, тогда
n= />
Отсюда, искомая вероятность равна:
/>
Ответ: Р(А) = 0,525.
4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n
Дано: k = 7, n = 4.
Решение.
а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.
Событие А1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.
Событие А2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир. продолжение
--PAGE_BREAK--
Событие А3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.
Событие А4 – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.
Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А1, А2, А3, А4 являются зависимыми. Тогда:
/>
где: />, />, />, />.
Отсюда:
/>.
б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.
Событие В1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.
Событие В2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.
Событие В3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.
Событие В4 – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.
Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В1, В2, В3, В4 являются зависимыми. Тогда:
/>
где: />, />, />, />.
Отсюда:
/>.
Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778.
5. В двух партиях К1 и К2 % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно бракованное и одно доброкачественное.
Дано: К1 = 39%, К2 = 78%.
Решение.
Обозначим события:
Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;
Событие B — из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие
Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,39 и р2 = 0,78.
а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.
Рассмотрим противоположное событие /> — среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события /> находим, используя теорему умножения:
Р(/>) = р1 · р2 = 0,39 · 0,78 = 0,3042
Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:
Р(С) = 1 — Р(/>) = 1 – 0,3042 = 0,6958.
б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.
Вероятность события D находим, используя теорему умножения:
Р(D) = q1 · q2 = (1 — р1) · (1 — р2) = (1 — 0,39)·(1 — 0,78) = 0,1342.
в) Пусть событий Е — одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие /> — из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие /> — из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.
Тогда:
Е = />+/>
или Р(Е) = Р(/>) + Р(/>)
Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:
Р(Е) = р1 · q2 + q1 · р2 = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616
Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.
6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P1 = 0,39, а вторым стрелком — P2 = 0,45. Первый стрелок сделал n1 = 3 выстрелов, а второй стрелок – n2 = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.
Решение.
Пусть событие А — цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.
Рассмотрим гипотезы:
Событие А1 – первый стрелок промахнулся 3 раза.
Событие А2 — второй стрелок промахнулся 2 раза.
Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:
q1 = 1 — p1 = 1- 0,39 = 0,61,
а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q2 = 1 — p2 = 1- 0,45=0,55.
Тогда вероятность событий А1 и А2 находим по формуле Бернулли:
/>
Тогда:
/>
/>
Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна: продолжение
--PAGE_BREAK--
Р(А) = Р(А1)×Р(А2) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.
Ответ: 0,0687.
7. Из /> ламп ni принадлежат i-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.
Дано: n1 = 620, n2 = 190.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.
Пусть событие А — выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1 – выбранная лампа принадлежит 1-й партии,
Событие Н2 – выбранная лампа принадлежит 2-й партии,
Событие Н3 – выбранная лампа принадлежит 3-й партии.
Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
/>
Определяем вероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:
/>,
Для события Н1 имеем: m1 = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н1 равна:
/>
Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3.
Для события Н2 имеем: m2 = 190, n =1000.
/>
Для события Н3 имеем: m3 = 1000 — m1 – m2 = 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.
/>
Контроль:
/>
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности />,/> и />, по формуле:
/>
где: ki – число процентов бракованных ламп в i-й партии. Тогда
/>
/>
/>
Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
/>=
= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.
Ответ: Р(А) = 0,0543.
8. В первой урне N1 белых и M1 чёрных шаров, во второй N2 белых и M2 чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
Дано: N1 = 20, M1 = 1, N2 = 40, M2 = 7, К = 15.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.
Пусть событие А — выбранный шар – белый.
Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;
Событие Н2 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н1, Н2 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
/>
Определяем вероятности гипотез Н1, Н2 с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.
В первой урне находится (N1 + M1) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть
n = />
Находим вероятность гипотезы Н1. 15 белых шаров из 20 можно выбрать />способами, а 0 чёрных из 1 — />способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1, используя теорему умножения, будет равно:
m= />×/>=/>
Отсюда, вероятность события Н1равна:
/>
Аналогично находим вероятности гипотез Н2. продолжение
--PAGE_BREAK--
Для события Н2имеем:
m2=/>×/>=/>
Отсюда, вероятность события Н2равна:
/>
Контроль:
/>
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2соответственно наступили, то есть вероятности />, />с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.
При наступлении события Н1 во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н1 имеем:
m1= 55, a n = 62, отсюда
/>
При наступлении события Н2 во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н2 имеем:
m2= 54, a n = 62, отсюда
/>
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
/>
=0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756
Ответ: Р(А) = 0,8756.
9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки — чистые.
Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.
Пусть событие А — все 2 марки — чистые.
Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;
Событие Н2 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;
Событие Н3 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.
Так как события Н1, Н2, Н3 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
/>
Определяем вероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок — /> способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:
n = />
Находим вероятность гипотезы Н1 2 чистые марки из 7 можно выбрать /> способами, а 0 гашенных из 5 — /> способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1, используя теорему умножения, будет равно:
m= />×/>=/>
Отсюда, вероятность события Н1равна:
/>
Аналогично находим вероятности гипотез Н2и Н3:
Для события Н2имеем:
m2=/>×/>=/>
Отсюда, вероятность события Н2равна:
/>
Для события Н3имеем:
m3=/>×/>=/> продолжение
--PAGE_BREAK--
Отсюда, вероятность события Н3равна:
/>
Контроль:
/>
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности />,/> и /> с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.
При наступлении события Н1 в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н1 имеем: m1 = /> — число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n = /> — число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.
Отсюда
/>
При наступлении события Н2 в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н2 имеем: m2 = /> — число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n = /> — число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.
Отсюда
/>
При наступлении события Н3 в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н3 имеем: m3 = /> — число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n = /> — число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.
Отсюда
/>
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
/>
= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.
Ответ: Р(А) = 0,217.
10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет mi% изделий. Среди изделий i–го завода ni % — первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом?
Дано: m1 = 60%, m2 = 10%, m3 = 30%, n1 = 80%, n2 = 90%, n3 = 80%, j = 3.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.
Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.
Рассмотрим гипотезы:
Событие H1 – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.
Событие H2 – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.
Событие H3 – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.
По условию задачи необходимо найти вероятность события Н3|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.
Так как события H1, H2 и H3 образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события /> воспользуемся формулой Байеса:
/>,
где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:
/>
Определяем вероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:
/>,
где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Для события Н1 имеем: m1 = 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н1 равна:
/>
Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3.
Для события Н2 имеем: m2 = 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н2 равна:
/>
Для события Н3 имеем: m3 = 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н3 равна:
/>
Контроль:
/>
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности />,/> и />, по формуле:
/>
где: ki –число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, mi – общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
/>=
= 0,6 ×0,8 + 0,1 ×0,9 + 0,3 ×0,8 = 0,81.
Отсюда, по формуле Байеса получим: />.
Ответ: />.
11. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Определить вероятность того, что решка выпадает m раз.
Дано: n = 5, m = 3.
Решение.
Испытание состоит в бросании монеты.
Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5, а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:
/>
Отсюда, искомая вероятность равна:
/>
Ответ: 0,2187.
12. На каждый лотерейный билет с вероятностью р1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2 – мелкий выигрыш, и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша />. Куплено n билетов.
Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.
Дано: n = 14, n1 = 2, n2 = 4, р1 = 0,2, р2 = 0,2.
Решение.
Событие А – среди 14 билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких.
Рассмотрим события:
Событие А1 – выпал крупный выигрыш.
Событие А2 – выпал мелкий выигрыш.
Событие А3 – билет оказался без выигрыша.
Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,2, р2 = 0,2, р3 = 1 — 0,2 – 0,2 = 0,6.
Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:
/>
Отсюда:
/>
Ответ: />.
13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р .
Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k1 ≤ m.
Дано:n = 100, p = 0,8, k1 = 70.
Решение.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
/>,
где: Ф(х) – функция Лапласа,
/>,/>
По условию, n=100, p= 0,8, q = 1- p = 1- 0,8 = 0,2, k1 = 70, k2 = 100. Вычислим х` и x``:
/>/>, />/>
Учитывая, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-х) = — Ф(х), получим
/>
По таблице приложения 2 найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938.
Искомая вероятность равна:
Р100(/>) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.
Ответ: 0,9938.
14. Дана плотность распределения />случайной величины Х.
Найти параметр γ, функцию распределения />случайной величины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность выполнения неравенства -2
Решение.
Воспользуемся свойством плотности распределения:
/>.
В данном случае:
/>, так как /> при />. Тогда:
/>
То есть: />
Тогда получим две функции плотности распределения:
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
Контроль:
/>
Функцию распределения /> случайной непрерывной величины Х найдём по формуле:
/>
где: /> — функция плотности распределения вероятностей на трёх интервалах.
При /> имеем:
/>
При /> исходный интеграл разобьем на два интеграла:
/>
При /> исходный интеграл разобьем на три интеграла:
/>
/>
Таким образом, функция распределения /> примет вид:
/>
б) Математическое ожидание находим по формуле:
/>
Применяя формулу, получим:
/>
в) Найдём дисперсию случайной величины Х :
/>
Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины Х по формуле:
/>
Тогда дисперсия
/>
Определяем вероятность выполнения неравенства -2
/>
Ответ:
/>, />
М(х) = -2, D(x) = 0,3333, />.