Федеральноеагентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Амурскийгосударственный университет
(ГОУ ВПО«АмГУ»)
Кафедраматематического анализа и моделирования
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
на тему:Эллиптические функции
по дисциплине:Теория функций комплексного переменного
Исполнитель
студент группы
Руководитель
Нормоконтроль
Благовещенск2007
Реферат
Работа 21с., 2 рисунка, 5 источников.
Эллиптические функции, эллиптические интегралы,эллиптические координаты, полюс, мероморфность, конгруэнтность, голоморфность,свойства.
В этой работе будут рассмотрены свойства эллиптическихинтегралов и эллиптических функций. Эллиптические функции встречаются во многихзадачах динамики твердого тела, аэродинамики, электротехники, теории упругостии др. Начнем с изложения общих свойств мероморфных периодических функций, всовокупность которых входит, в частности, и класс эллиптических функций. Однаиз наших задач заключается в том, чтобы построить посредством того или иногоаналитического аппарата элементы, с помощью которых можно выразить в конечномвиде все эллиптические функции.
интеграл эллиптическая функция
Содержание
Введение
1 Общиесвойства эллиптических функций
1.1Определение эллиптической функции
1.2Параллелограммы периодов
1.3 Основныетеоремы
1.4Эллиптические функции второго порядка
2 Примеры.Приложения
2.1Вычисление длины дуги эллипса
2.2Эллиптические координаты
Заключение
Библиографическийсписок
1. Общие свойства эллиптических функций
1.1 Определение эллиптическойфункции
Эллиптической функциейназывается мероморфная функция, допускающая периоды, которые все могут быть образованыпосредством сложения и вычитания из двух первоначальных периодов 2/>и 2/>, имеющих мнимоеотношение
/>.
Короче говоря,мероморфная функция называется эллиптической, если она двоякопериодическая спериодами 2/>и 2/>,отношение которых /> есть мнимое число. Такая функция f(z) удовлетворяет соотношениям
/> (1)
откуда вытекает, что
/> (2)
где m и n обозначают любые целые числа, положительные,отрицательные или нули.
Установим две формулы для эллиптической функции, изкоторых одна будет давать ее разложение на сумму простейших элементов с явным выделениемее полюсов и их главных частей, а другая будет представлять эллиптическуюфункцию посредством отношения произведений элементарных множителей с явнымвыделением ее нулей и полюсов. Прежде чем приступить к осуществлению этойзадачи, мы установим ряд общих свойств эллиптической функции.
Примечание — при определении эллиптической функциипредполагалось, что отношение
/>
ее первоначальных периодов является мнимым числом.Если это отношение есть число действительное, то функция является простопериодической или приводится к постоянному. Кроме того, во всем дальнейшембудем считать коэффициент при мнимой части отношения /> положительным, так как этодостижимо путем изменения знака у одного из первоначальных периодов.
1.2 Параллелограммы периодов
Чтобы дать геометрическое истолкование двоякойпериодичности, рассмотрим в плоскости комплексного переменного четыре точки
/>
считая /> произвольным комплексным числом.
Так как отношение /> есть мнимое число, то эти четыреточки изображают вершины некоторого параллелограмма P.
Полагая
/>,
мы видим, что четыре точки, упомянутые выше, естьвершины параллелограмма />, который может быть получен изосновного параллелограмма /> посредством некоторого сдвига.
Придавая mи nвсевозможныецелые значения, мы получим сеть параллелограммов />, конгруэнтных между собой ипокрывающих всю плоскость (рис. 1).
Чтобы любые два параллелограмма нашей сети не имели общихточек, условимся причислять к каждому параллелограмму /> лишь часть его границы, а именностороны
/>,
/>,
за исключением концов
/>
/>
/>
Рисунок 1 – Сеть параллелограммов />
Что же касается двух сторон параллелограмма />, мы их будемрассматривать принадлежащими к смежным параллелограммам с />. Тогда любая точкаплоскости принадлежит одному и только одному из этих параллелограммов, например/>.
Точки вида
/>,
где /> и /> - любые целые числа, называютсяконгруэнтными или эквивалентными с точкой z; впараллелограммах /> они занимают то же положение, чтои точка z в />.
Среди этих эквивалентных точек имеется одна точка,которая принадлежит основному параллелограмму P(эта точка />.
Итак, можно сказать, что всякая точка плоскостиэквивалентна некоторой и притом единственной точке основного параллелограмма Р.Будем называть параллелограммы />параллелограммами периодов; выборсреди них основного параллелограмма Р, очевидно, произволен. Теперь можногеометрически истолковать соотношение (2). Они выражают, что функция f(z) принимаетодно и то же значение во всех эквивалентных точках. Следовательно, достаточноизучить эллиптическую функцию в одном из параллелограммов, чтобы знать ееповедение во всей плоскости.
1.3 Основные теоремы
Теорема 1. Производнаяэллиптической функции есть также функция эллиптическая. В самом деле,дифференцируя соотношение (1), имеющее место при любом z,получаем
/>
Таким образом, производная f’(z) имеет те же периоды 2/>и 2/>, что ипервоначальная функция. С другой стороны, будучи однозначной, как и f(z), f’(z) не можетиметь на конечном расстоянии других особых точек, кроме полюсов, так как если f(z) голоморфнав некоторой точке, то производная f’(z) тоже голоморфна в этой точке,а если f(z) имеет полюс в некоторой точке, то и f’(z) будетиметь полюс в этой точке. Следовательно, f’(z) есть мероморфная функция,допускающая два периода 2/>и 2/>, и согласно определению она будетэллиптической функцией с теми же периодами, что и первоначальная функция.
Теорема 2.Эллиптическая функция, отличная от постоянного, имеет по крайней мере одинполюс в параллелограмме периодов.
Действительно, допуская противное, мы имели бы целуюфункцию, отличную от постоянного. Ее параллелограмм периодов есть ограниченнаячасть плоскости и в этой области, включая ее границу, наша функция голоморфна,а значит, и подавно непрерывна, а потому и ограничена. Следовательно,существует такое положительное число М, что во всем основномпараллелограмме периодов имеем
/>
Так как во всех остальных параллелограммах сетизначения функции /> повторяются, то неравенство |f(z)|Mбудет справедливодля всех точек z плоскости. Итак, мы имеем целую функцию f(z)ограниченную во всей плоскости. Согласно теореме Лиувилля отсюда заключаем, чтоf(z) приводится к постоянному. Полученное противоречие убеждаетнас в справедливости теоремы.
Следствия
1 Если две эллиптические функции с одинаковымипериодами имеют в параллелограмме периодов одни и те же полюсы с одинаковымиглавными частями, то они отличаются лишь постоянным слагаемым.
В самом деле, положим, что /> и /> две эллиптические функции содинаковыми периодами 2/>и 2/>, имеющие в параллелограммепериодов одни и те же полюсы с одинаковыми главными частями. Тогда их разность /> — />будетдвоякопериодической функцией с периодами 2/>и 2/>, без полюсов, а значит, подоказанной теореме эта разность равняется тождественно постоянному.
2 Если две эллиптические функции с одинаковымипериодами имеют в параллелограмме периодов одинаковые нули и полюсы одной и тойже кратности, то они отличаются лишь постоянным множителем.
Действительно, положим, что /> и /> две эллиптические функции содинаковыми периодами 2/>и 2/>, имеющие в параллелограммепериодов одинаковые нули и полюсы одной и той же кратности.
Тогда их отношение /> представляет двоякопериодическую функциюс периодами 2/>и 2/>, причем это отношение не имеетполюсов. Следовательно, по доказанной теореме это отношение равно тождественно постоянному.
Теорема 3.Сумма вычетов эллиптической функции относительно всех полюсов, расположенных впараллелограмме периодов, равна нулю.
Прежде всего заметим, что если на границепараллелограмма периодов имеются полюсы эллиптической функции, то мы можемнемного сдвинуть этот параллелограмм так, чтобы все полюсы, расположенные напервоначальном параллелограмме периодов, оказались бы внутри сдвинутогопараллелограмма. Обозначим вершины этого параллелограмма через
/>
на его сторонах нет полюсов функции f(z). Согласнообщей теореме о вычетах мы получим сумму вычетов S относительно всехполюсов, лежащих внутри параллелограмма, если вычислим интеграл />, распространив его напериметр этого параллелограмма, проходимый в положительном направлении. Такимобразом, имеем
/> (3)
где все интегрирования совершаются по прямолинейнымотрезкам, соединяющим указанные точки. Объединяя первый и третий интегралы,делаем в этом последнем подстановку
/>
и пользуясь периодичностью, находим
/>
Таким образом, сумма первого и третьего интегралов выражения(3), равная
/>
есть нуль потому, что интегрирования совершаются поодному и тому же отрезку в противоположных направлениях.
То же самое можно утверждать относительно суммывторого и четвертого интегралов, если в первом интеграле совершить подстановку
/>.
Возвращаясь к формуле (3), мы убеждаемся, что Sравно нулю.
Теорема 4.Эллиптическая функция принимает впараллелограмме периодов всякое значение (конечное или бесконечность)одинаковое число раз. Пусть /> - произвольное комплексное число.Покажем, что число корней уравнения
/>
лежащих в параллелограмме периодов, совпадает с числомполюсов функции f(z), расположенных в этом параллелограмме. Само собойразумеется, что при счете числа нулей функции
f(z) — />
или ее полюсов мы каждый нуль или полюс считаемстолько раз, какова его кратность. Для доказательства нашего утверждения преждевсего заметим, что если на границе параллелограмма периодов имеются нули илиполюсы функции
f(z) — />,
то мы можем немного сдвинуть этот параллелограмм так,чтобы все нули и полюсы, расположенные на первоначальном параллелограммепериодов, оказались бы внутри сдвинутого параллелограмма.
Обозначим вершины этого параллелограмма через
/>
на его сторонах нет нулей и полюсов функции
f(z) — /> .
Образуем вспомогательную функцию
/>
которая будет эллиптической с периодами 2/>и 2/>, причем насторонах рассматриваемого параллелограмма периодов она не будет иметь полюсов.
Применяя к этой функции предыдущую теорему 3, мыимеем:
/> (4)
где интегрирование распространено в положительномнаправлении по контуру упомянутого параллелограмма. С другой стороны, какизвестно, интеграл
/>
изображает разность между числом нулей и полюсовфункции
f(z) — />,
лежащих внутри контура интегрирования.
Так как согласно формуле (4) этот интеграл равен нулю,то, следовательно, число корней уравнения
/>
лежащих внутри параллелограмма периодов, совпадает счислом полюсов функции f(z), расположенных внутри того же параллелограмма. Такимобразом, теорема доказана.
Если f(z)принимает впараллелограмме периодов всякое значение s раз, то она называется эллиптическойфункцией порядка s.
В силу теоремы 3 не может существовать эллиптическойфункции, имеющей в параллелограмме периодов один простой полюс. Таким образом, sвсегда не меньше двух, т. е. не существует эллиптических функций первогопорядка. В дальнейшем мы фактически построим эллиптические функции второгопорядка. Существуют, конечно, и эллиптические функции более высокого порядка.
Теорема 5.Разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов эллиптической функции,расположенных в параллелограмме периодов, равна некоторому ее периоду, т. е.
/>,
где /> — нули, а /> - полюсы, расположенныев параллелограмме периодов. Само собой понятно, что при образовании суммы нулейили суммы полюсов
каждый нуль или полюс нужно повторить слагаемымстолько раз, какова его кратность. Для доказательства прежде всего заметим, чтоесли на границе параллелограмма периодов имеются нули или полюсы эллиптическойфункции, то путем небольшого сдвига этого параллелограмма мы можем достигнутьтого, чтобы все нули и полюсы, расположенные на первоначальном параллелограммепериодов, попали бы внутрь сдвинутого параллелограмма. Обозначим через
/>
вершины этого параллелограмма. На его сторонах нетнулей и полюсов функции f (z). Тогда, как известно, искомая разностьмежду суммами всех нулей и полюсов, расположенных внутри упомянутогопараллелограмма, изображается в виде интеграла
/>
где интегрирование совершается по периметру параллелограммав положительном направлении. Таким образом, имеем
/> (5)
При интегрировании вдоль периметра параллелограммасумма
/>
приводится посредством перемены во втором интеграле zна /> и
использования периодичности к следующему выражению
/>
так как
/>,
то число в скобке есть нуль или вида
/>
где /> - целое. Таким образом, суммадвух рассматриваемых интегралов вообще равна /> Аналогично сумма двух остальныхинтегралов
/>
приводится посредством того же рассуждения к /> Возвращаясь кформуле (5), перепишем ее в виде
/>
что и требовалось доказать.
Примечание — применяя доказанную теорему к функции
f(z) — />,
где /> - произвольное комплексноечисло, мы видим, что сумма корней уравнения
/>
расположенных в параллелограмме периодов, конгруэнтнас суммой полюсов функции f(z), лежащих в этом параллелограмме, относительно еепервоначальных периодов 2/>и 2/>.
1.4 Эллиптические функции второго порядка
1. Если эллиптическая функция f(z) спериодами 2/>и 2/>удовлетворяетсоотношению
/> (6)
где К — некоторое постоянное, то числа
/>
будут нули или полюсы функции f(z). В самомделе, полагая в соотношении (6)
/>
получим:
/>,
откуда следует, что
/>
есть нули или полюсы функции f(z). Числа />, />', />+ />' и имконгруэнтные называются полупериодами.
Предполагая К = 0, т. е. что f(z)удовлетворяет соотношению
/>
мы будем иметь нечетную эллиптическую функцию.
В силу доказанного для такой функции точки zравной нулю, а следовательно, все периоды, равно, как всеполупериоды, будут нулями или полюсами.
2. Если эллиптическая функция f(z) спериодами 2/>и2/>' удовлетворяетсоотношению
f(z) = f(K-z), (7)
где К — некоторое постоянное, то числа
/>
будут нули или полюсы производной f'(z). Действительно, дифференцируясоотношение (7), мы видим, что производная f'(z) удовлетворяет соотношениювида (6), откуда и следует наше утверждение вследствие утверждения 1.
В частности, если К равно нулю, т. е. если f(z) — четная функция, то ее производная будет нечетной и будет иметь нули илиполюсы в точках, изображающих периоды и полупериоды. Приложим теперь этиутверждения к эллиптическим функциям второго порядка.
Обозначим через /> и /> полюсы такой функции,расположенные в параллелограмме периодов. Пусть сначала /> неравно />, т. е. оба полюсапростые. В силу теоремы 5, если
/>
то
/>,
откуда вытекает соотношение вида (7):
/>
следовательно, по утверждению 1 точки
/> (8)
будут нулями или полюсами производной f'(z). С другой стороны, мы знаемполюсы производной f'(z); она имеет в точках /> и /> полюсы второгопорядка. Так как, очевидно, точки /> и /> не будут конгруэнтными с точками(8), то производная f'(z) должна обращаться в нуль вовсех четырех точках (8). Образуем теперь функцию
/>
которая будет эллиптической с теми же периодами, что иf(z), восьмого порядка; эта функция имеет два полюса четвертого порядкав точках /> и/> и нуливторого порядка в четырех точках (8).
Последнее заключение сделано потому, что в точках (8)функция F (z) обращаетсяв нуль вместе со своей производной. Заметив, что /> есть эллиптическая функция с темиже периодами, что и F (z), того же порядка и с теми же нулями и полюсами,мы на основании теоремы 2 (следствие 2) заключаем:
/>
Откуда
/> (9)
Полагая
/>
Найдем
/> (10)
где R (/>) — полином 4-й степениотносительно />. Таким образом, эллиптическаяфункция второго порядка
/>
может быть рассмотрена как обращение эллиптическогоинтеграла первого рода (10).
Пусть теперь /> равно />, т. е. эллиптическая функциявторого порядка />, имеет в точке /> двойной полюс. В этомслучае /> удовлетворяетсоотношению
/>
точка /> будет полюс третьего порядка для />, ее нулирасположены в точках
/>
Образуем функцию
/>
которая будет эллиптической с теми же периодами, что и/>, шестогопорядка; эта функция имеет полюс шестого порядка в точке /> и нули второго порядкав точках />,/>,/>. Последнее заключениесделано потому, что в точках />,/>,/>функция Ф (z) обращается в нуль вместе сосвоей производной.
Заметив, что /> есть эллиптическая функция с темиже периодами, что и Ф (z), того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы наосновании теоремы 2 (следствие 2) заключаем:
/>
Откуда
/>. (11)
Полагая
/>
Найдем
/>, (12)
где /> - полином третьей степениотносительно />. Таким образом,
эллиптическая функция второго порядка
/>
и в случае двойного полюса может быть рассмотрена какобращение эллиптического интеграла первого рода вида (12).
2. Примеры. приложения
2.1 Вычисление длины дуги эллипса
Для начала введем понятие эллиптического интеграла.Эллиптическим интегралом называется интеграл вида
/> (13)
где R – рациональная функция своихаргументов и /> - многочлен третьей или четвертойстепени. В отдельных случаях этот интеграл может выражаться через элементарныефункции, как например, интеграл
/>
В этом случае он называется псевдоэллиптическим.
Вообще же интеграл (13) не выражается в элементарныхфункциях. Можно показать, что с помощью элементарных подстановок ипреобразований эллиптический интеграл преобразуется к одной из трехканонических форм
/> (14)
где k и l –постоянные. Интегралы (14) называют эллиптическими интегралами в формеЛежандра, соответственно, первого, второго и третьего рода. Число kназывают модулем интеграла.
Подстановка
/>
приводит интегралы (14) к тригонометрической форме
/> (15)
Аргумент /> называется амплитудойэллиптического интеграла. Для интегралов в форме (15) приняты следующиеобозначения:
/>
Особенно часто встречаются интегралы с амплитудой />, равной />; ониназываются полными и для первых двух из них приняты специальные обозначения
/>
Вычисление дуги эллипса
/>
приводит к эллиптическим интегралам. Действительно,отрезок дуги, соответствующий изменению абсциссы от 0 до xравен
/>
Где
/>
Это – эллиптический интеграл второго рода в формеЛежандра. Полная длина эллипса выражается через эллиптический интеграл
/> (16)
Этому обстоятельству и обязаны своим названиемэллиптические интегралы, а также их обращения – эллиптические функции.
2.2 Эллиптические координаты
Эллиптические координаты также связаны с эллиптическимфункциями. Чтобы ввести их, рассмотрим уравнение
/>/> (17)
оно третьей степени по pимеет при фиксированных x, y, z три действительных корня />, />, />, удовлетворяющихнеравенству
/>.
Эти корни называются эллиптическими координатами точки(x, y, z).Система координат (/>,/>, />) ортогональна, так как поверхности
/>
представляют собой, соответственно, софокусныйэллипсоид, однополосный и двуполосный гиперболоиды, т.е. взаимно ортогональныеповерхности (рис. 2).
Нетрудно вывести формулы, выражающие декартовы координатычерез эллиптические. Для этого достаточно привести левую часть (17) к общемузнаменателю и, заметив, что в числителе при этом получится многочлен третьейстепени относительно p со старшим коэффициентом -1, разложить его налинейные множители
/>
Рисунок 2
/>
Чтобы получить (18), остается умножить обе части,соответственно, на />, />, /> и положить />
/> (18)
Заключение
Мы дали аналитическое представление для любойэллиптической функции, отталкиваясь от сформулированного ее дескриптивногоопределения. Для рациональных функций мы имеем два аналитических представления.В основе перового из них лежит задание полюсов рациональной функции исоответствующих им главных частей, что приводит нас к разложению рациональнойфункции на простейшие дроби. В основе второго аналитического представлениярациональной функции лежит задание ее нулей и полюсов, что дает нам возможностьпредставить ее в виде отношения произведений линейных множителей.
Библиографический список
1.Лаврентьев М.А Методы теории функций комплексного переменного/ М.А.
Лаврентьев,Б.В. Шабат. – М.: Лань, 2002 – 688 с.
2. ЛунцГ.Л. Функции комплексного переменного с элементами операционного
исчисления/Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. – М.: Лань, 2002 – 304 с.
3.Маркушевич А.А. Введение в теорию аналитических функций/ А.И
Маркушевич,А.А. Маркушевич. – М.: Просвещение, 1977 – 320 с.
4.Привалов И.И. Введение в ТФКП/ И.И. Привалов – М.: Высш. шк., 1999 –
432 с.
5. ЭйдманВ.Я. Основы теории функций комплексного переменного и
операционногоисчисления/ В.Я. Эйдман. – М.: Физмат, 2002 – 256 с.