Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Реферат

Реферат по предмету "Математика"


Теория игр, рафический метод в теории игр

--PAGE_BREAK--2.Матричные игры
Матричной игрой называется конечная игра двух игроков с нулевой

суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы, строка матрицы

соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы

находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям.

Пусть играют 2 игрока P1 и P2. Матрица         

элементы aij – выигрыш игрока P1, если P1 – выбирает i строку, а P2 – выбирает j столбец, называется платежной матрицей игры.


Пусть игрок P1 выбирает i строку с вероятностью xi, P2 выбирает j столбец с

вероятностью yj, тогда  и   будут называться соответственно смешанными стратегиями 1-ого и 2-ого игроков.

Замечание: так как компонентами смешанных стратегий X и Y являются

вероятности, то и . Если среди компонентов смешанной стратегии X только одна 1, остальные 0, то стратегия называется чистой.

  — i-ая чистая стратегия. Любую смешанную стратегию можно представить в виде выпуклой комбинации чистых стратегий, т.е. 




Пример. Представить смешанную стратегию  в виде выпуклой

комбинации чистых стратегий.

Решение.



Платежной функцией  (X ,Y ) первого игрока называется математическое

ожидание его выигрыша, т.е.

 (X ,Y )=

Решением матричной игры называют пару смешанных стратегий    и

число v называемое ценой игры, удовлетворяющих следующим условиям:

1)

Если P1 придерживается своей оптимальной стратегии X*, то какую бы

чистую стратегию не принимал второй игрок P2, P1 получит выигрыш не меньше чем цена игры v.

2)

Если P2 придерживается своей оптимальной стратегии Y*, то какую бы чистую стратегию не применял второй игрок P1, то P2 проиграет не более чем цена игры v.

Теорема
1. Если игрок P1 придерживается своей оптимальной стратегии X*,

а P2 придерживается своей оптимальной стратегии Y*, то.

Теорема
2. Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях.

3.Решение матричной игры в чистых стратегиях
Рассмотрим матричную игру с игроками P1 и P2 и платежной матрицей



1) Перед игроком P1 стоит задача выбора чистой стратегии, в результате применения которой он получит максимально возможный гарантированный

выигрыш. Если игрок P1 выбрал стратегию , то его выигрышем может быть один из выигрышей  , расположенный в i-ой строке платежной

матрицы, в зависимости от выбранной стратегии игроком P2. Предполагая поведение игрока P1 крайне осмысленным, необходимо считать, что игрок P2 сыграет наилучшим для себя образом и на выбор игроком P1 стратегии Xiвыберет ту стратегию Yj, при которой выигрыш игрока P1 окажется минимальным.

Обозначим минимальный среди выигрышей через αi:

, (αi –показатель эффективности стратегии Xi).

Продолжая действовать разумно, игрок P1 должен выбрать ту стратегию,

которая максимизирует показатель эффективности, т.е. для которой число αi максимально.


Обозначим:

Число α называется нижней ценой игры в чистых стратегиях, а стратегия

Xi0, которая максимизирует показатель эффективности αi называется максиминной стратегией игрока P1.

Таким образом, если игрок P1 в игре будет следовать максиминной стратегии, то ему при любой игре противника P2 гарантирован выигрыш в чистых стратегиях, не меньший α.

2) Рассмотрим игру с точки зрения игрока P2, который стремиться минимизировать выигрыш игрока P1. Если P2 выберет стратегию , то выигрышем игрока P1 может быть один из выигрышей . Но так как игрок P2 предполагает, что игрок P1 играет наилучшим для себя образом, то выигрышем игрока P1 будет максимальное из этих чисел, обозначим βj:

 (βj –показатель неэффективности стратегии Yj).

Таким образом, для любой стратегии Yj игрока P2 наибольший его проигрыш равен βj. В интересах игрока P2 выбрать стратегию с минимальным показателем неэффективности. Наименьшее из чисел βj обозначим β:




Число β называется верхней ценой игры в чистых стратегиях, а стратегия Yj0, которая максимизирует показатель неэффективности βj называется минимаксной стратегией игрока P2.

Теорема
3. Для элементов платежной матрицы имеют место неравенства:

 и, следовательно, нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:.

Пример. Найти решение игры, заданной платежной матрицей.



Решение:

Решим игру. Пусть  – оптимальная стратегия первого игрока,  – оптимальная стратегия второго игрока, v – цена игры.

Рассмотрим матрицу

                               min

  max(-1,-2,4)=4=
max 6 7 4 10

min(6,7,5,10)=5=

— нижняя цена игры.

— верхняя цена игры.

 — максиминная стратегия, — минимаксная стратегия

Если    то элемент  называется седловым элементом матрицы


A=

 Теорема
4. (о разрешимости матричной игры в чистых стратегиях) Если платежная матрица A имеет седловой элемент , то матричная игра имеет решение в чистых стратегиях, при этом оптимальной стратегий первого игрока является X
i
чистая стратегия, а для второго – Yj0 чистая стратегия, а цена игры       v =  .

Пример. Найти решение игры, заданной платежной матрицей  A=

Решение:

Решим игру. Пусть -оптимальная стратегия первого игрока,   — оптимальная стратегия второго игрока, v– цена игры.

Рассмотримматрицу

                min

      

max  2    3

 v==2 цена игры v = 2, существует седловой элемент =, тогда решение в чистых стратегиях имеет вид:

  оптимальная стратегия первого игрока:

оптимальная стратегия второго игрока:

Ответ: оптимальные стратегии игроков ; , цена игры     v =2 .

    продолжение
--PAGE_BREAK--4.Принцип доминирования
Рассмотрим игру с платежной матрицей

A=.

Если   , то говорят, что j-ая строка доминируется i-ой строкой, при этом i-ая строка называется доминирующей для первого игрока P1; j-ая строка – доминируемой строкой для P1.

Если , то говорят, что i-ый столбец доминируется j-ым столбцом, при этом j-ый столбец называется доминирующим для второго игрока P2; i-ый столбец – доминируемый для P2. Доминируемую для игрока P1 строку и доминируемый для  P2  столбец можно вычеркнуть (удалить).

Пример. Упростить платежную матрицу A=, используя принцип доминирования.

Решение.

1 способ: , т.к. — доминирующая строка, -

доминируемая строка (1)
2 способ:, (1)



5.Решение матричной игры 2×2 в смешанных стратегиях
Решить игру с платежной матрицей



Платежная функция



Решить игру с платежной матрицей 


Положим  . Тогда 


. Тогда
Если — оптимальная стратегия первого игрока, то по определению

решения матричной игры 
Если игра с нулевой суммой, то (-цена игры).
Решая систему, получим .


Аналогично для второго игрока:




 Тогда



 Тогда

Если — оптимальная стратегия второго игрока.

Если игра с нулевой суммой, то  (-цена игры).
Решая систему, получим .

Пример.  Найти решение игры заданной платежной матрицей A= .

Решение:

Решим игру. Пусть — оптимальная стратегия первого игрока,             — оптимальная стратегия второго игрока,-цена игры. Тогда оптимальные стратегии игроков и цену игры можно найти, решив системы:

                                          

                                   

                                            

                                        

                                                                          

Ответ:оптимальные стратегии игроков , цена игры .





    продолжение
--PAGE_BREAK--Геометрическое решение игры 1.Решение игр с платежной матрицей 2×n
Решить игру с платежной матрицей  A=


Алгоритм:

1)                Через концы горизонтального отрезка [0;1] провести два перпендикуляра к нему: левый и правый. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить некоторую смешанную стратегию (x;1− x).

2)                На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы . На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы .

Замечание. Масштабы на левом и правом перпендикулярах должны быть

одинаковы, не обязательно совпадающие с масштабом горизонтального отрезка [0;1].

3)                Соединить отрезками элементы .

4)                Выделить нижнюю огибающую всех построенных отрезков, и  найти максимальную точку (точки). Пусть точка является пересечением отрезков и . Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Решить игру с платежной матрицей  A= графически.


Решение:

1.                Через концы горизонтального отрезка [0;1] проведем 2 перпендикуляра к нему. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить смешанную стратегию (x; 1− x).

2.                На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы 2, 3, 11. На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы 7, 5, 2.

3.                Соединить отрезками элементы 2 и 7, 3 и 5, 11 и 2.


4. Выделим нижнюю огибающую всех построенных отрезков, и найдем

максимальную точку. Точка является пересечением отрезков [3;5] и [11;2]. Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Решим игру с платежной матрицей .

Оптимальные стратегии игроков  и цену игры можно найти, решив системы:







                             
                             

                                            

Ответ:оптимальные стратегии игроков оптимальные стратегии игроков , цена игры



    продолжение
--PAGE_BREAK--2.Решение игр с платежной матрицей m×2
Решить игру с платежной матрицей A=.

Алгоритм:

1)                Через концы горизонтального отрезка [0;1] провести два перпендикуляра к нему: левый и правый. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить некоторую смешанную стратегию (y;1− y).

2)                На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы  . На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы .

3)                Соединить отрезками элементы .

4)                Выделить верхнюю огибающую всех построенных отрезков, и найти минимальную точку (точки). Пусть точка является пересечением отрезков Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Пример. Решить игру с платежной матрицей A=.

Решение:

Решим графическим методом.

1.                Через концы горизонтального отрезка [0;1] проведем 2 перпендикуляра к нему. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить смешанную стратегию (y; 1− y).

2.                На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы 6, 4, 2, 1. На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы 5, 6, 7, 8.

3.                Соединить отрезками элементы 6 и 5, 4 и 6, 2 и 7, 1 и 8.



4.                Выделим верхнюю огибающую всех построенных отрезков, и найдем минимальную точку. Точка является пересечением отрезков [6;5] и [1;8]. Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Решим игру с платежной матрицей

                      

                         

Ответ:оптимальные стратегии игроков оптимальные стратегии игроков , цена игры




Практическая Часть

1.     Решить Систему

1.1   По формулам Крамера



Решение.

1)Составим определитель  из коэффициентов стоящих при неизвестных в системе.
















2)Тогда по теореме Крамера:







3)Проверка:



Ответ:

1.2   Методом Гаусса



Решение.

1)Составим расширенную матрицу системы:



2)Преобразим расширенную матрицу к ступенчатому виду:



 

3)Расширенная приведена к расширенному виду. Получили следующую систему уравнений:














Ответ:

4. Решить транспортную задачу, заданную таблицей. Спланировать перевозки так, чтобы общая их стоимость была минимальной.

Пункт отправления

В1

В2

В3

B4

В5
Запасы,аi (тонн)
А1

14

8

17

5

3

120

А2

21

10

7

11

6

180

А3

3

5

8

4

9

230

Потребности, bj (тонн)

70

120

105

125

110

530
    продолжение
--PAGE_BREAK--


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Лабиринт
Реферат Социальная политика в условиях глобального финансового кризиса
Реферат «Разработка инновационной модели включения детей раннего и дошкольного возраста в образовательное пространство»
Реферат Gulliver Travels By Swift Essay Research Paper
Реферат Global Initiative for Asthma Глобальной инициативы по бронхиальной астме
Реферат Анализ теории заработной платы Адама Смита
Реферат Товароведно экспертная характеристика изделий из хрустального стекла
Реферат «Проектная деятельность на уроках физики и астрономии с использованием сетевых компьютерных технологий»
Реферат Метафизика ислама
Реферат Преступление и наказание в Псковской Судной грамоте 2
Реферат Марсово поле Санкт-Петербург
Реферат Конспект и анализ первоисточников: Аристотель "О душе". Платон "Диалоги"
Реферат Клинико-социальные аспекты формирования и профилактики зависимости от психоактивных веществ у подростков
Реферат Королевство Лаос
Реферат Франк Ллойд Райт Жилые здания