Введение
Представленнаяработа посвящена теме «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курсашкольной геометрии». Проблема данного исследования носит актуальный характер всовременных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.Тема «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьнойгеометрии» изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин.Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал,изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленныхмонографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы данногоисследования. Однако требуется учет современных условий при исследованиипроблематики обозначенной темы. Высокая значимость и недостаточная практическаяразработанность проблемы «Теорема Дезарга и её применение к решению задач изкурса школьной геометрии» определяют несомненную новизну данногоисследования.
Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересомк теме «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьнойгеометрии» в современной науке, с другой стороны, ее недостаточнойразработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит кактеоретическую, так и практическую значимость.
Теоретическоезначение изучения проблемы «Теорема Дезарга и еёприменение к решению задач из курса школьной геометрии» заключается в том, чтоизбранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу несколькихнаучных дисциплин.
Объектом данного исследования является анализ условий поставленнойпроблемы.
При этом предметомисследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных вкачестве задач данного исследования.
Целью исследования является изучение темы «Теорема Дезарга и еёприменение к решению задач из курса школьной геометрии» с точки зрения новейшихотечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике. В рамкахдостижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи:
1. Изучитьтеоретические аспекты и выявить природу данной темы;
2. Сказатьоб актуальности проблемы в современных условиях;
3. Изложитьвозможности решения тематики;
4.Обозначить тенденции развития тематики»;
дезаргматематик теорема евклидовый
1. Историческиеаспекты данной проблемы
ЖерарДезарг (Dйsargues) [1593–1662, (по др. данным – 1591–1661)], французскийматематик. Был военным инженером. Заложил основы проективной и начертательнойгеометрии. В своих исследованиях систематически применял перспективноеизображение. Первым ввёл в геометрию бесконечно удаленные элементы. Дезаргу принадлежитодна из основных теорем проективной геометрии (теорема Дезарга) также сочиненияо резьбе по камню и о солнечных часах, где он даёт геометрические обоснованияпрактическим операциям. В 1636 г. Дезарг написал небольшое сочинение подзаглавием «Общий метод изображения предметов в перспективе» (Париж, 1636). Вэтой работе он впервые применяет метод координат для построения перспективныхмасштабов. В качестве одной из осей он выбирает линию пересечения картинной ипредметной плоскости, второй осью служит перпендикуляр к предметной плоскости,лежащий в картинной плоскости, а третьей – перпендикуляр к картинной плоскости,лежащий в предметной. Следовательно, картинная и предметная плоскости служат двумякоординатными плоскостями, а третья к ним перпендикулярна. На осях координатнаносятся масштабы широт, высот и глубин, при этом последний дается вперспективе. Другое сочинение Дезарга, посвященное вопросу о пересечении конусаплоскостью (1639) было утеряно и только случайно в 1845 г. французскийгеометр и историк математики М. Шаль нашел у одного парижского букинистарукописную копию с этого замечательного труда. В нем Дезарг впервыерассматривает конические сечения как перспективу круга. Благодаря этому всеучение о конических сечениях принимает чрезвычайно простую изящную форму,охватывая в одном методе все три вида кривых (эллипс, парабола и гипербола).Пользуясь перспективой как общим методом исследования, Дезарг пришел кнеобходимости рассматривать так называемые бесконечно удаленные элементыпространства. Он считал, что все параллельные прямые пересекаются в точке,которая является таким бесконечно удаленным элементом. Этим шагом Дезаргположил начало проективному представлению пространства (полное проективноепространство) и сделал возможным изучение проективных преобразований. Наконец,третьим важнейшим результатом работы Дезарга является его исследованиеинволюционного соответствия точек прямолинейного ряда. Здесь и самый термин«инволюция» принадлежит Дезаргу и взят им из ботанического словаря. Прямую, накоторой расположен ряд точек, он называет «древом», точку отсчета отрезков –«стволом», самые отрезки – «ветвями» и т.д. Дезарг рассматривал инволюционноерасположение пар точек на прямой и ему принадлежит доказательство весьма общейтеоремы о том, что пучок конических сечений, проходящих через четыренеподвижных центра в пересечении с прямой дает инволюцию. Наконец, необходимоупомянуть о теореме Дезарга относительно гомологических треугольников.Фундаментальное значение этой теоремы для геометрии нельзя не заметить. РаботыДезарга заложили научные основы проективной геометрии, поэтому его следует посправедливости считать основоположником этой дисциплины.
ТеоремаДезарга является фундаментальной теоремой проективной геометрии. Перед тем каксформулировать ее, дадим проективное определение треугольника.
/>
Треугольником,или трехвершинником, или трехсторонником называетсяфигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых (ане отрезков прямых), соединяющих эти точки попарно (рис. 1). Точкиназываются вершинами, а прямые – сторонами треугольника.
Вдальнейшем будем говорить о треугольниках только в смысле этого определения,если не будет оговорено противное.
ТеоремыДезарга, прямая и обратная, верны как в том случае, когда треугольники АВС иА'В'С' расположены в двух разных плоскостях, так и в том случае, когда онирасположены в одной плоскости. В первом случае мы говорим о теореме Дезарга впространстве, во втором случае о теореме Дезарга на плоскости. Точка Sназывается точкой Дезарга или центром перспективности, а прямая s– прямой Дезарга или осью перспективности данных треугольников.Два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга в пространственазываются перспективными, так как один из них есть перспективный образдругого; два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга наплоскости, называются гомологическими.
Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двухтрехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечениясоответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой. ABÇA'B'=P, ACÇA'C'=Q, BCÇB'C'=R, AA'ÇBB'ÇCC'=O.
/>
Доказательство:Рассмотрим векторы /> порождающиесоответствующие точки, так как А, А', О лежат на одной прямой, товекторы порождающие их линейно зависимы, т.е. />= />.
Из того,что В', В, О – лежат на одной прямой Þ />,/>, />-линейно зависимы Þ />= />
Точки С,С', О – лежат на одной прямой Þ />= г/> + />/>
/>= />= г/> + />/>
/>
/>,/>,/> – линейно зависимы Þ точки А, В, Р Î одной прямой, />,/>,/> — линейно зависимы Þ точки А', В', Р' Î одной прямой.
P=ABÇA'B'
/> – /> = />/> –/>=/> (2)
/>,/>,/> – линейно зависимы Þ точки А, С, Q Î одной прямой.
/> — линейно зависимы Þ точки А',С', Q' Î однойпрямой.
Следовательно,Q=АСÇА'С'
/> – /> =/>/> –/> = />(3)
/>,/>,/> – линейно зависимы Þ точки В, С, R Î одной прямой.
/>,/>', />' – линейно зависимы Þ точки В', С', R' Î одной прямой
Следовательно,R=ВСÇВ'С'.
Составимвыражение: />
/>=/>-/>-/>+/>+/>-/>=/>/>-векторы />, />, /> линейно зависимы Þ точки P, Q, R лежат на одной прямой.
Теоремадоказана.
Если точкипересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой,то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников,проходят через одну точку.
Доказательство при помощи теоремы Менелая
ТеоремаМенелая гласит:
Если точки X, Y, Z лежащие на сторонах ВС, СА, АВ(соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то
/>.
Обратно,если это уравнение выполняется для точек X, Y, Z, лежащих на трех сторонах треугольника,то эти три точки коллинеарны./> /> /> /> /> /> /> /> /> />
ТеоремаДезарга: Если два треугольникаперспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторонпересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.
Доказать: P, Q, R коллинеарны
Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым ипересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторонпересекаются в точках R, Q, P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек. {Q, C’, A’}, {R, B’, C’}, {P, A’, B’}
Лежащих насторонах трех треугольников />ОАС, />ОСВ, />ОВА, получим приэтом
/>,
/>,
/>
Перемножимэти три выражения и, проделав умеренное число сокращений, получим
/>,
Þ Точки Q, R, P коллинеарны.
Теоремадоказана.
Доказательство в проективной системе координат
На проективнойдействительной плоскости имеет место Теорема Дезарга.
ТеоремаДезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двухтрехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечениясоответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой. P=ABÇA'B', Q=ACÇA'C', R=BCÇB'C', AA'ÇBB'ÇCC'=Q
Доказать: P, Q, R лежат на одной прямой.
Доказательство: Введем проективную систему координат, примем точки А, В, С, Оза фундаментальные: А (1,0,0), В (0,1,0), С (0,0,1), О (1,1,1)
Координатыточки А' – есть линейная комбинация координат точки А и точки О,так как А¹А', то А'=aА + dq
Можноположить d=1. Тогда получаем А'=aА +q. Тоже самое относится и к другим вершинам трехвершинника A'B'C'. Поэтому А' (a+1,1,1), В' (1,b+1,1), С' (1,1,g+1) уравнение прямой АВ:
/> />
АВ: х3=0
Уравнение А¢В¢: />
А¢В¢: />
А¢В¢: />
Так какАВ/> А¢В¢=Р/>/>/>,
P:/>/>/>
P:/>/> P/>.
АС: />, A¢C¢:/>
АС: х2=0
A¢C¢: />
так какАС/>A¢C¢=Q
Q:/>,
тоQ/>
ВС: />, B¢C¢:/>
так какR=BC∩B¢C¢
R:/>/>, то R/>.
С помощьюусловия коллинеарности трех точек убедимся, что точки P, Q, R лежат наодной прямой.
Имеем
/>
Условиеколлинеарности выполнено, следовательно, P, Q, R Î одной прямой.
Теоремадоказана.
2. Применение теоремыДезарга к решению задач
2.1 Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости
В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваемтеорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовойплоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых,могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точексоединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурацииперспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что парасоответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, тоговорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.
Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости.При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.
Теорема Менелая гласит:
Если точки X, Y, Z лежащие на сторонах ВС, СА, АВ (соответственно продолженных)треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1.
Обратно, если это уравнение выполняется для точек X, Y, Z, лежащихна трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.
Теорема Дезарга.
Если два треугольника перспективны относительно точки и если их парысоответствующих сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым ипересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точкиО, а пары их соответствующих сторон пересекаются в точке R, Q, P. Длядоказательства применим теорему Менелая к тройкам точек. (Q, C’, A’), (R, B’, C’),(P, A’, B’) Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом(AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1 (CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1(BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1. Перемножим эти три выражения и проделав умеренноечисло сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1 что точки Q, R, P коллинеарные,теорема доказана.
2.2 Примеры решения задач
№1. Доказать, что медианытреугольника пересекаются в одной точке. AA’∩BB’∩CC’=S?
Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1 – дезарговыетреугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.
№2. В евклидовой плоскости в четырехугольниквписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельныестороны трапеции пересекаются на другой диагонали.
Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямойтеореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в точках,лежащих на одной прямой F, D, B, то есть точка пересечения непараллельных сторонтрапеции принадлежат диагонали BD.
№3. В евклидовой плоскостипротивоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно напротивоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общийцентр симметрии. Требуется доказать, что LN∩MK∩BD∩AC=S
Решение.
AC∩LN∩BD – треугольники ALD и СNB – дезарговые треугольникиудовлетворяют обратной теореме Дезарга AC∩LN∩BD=S. Треугольники DKCи BMA – дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга MK∩BD∩AC=S.Получили AC∩BD∩MK∩LN=S. Оба параллелограмма имеют общий центрсимметрии.
№4. В евклидовой плоскости дантреугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольникаслужит диагональю, а две другие – смежными сторонами. Доказать, что вторые диагоналиэтих параллелограммов пересекаются в одной точке. Требуется доказать, что AN∩BP∩CM=S.Решение: Треугольники ABC и NPM – дезарговые треугольники.
AB∩NP=Q (BC∩MP)=R (AC∩NM)=K лежат на однойнесобственной прямой P по теореме обратной теореме Дезарга NA∩BP∩CM=S.
№5. В конфигурации Дезаргаодну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговыхтреугольников и дезаргову прямую. Точка А – дезаргова точка. Треугольники A’RP иSCB – дезарговы треугольники A’S ∩ SC∩A’R=C’R∩C SB∩A’P=B’ P∩B CB∩RP=Q. Точки C’, B’, Q’S – дезаргова прямая.
№6. Прямая p лежит в плоскоститреугольника АВС; К=ВС (p, L=AC (p, M=AB (p,
R=BL (CM, S=CM (AK, T=AK (BL. Доказать, что прямые AR, BS и CT пересекаются в одной точке. Требуетсядоказать, что AR∩BS∩CT=Q
Решение
Треугольники АВС и RST – дезарговы треугольники. RS∩AB=M TS∩BC=Kточки M, K, L (по условию) TR∩AC=L. Таким образом, по теореме обратнойтеореме Дезарга AR∩BS∩CT=Q.
№7. Даны прямые a и b, пересекающиесяв точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана точка С не лежащая ни на однойиз данных прямых. Построить прямую SC. Построение. Выбираем произвольно прямуюs, точка A, A’ и В 1) AB (s=P, 2) P A’ (b=B’, 3) AC (s=R, 4) BC (s=Q, 5) A’R, B’Q, 6) B’Q (A’R=C’, 7) CC’ искомая прямая.
Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’ – дезарговы треугольники, прямая s – дезарговапрямая. AB (A’B’=P
AC (A’C’=R (s (по построению) BC (B’C’=Q По обратной теоремеДезарга AA’ (CC’ (BB’=S.
№8. Даны две точки P и Q и непроходящая через них прямая c. Построить PQ C, не проводя PQ.
Доказательство:
Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 – дезарговы. QQ2 (PP2=Z QQ1 (PP1=X S(по построению). Q1Q2 (P1P2=Y.
По обратной теореме Дезарга. PQ (P1Q1 (P2Q2=S (PQ (c=S искомаяточка.
№9. На евклидовой плоскостиданы две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () Спровести прямую, параллельную а и b.
1) Анализ: Произвольно выбираем прямую s. () А, А’ (а, () В (b.Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая () S (– несобственная,прямая s – собственная. Треугольники АВС и А’В’С’ – построить.
2) Построение:
1) АВ (s=P
2) A’P (b=B’
3) AC (s=R
4) BC (s=Q
5) A’R, B’Q
6) A’R (B’Q=C’
7) CC’ – искомая прямая.
3) Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’ – дезарговы. Формулировка обратнойтеоремы Дезарга.
Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и
А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, тоСС’||AA’.
По этой теореме СС’ – искомая прямая.
№10. Трапеция ABCD пересеченапрямыми p и q, параллельными основанию АВ, p (AD=M, p (AC=P, q (BD=N, q (BC=Q.Доказать, что точка MN (PQ лежит на прямой АВ. Требуется доказать, что MN (PQ(AB=K.
Решение:
Рассмотрим треугольники МРА и NQB. МР (NQ=S (, так как p||q. (p (q=S() PA (BQ=C AM (BN=D
DC||p||q (DC (p(q=S((C, D, S((одной прямой по теореме обратной теоремеДезарга MN (PQ(AB=K.
Тем самым доказали, что точка МN (PQ(AB.
№11. В евклидовой плоскости даныпараллелограмм АВСD, точка РCD и прямая пересекающая стороны АВ и АD. Провестипрямую || l. 1) Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задачарешается с помощью прямой теоремы Дезарга.
2) Построение:
1) NP, AC
2) NP (AC=S
3) MS (BC=K
4) KP- искомая прямая.
3) Доказательство:
треугольники ANM и CPK – дезарговы, так как AN (CP=R((AN||CP), CK (AM=Q((CK||AM)то по теореме Дезарга KP (NM=F((KP||NM.
Заключение
Работаимеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть,состоящую из 2 глав, заключение и библиографический список.
Во введенииобоснована актуальность выбора темы, поставлены цель и задачи исследования.Глава первая раскрывает общие вопросы, раскрываются исторические аспектыпроблемы «Теорема Дезарга и её применение к решению задач». Определяютсяосновные понятия, обуславливается актуальность звучание вопросов «ТеоремаДезарга и её применение к решению задач».
В главевторой более подробно рассмотрены содержание и современные проблемы «ТеоремаДезарга и её применение к решению задач».
Порезультатам исследования был вскрыт ряд проблем, имеющих отношение крассматриваемой теме, и сделаны выводы о необходимости дальнейшего изучения /улучшения состояния вопроса.
Такимобразом, актуальность данной проблемы определила выбор темы работы «ТеоремаДезарга и её применение к решению задач», круг вопросов и логическую схему еепостроения.
СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т., Геометрия: Учеб. пособиедля студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2. – М.:Просвещение, 1987. – 352 с.
2. Базылев, Геометрия» – М.: Просвещение, 1975
3. Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. «Пособие по проективной геометрии» –Оренбург: ОГПИ, 1994.
4. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19столетия, пер. с нем., 2-е изд., – М., 1966.
5. Глаголев Н.А., Проективная геометрия: Учеб. пособие длястудентов университетов, 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1963. -344 с.
6. Ефимов «Высшая геометрия» –: Наука, 1971
7. Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии– Оренбург: ОГПИ, 1995.
8. Каган В.Ф., Очерки по геометрии, М.: Издательство МосковскогоУниверситета, 1963. – 572 с.
9. Коксетер С.М. Новые встречи с геометрией – М.: Наука,1978, с ил.
10. Комиссарук А.М. Проективная геометрия в задачах: Учеб.пособие для математических факультетов педагогических институтов – Минск: Высшейшаяшкола, 1971, 320 с.: ил.
11. Певзнер, Проективная геометрия: учеб. пособие – М.: Просвещение,1980
12. Потоцкий Что изучает проективная геометрия – М: Просвещение, 1982
13. Хартсхорн Р.,Основы проективной геометрии: Учеб. пособие для студентов университетов. –М.: Мир, 1970