Теорема Силова

Оглавление
Введение
Глава I. Дополнительные сведения
1.1Вспомогательные понятия и утверждения
1.2Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа
1.3Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов
1.4Нормализатор множества в группе. Центр группы
1.5Теоремы о гомоморфизмах
Глава II. Теорема Силова
2.1Первая теорема Силова
2.2Вторая и третья теорема Силова
2.3Описание групп порядка pq
2.4Примеры силовских подгрупп
Заключение
Списоклитературы
 

Введение
 
В наши дни не безоснования говорят об “алгебраизации” математики, то есть о проникновении идей иметодов алгебры, как в теоретические, так и в прикладные разделы всейматематики.
В соответствии спринципом “важны не математические объекты, а отношения между ними” алгебраопределяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементамиразличных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарнойарифметики. В свою очередь на основе алгебраических соображений получаютсянаиболее естественные доказательства многих факторов из “высшей арифметики” –теории чисел. теорема силов лагранж
Одной из основных типовалгебраических систем является группа. Теория групп изучает в самой общей формесвойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике иеё приложениях. Понятие группы явилось исторически одним из первых примеровабстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом приперестройке других математических дисциплин на рубеже XIX-XXвеков, в результате которой понятие математической системы стало основным вматематике.
В ряду алгебраическихдисциплин составляющих совокупности, то, что иногда называют общей алгеброй,теория групп занимает, бесспорно, первое место как наиболее развита из этихдисциплин. Кроме того, теория групп представляется как область алгебры близко соприкасающийсяс рядом других алгебраических теорий.
Старейшей и интенсивноразвивающей ветвью теории групп, является теория конечных групп. Теорема Силоваявляется краеугольным камнем в теории конечных групп.
Целью данной дипломнойработы является изучение силовских р-подгрупп конечной группы и ихсвойств.
Цель обусловилапостановку и решение следующих задач.
1. Изучить основные понятия теории групп.
2. Рассмотреть теорему Силова и проанализироватьразличные способы доказательства.
3. Представить данную тему в развернутой форме, которая впоследствии может быть использована при чтении спецкурсов по теории групп.
Поставленные задачиопределили структуру дипломной работы, которая состоит из введения, двух глав,заключения и списка литературы.
В первой главе собранывспомогательные понятия и теоремы, используемые в работе, что позволило сделатьизложение более доступным и замкнутым.
Во второй главе даетсяопределение р-подгруппы, доказываются теоремы Силова, дается описаниегрупп порядка pq и, крометого, приводиться примеры силовских р-подгрупп.
 

Глава I. Дополнительныесведения
 
1.1 Вспомогательныепонятия и утверждения
Непустое множество Gс заданной на нем бинарной алгебраической операцией *называется группой, если выполнено следующие условия:
1) замкнутость – длялюбого a,bÎGэлемент a*bÎG;
2) ассоциативность –для любых a,b,cÎG справедливо равенство (a*b)*c=a*(b*c) ;
3) существованиенейтрального элемента – для любого aÎGсуществует элемент eÎGтакой, чтоa*e= e*a=a;
4) существованиеобратного элемента – для любого />существует элемент a-1ÎGтакой, чтоa*a-1=a-1*a=e.
Подмножество Hгруппы Gназывается подгруппой, если относительнооперации определенной во всей группы подмножество само является группой.
Предложение 1.1.1. Если подмножество H элементов группы Gсодержит вместе с двумя элементами a, bих произведение ab и вместе с каждым элементом a его обратный a-1, то H есть подгруппа G.
Доказательство. Надо лишь показать, что H обладает единицей, но единица G равна aa-1 при aÎH и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения. ■
Группа G, *> называется циклической, еслиона состоит из всех целых степеней одного элемента aÎG, то есть G={an|nÎℤ} и обозначается G=a> – циклическаягруппа, порожденная элементом a .
Теорема 1.1.2.Всякая подгруппа циклической группы сама являетсяциклической группой.
Доказательство. Действительно, если подгруппа H группы G=g> содержит только нулевую степеньэлемента g, то в H имеется только один элемент – единица eгруппы G (поскольку g=e). В этом случае, очевидно, H=e>.
Если же в подгруппе H содержится какая-нибудь ненулеваястепень элемента g, то в нейсодержится и некоторая положительная степень g, так как вместе со всяким элементом gk в подгруппу H входит и обратный ему элемент g–k. Пусть n – наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H, и h=gn. Покажем, что H=h>, то есть, что H исчерпывается различными степенямиэлемента h:
…, h-2, h-1, h=e, h1, h2,….
Допустим противное,получим, что в H содержитсяэлемент gs и sне делиться на n. Но тогда s можно представить в виде nq+r, где 0rn, откуда gs=(gn)qgr=hqgr. Значит, и элемент h–q(hqgr)=gr содержится в H, а это противоречит тому, что n– наименьшая из положительныхстепеней элемента g, содержащихсяв H. ■
Из этого рассужденияследует, в частности, что любая подгруппа аддитивной группы ℤ целых чисел является либо единичной подгруппой H={}, состоящей из единственного элемента, либоподгруппой Hn, состоящей из чисел, кратныхнекоторому целому числу n≥1:
…,-2n, -n, 0, n, 2n, ….
Напомним, что две группы G и G' с операциями * и ·называется изоморфными, и обозначаются G@G', если существует отображение f: G®G' такое, что:
1. f(a*b)=f(a)·f(b) для любых a, bÎG– отображение f сохраняет выполнимость операций в G и G', то есть отображение f –гомоморфно.
2. f– взаимнооднозначно.
Теорема 1.1.3. 1) Любая бесконечно циклическая группа изоморфна аддитивнойгруппе целых чисел ℤ.
2) Любая конечноциклическая группа порядка nизоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n.
Доказательство. 1) Определим отображение φ: G→ℤ, где φ(an)= n, тогда:
a) Так как всецелочисленные степени элемента a различны, то отображение φ(an)=n является биективным или взаимнооднозначным.
b) Сохраняются операции во множествах:φ(anak) = n+k= φ(an)+φ(ak).
Таким образом, 1)доказано.
2) G={e, a1,…,an–1} – циклическая группа. Определим отображение φтаким образом: G→ℤn, где φ(ak)= /> для любого ak из группы G, где kпринимает значения от до n-1.
a) Тогда двум равнымэлементам из группы Gсоответствуют два равных элемента из ℤn: из того, что am= akÛ am-k= eÛm-k: n, по определению, m=k(modn)Û />
b) Сохраняется выполнимость операций вгруппах: />(akam)=(ak+m)= =/>=/>= φ(am)+φ(ak). ■
Теорема 1.1.4.Пересечение любого множества подгрупп есть подгруппа.
Доказательство.Пусть A и B– подгруппы группы G,*>. Докажем, что H=A/>B– подгруппа.
1)  Замкнутость H относительно умножения.a,bÎHÞ/>/>/>
2) /> />
3) aÎH=A/>/> ■
Если M– произвольная часть группы G, то пересечение (M) всех подгрупп, содержащих M, называющиеся подгруппой,порожденной множеством M,а само M– порождающим множествомподгруппы (M). Иногда говорят, что элементымножества Mявляются порождающими элементамиподгруппы (M). Группа, обладающая конечнымпорождающим множеством, называется конечно порожденной. ■
Теорема 1.1.5. Если M– подмножество группы G, то
(M)= />.
 
Доказательство.
Обозначим правую частьчерез H, так как подгруппа (M) содержит все aiиз M, то (M)ÊH. С другой стороны, HHÍH, H-1ÍH, поэтому H– подгруппа, содержащая M. Отсюда HÊ(M)и окончательно H=(M). ■
Если каждое соотношение вгруппе G относительно порождающего множества Mявляется следствием из некоторогомножества соотношений Ф, то Ф – называют определяющим множествомсоотношений группы Gотносительно порождающего множества M. Группы, имеющие конечное число определяющихсоотношений, называются, конечноопределенными. Именно такие группы частовозникают в приложениях теории групп к геометрии и топологии. Иногдаопределяющие соотношения таковы, что элементам группы удается дать некоторуюканоническую запись, и умножение элементов в канонической записи непредставляет труда. Рассмотрим примеры этого рода.
Пример 1.Группа задана двумя образующими a и b, связанными соотношениями a2=1(то естьa=a-1), b3=1 и aba=b2. Очевидным следствием из этихсоотношений является ab2a=b. Последние два соотношения можнозаписать в форме ba=ab2 и b2a=ab. Эти соотношения позволяют переносить образующий a через b или b2 справаналево, заменяя b на b2 и b2 на b. Это позволяет записать любой элемент группы в форме akbm при k=0,1и m=0,1,2. Рассматривая элементы этого видаформально, с правилами умножения, вытекающими из правила переноса aсправа налево и условий a2=1и b3=1, нетрудно проверить, что символы akbm действительно образуют группу. Онаконечна, её порядок равен 6. Легко видеть, что она изоморфна симметрическойгруппе S3 подстановок из трех элементов. Изоморфизм даетсясоответствием a®(1,2),b®(1,2,3).
Пример 2. Группа задана двумя образующими c, aи соотношениями a2=1 и aca=c-1. Здесь образующий c свободен, то есть порождаетбесконечно циклическую группу. Очевидным следствием из этих соотношенийявляется acma=c–m при любом целом m. Из соотношения acma=c-mследует правило переноса образующего a справа налево, именно, cma=ac-m. Это правило позволяет записатьлюбой элемент группы в виде akcm при k=0,1 и любомцелом m. Легко проследить, что символы akcm при умножении с правилами,обусловленными соотношениями a2=1и cma=ac-m, действительно образуют группу.
1.2 Смежные классы поподгруппе и теорема Лагранжа
 
п.1. Пусть в группе G данаподгруппа H. Если a есть произвольный элемент из G,то произведение aH называетсялевым смежным классом группы Gпо подгруппе H, определенным элементом a.Аналогично дается определение правого смежного класса.
Представление группы G в виде объединения левых (правых)смежных классов по подгруппе Hназывается левосторонним (правосторонним)разложением группы Gпо подгруппе H.
 
G=/>/>.
 
Любые два левых(правых) смежных класса по одной и той же подгруппе либо не пересекаются, либосовпадают.
Предположим, что /> Æ докажем, тогда что />.
Имеем, />Æ следовательно, существует />, такой что />. Тогда, /> так каксуществует /> такойчто, /> следовательно/>.
Пусть y произвольный элемент группы H. Тогда элементы xy и x–1yÎH. Поэтому элемент cy=(ax)y=a(xy)ÎаH, а элемент ay=(cx–1)y= =c(x–1y) cÎH, так как каждый элемент из cH содержится в aHи наоборот, то aH=cH. Аналогично так же bH=cH и, следовательно, aH=bH.
Аналогично доказываетсяусловие совпадения правых смежных классов: />. ■
Любые два левых (правых)смежных класса по одной и той же подгруппе содержат одинаковое количествоэлементов.
В самом деле, докажем,что произвольный смежный класс aH содержит столько же элементов, сколько их в подгруппе H. Имеем:
/>,
/>.
Рассмотрим отображение φ:gH→H по правилу φ(ghi)=hi для любого hiÎH. Заметим что
 2) φ – отображение, то есть />.
Действительно, />.
 2) отображение φ взаимно однозначно, чтодоказывает проведение предыдущих рассуждений в обратном порядке.
 2) φ – отображение на H. В самом деле, прообразомпроизвольного элемента hÎHявляется элемент ghÎgH:φ(gh)=h. Итак, φ – взаимно однозначное отображение gHна H, отсюда следует, что gH и Hсодержат одинаковое количество элементов.■
Если группа G состоит из конечного числаэлементов, то она называется конечной группой, а число элементов в ней порядкомгруппы.
Теорема 1.2.1.(Лагранжа)Порядок подгруппы конечной группыявляется делителем порядка группы.
Доказательство.Пусть H–подгруппа конечной группы Gи/> –множество всех различных левых смежных классов группы G по подгруппе H. Тогда,
G=/>. (1)Причем любые два смежных класса, входящие в этообъединение, не пересекаются, как было отмечено выше. Поэтому если n– числоэлементов множества G и m–число элементов множества H, то есть число элементов в каждом левом смежномклассе, то в силу (1), получаем /> или />, где индекс /> – количество смежныхклассов в разложение (1). Теорема доказана. ■
Следствие 1. Порядок элемента конечной группы, является делителем порядкагруппы.
Доказательство. Пусть G– конечная группа, а его элемент порядка m. Тогда циклическая группа,порожденная элементом порядка m,имеет тоже порядок m,то есть />.Отсюда по теореме 1.2.1. m являетсяделителем порядка всей группы G.■
Следствие 2.Пусть G–группа простого порядка, тогда G–циклическая группа (изоморфна ℤp).
Доказательство. Действительно, группа G совпадает с циклическойподгруппой порожденной любымеё отличным от е, элементом.
п.2. Покажем, что теорему Лагранжа нельзя обратить, то естьне для любого делителя mпорядка группы существует подгруппа порядка m. Например, знакопеременная группа A4 – подстановок четной степени не содержит подгруппыпорядка 6. Хотя число 6 делит её порядок равный 12. Докажем это, предварительносформулируем утверждение.
Произвольная группапорядка 6 либо изоморфна ℤ6,либо изоморфна группе S3.
Доказательство.Пусть G–отличная от единичной группа,
/>, тогда по следствиютеоремы Лагранжа, все элементы искомой группы могут иметь порядки 1, 2, 3, 6.Рассмотрим три случая.
1) Если элементпорядка 6, тогда данная группа циклическая, изоморфна ℤ6.
2) Все неединичныеэлементы имеют порядок 2. Тогда группа G– абелева.
Пусть для любого элементаaÎG выполняется условие a2=e. В этом случае, если b также элемент группы G, то верно равенство:
(ab)2=e, откуда, (ab)(ab)=e и a(ba)b=e Умножим полученное равенство слева на a, справа на b, получим ba=ab. Отсюда вытекает, что группа G– абелева.
Пусть a,b элементы группы G. Несложно видеть, что множество элементов /> являетсяподгруппой группы G(достаточно проверить замкнутость и условие существование обратного элемента.)Порядок этой подгруппы равен 4. Этого быть не может по теореме Лагранжа (4 неявляется делителем 6). Следовательно, этот случай не имеет место.
3) Все неединичныеэлементы Gимеют порядок 2или 3 и естьобязательно элемент порядка 3.
Пусть a3=e, тогда a2=b, bÎG и /> обозначим за с – четвертыйэлемент группы G, отличный оттрех предыдущих.
Рассмотрим произведение ec, ac, a2c. Покажем,что ac=d, a2c=f–новые элементы группы G.
· Если ac=e, тоc=a2=b, противоречие с условием />
· Если ac=a, то c=e, противоречие.
· Если ac=a2=b, то a2a–1=a–1ac, или a=c, противоречие.
· Если ac=c, то a=e, противоречие.
Итак, ac=dÎG.
· Если a2c=e, то c=a противоречие.
· Если a2c=a, то c=b противоречие.
· Если a2c=a2, то c=e противоречие.
· Если a2c=c, то a2=e противоречие с условием a3=e.
· Если a2c=ac, то a=e противоречие.
Таким образом, группа G состоит из 6 элементов: G=/>.
Докажем, что c2=e. Действительно, очевидно, что c2≠ c, ac, a2c.
Если было бы c2=a (или c2=a2), то выполняется следующие c3=c2c=ac=d≠e, противоречие с условием, что всеэлементы группы G имеют либовторой или третий порядок (следовательно, c3=c2c=a2c=f≠e). Таким образом, ни c2, ни c3не равно e, что противоречит условию. Значит c2=e.
Покажем также, что d2=f2=e, то есть c произвольный элемент не входящий в подгруппу />, то d2≠a, a2(f2≠a, a2). Не сложно видеть, что d2=(ac)2≠c (иначе d=ac=b), d2=(ac)2≠ac, d2=(ac)2≠a2c=f (иначе f=a2c=b). Таким образом, d2=(ac)2=e и более того, a3=c2=(ac)(ac)=e.
Известно, чтосимметрическую группу подстановок S3,можно задатьдвумя образующими и тремя определяющими соотношениями. Следующим образом S3=/> где в качестве x можно взять подстановку />, а в качестве y: />.
Следовательно, мы можемутверждать, что />. Таким образом, если G группа и />, то G изоморфна либо ℤ6, либо S3.
Далее выпишем всеэлементы группы A4и построим таблицу умножения элементов.
Все 4!=24 перестановки изчетырёх символов 1, 2, 3, 4 расположим в таком порядке, чтобы каждаяпоследующая перестановка получалась от предыдущей с помощью одной транспозиции(перемены мест двух символов).
Начнём с перестановки 1,2, 3, 4. Итак,
/>/>/>.
Так как всякая транспозиция меняетчетность перестановки, то в полученном ряду все перестановки, взятые черезодну, являются четными (они подчеркнуты).
Теперь уже легко составить всеискомые четные подстановки достаточно в каждой из них в качестве первой строкизаписать перестановку (1234), а в качестве второй строки одну из найденных четныхперестановок. Итак,
A4=/>
/>.
Строим таблицу умножения.Таблица 1 e
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11 e e
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a1
a1
a2 e
a4
a5
a3
a7
a8
a6
a10
a11
a9
a2
a2 e
a1
a5
a3
a4
a8
a6
a7
a11
a9
a10
a3
a3
a7
a9
a11
a8
a1
a2
a5
a10
a6
a4 e
a4
a4
a8
a10
a9
a6
a2 е
a3
a11
a7
a5
a1
a5
a5
a6
a11
a10
a7 e
a1
a4
a9
a8
a3
a2
a6
a6
a11
a5
a7 e
a10
a4
a9
a1
a3
a2
a8
a7
a7
a9
a3
a8
a1
a11
a5
a10
a2
a4 e
a6
a8
a8
a10
a4
a6
a2
a9
a3
a11 e
a5
a1
a7
a9
a9
a3
a7
a1
a11
a8
a10
a2
a5 e
a6
a4
a10
a10
a4
a8
a2
a9
a6
a11 e
a3
a1
a7
a5
a11
a11
a5
a6 e
a10
a7
a9
a1
a4
a2
a8
a3

Из таблицы 1 видим, чтоэлементами второго порядка будут: />
/> /> 
и, кроме того, этиэлементы попарно перестоновочны. Заметим, что в A4 нет элементов шестого порядка. Действительно, a1=a1a1a1=e элемент третьего порядка,
a2=a2a2a2=e элемент третьего порядка,
a3=a3a3a3=e элемент третьего порядка,
a4=a4a4a4=e элемент третьего порядка,
a6=a6 a6a6=e элемент третьего порядка,
a7=a7a7a7=e элемент третьего порядка,
a10=a10a10a10=e элемент третьего порядка,
a11=a11a11a11=e элемент третьего порядка.
Из приведенных вычисленийследует, что в группе A4 нетэлемента шестого порядка. Следовательно, искомая подгруппа A4 не изоморфна циклической группе ℤ6.
Заметим также, что вгруппе подстановок S3 существуютэлементы второго порядка, но они не перестановочны. В самом деле, выпишем всеэлементы симметрической группы.
S3=/>.
Построим их таблицуумножения.Таблица 2 e
s1
s2
s3
s4
s5 е e
s1
s2
s3
s4
s5
s10
s1 e
s3
s2
s5
s4
s2
s2
s5
s4
s1 е
s3
s3
s3
s4
s5 e
s1
s2
s4
s4
s3 e
s5
s2
s1
s5
s5
s2
s1
s4
s3 e
Несложно видеть, чтоэлементы s1, s3, и s5 будут элементами второго порядка, но они как видно изтаблицы 2 не перестановочны, и, следовательно, никакая подгруппа группы A4 не изоморфна группе S3. Утверждение доказано.
1.3 Нормальныеподгруппы. Классы сопряженных элементов
Если левостороннееразложение группы Gпо подгруппе Hсовпадает справосторонним, то Hназывают нормальной подгруппой группы G (нормальный делитель, инвариантная подгруппа)и обозначается />. Для любого элемента gÎGбудет выполняться равенство
 
Hg=gH,                                 (1)
то есть подгруппа H будет перестановочна с каждымэлементом группы G.
Пусть H– нормальная подгруппа G. Определим умножение смежных классовформулой:
 
aH·bH=abH                           (2)

Ясно, что условие (1)равносильно условию g–1Hg=H.
Говорят, что элемент, асопряжен с элементом bпосредствам элемента g, если />. Часто используют степенныеобозначения />.
Теорема 1.3.1.Множество всех смежных классов группы G по нормальной подгруппе H относительно умножения (2) являетсягруппой, которая называется факторгруппой группы Gпо H и обозначается G/H.
Доказательство. 1) Ассоциативность умножения классоввытекает из ассоциативности умножение элементов группы. Пусть g1, g2, g3ÎG, тогда
(g1H×g2H)·g3H= (g1g2)H·g3H=g1g2g3H=g1(g2g3)H= =g1H (g2g3)H= g1H·(g2H·g3H).
 2) Единицей в G/H будет смежный класс eH=H, так как HaH=eH·aH=eaH=aH. Аналогично aH·H=aH.
 3) (aH)–1=a–1H, так как aH·a–1H=(aa–1)H=eH=H. ■
Покажем, что отношениесопряжения на множестве является отношениями эквивалентности. Очевидно, чтовсякий элемент a сопряжен ссамим собой, так как a=e–1ae.
Кроме того, если элемент G сопряжен с элементом a, то есть b=g–1ag, тоa=gbg–1.Следовательно, отношение сопряженности симметрично. Наконец, если b=g1–1ag1, c=g2–1bg2, то c=(g1g2)–1a(g1g2), то есть отношение сопряженности элементов транзитивно. Отсюда следует,что всякая группа Gраспадается на непересекающиеся множества сопряженных между собой элементовили, как говорят, на классы сопряженных элементов. ■
1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы
 
п.1. В отличиеот смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. Привычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.
Пусть M– подмножество, H–подгруппа группы G. Нормализатороммножества M в подгруппе Hназывается множество:
 
NH(M)=/>,/>
которое, как легкопроверить, является подгруппой в H. Если не указано, в какой подгруппе H берется нормализатор, то это означает, что он беретсяво всей группе G. Очевидно, подгруппатогда и только тогда нормальна в группе, когда её нормализатор совпадает совсей группой.
Теорема 1.4.1. Если M– подмножество, H– подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H, равна индексу /> В частности,
/>.
 
Доказательство. Отобразим множества Mx, xÎH, на правые смежные классы группы H по подгруппе N=NH(M), полагая
(Mx)φ=Nxдля xÎH.
Отображение φ однозначно,так как из Mx=My следует Nx=Ny. Отображение φ переводит разные элементы вразные, так как из Nx=Ny следует Mx=My. Наконец, φ – отображениена, так как каждое Nxимеет прообраз Mx.■
Пусть M– подмножество, H– подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором M в H совокупность тех элементов из H, которые перестановочны с множествомM в целом. Можно рассмотреть такжемножество тех элементов из H,которые перестановочны с Mпоэлементно, то есть
 
CH(M)=/>.
Это множество называется централизатороммножества M в подгруппе H. Если M состоит из одного элемента, то, конечно, егонормализатор и централизатор в Hсовпадают.Если не указано, в какой подгруппе H берется централизатор, то это означает, что он берется во всей группе G.
Централизатор всей группыG называется её центром иобозначается Z(G),
 
Z(G)=/>.
Очевидно, что группатогда и только тогда абелева, если она совпадает со своим центром. Ясно, чтоединица е всегда лежит в центре. Если других центральных элементовгруппа не содержит, то она называется группа с тривиальным центром. Заметимещё, что любая подгруппа центра нормальна в группе.
Теорема 1.4.2.Пусть />, где p– простое число. Тогда центр Z(G) группы Gнетривиальный, то есть содержит неединичные элементы.
Доказательство. Ранее было показано (см.  3), чтолюбая группа G разбиваетсяна не пересекающие классы сопряженных элементов. Среди классов будутодноэлементные образованные элементами центра, причем их число неравно нулю,так как единица е группы G образуют одноэлементный класс.
Пусть число элементовцентра равно t. Всеэлементы, не принадлежащие центру Z(G), порождают классы сопряженных элементов. Обозначим />,классы сопряженных элементов содержащие более одного элемента. Число элементовв каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса (потеореме 1.4.1. учитывая, что нормализатор и централизатора одного элементасовпадают):
/> />.
Следовательно, по теореме Лагранжа />, где />.
Тогда />, из этого равенстваследует, что t делиться на p и так как />, то /> таким образом централизатор Z(G) группы G нетривиален.■
Далее докажем одно несложноеутверждение которое понадобиться в дальнейшем.
Предложение 1.4.3. Фактор группа некоммутативной группы Gпо её центру Z(G) не может бытьциклической.
Доказательство (от противного). Действительно, если G/Z(G) циклическая,то в смежном классе по Z являющимися образующим элементом этой циклическойгруппы. Выберем некоторый элемент а. Подгруппа, порождающая этимэлементом вместе с элементами из Z(G) совпадает со всей группой G. Из перестановочностимежду собой названных элементов следует коммутативность самой группы G–противоречиес условием. ■
Из доказанной выше теоремы1.4.2 и предложения 1.4.3 вытекает следующее утверждение.
Теорема 1.4.4.Любаягруппа G порядка p2, где p– простое число, коммутативна.
Доказательство(отпротивного). Пусть G– некоммутативная группа, так как Gявляется p-группой(конечная группа P является p-группой, если />), то её центрне единичен, то есть />. Рассмотрим G/Z(G). Порядок G/Z(G) равен pпо теореме Лагранжа, следовательно, G/Z(G) – циклическая(см. следствие 2 теоремы Лагранжа) – противоречие с предложением 1.4.3. Такимобразом G–коммутативна. ■
п.2. Рассмотрим конструкцию, позволяющую по заданнымгруппам строить новые группы. Одна из самых простых, но важных конструкцийсостоит в следующем.
Пусть A, B– группы,легко проверить, что множество /> всех упорядоченных пар (a, b)где />, /> с бинарнойоперацией /> являетсягруппой. Она называется прямым произведением (внешним) групп Aи B.При аддитивной записи групп, естественно говорить опрямой сумме />.
Теорема 1.4.5. Пусть G– группа с нормальными подгруппами AиB. Если /> и AB=G,то />.
Доказательство.Из равенства AB=Gследует, что любой элемент /> записывается в виде g=ab, где /> />. Пусть ещё G=a1b1, /> />. Тогда />, /> и />. Следовательно, /> /> и мы пришли к выводу,что запись /> однозначна.
Далее, так как /> то коммутатор />; так как />, то />, то есть,получаем /> и,стало быть />.
Определим теперь отображение φиз />.Полагая /> длялюбого />.Проверим закон сохранения операции. Согласно выше сказанному:
/>/>
Это отображение являетсясюрьективным, ибо G=AB. Более того, отображение φявляется взаимно однозначным так как если ab=a1b1 при />, /> то, как это мыпоказали, выше a1=a, b1=bи, следовательно, /> таким образом φ –удовлетворяет всем свойствам изоморфного отображения групп. ■
Группу G,удовлетворяющую условиям теоремы 1.4.5 принято называть (внутренним) прямымпроизведением своих подгрупп A, B.Отличие от внешнего прямого произведения состоит в том, что Gсодержит в качестве прямых множителей сами группыA, B, а не просто их изоморфные копии />/>, />.
Последние определение прямогопроизведения (внутреннего). Можно заменить следующим ему эквивалентным. Группа Gесть прямоепроизведение своих подгрупп />, если
1) Элементы из любых двух подгрупп Hi и Hj, />, перестановочны между собой.
2) Всякий элемент gи G однозначно записываются в виде произведения
/>/>где />,                                         
1.5 Теоремы огомоморфизмах
Пусть G– группа и P– другая группа. Пусть каждомуэлементу aÎG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение φ называется гомоморфнымили гомоморфизмом Gв S, если произведение элементов из Gсоответствует произведение ихобразов, то есть
φ(a1a2)=φ(a1)φ(a2), где φ(a) – образ aÎG при отображение φ.
Предложение 1.5.1.Гомоморфным образом φ(G) группы G являетсягруппой. Образом единицы группы G является единица образа, и взаимно обратным элементом G соответствуют взаимно обратныеобразы.
Доказательство. φ(ab)=φ(a)φ(b) означает, что произведение двух элементов из φ(G)Îφ(G). Ассоциативность следует из ассоциативности в G и S. Равенство φ(a)=φ(1a)=φ(1)φ(a) показывает, что φ(1) есть левая единица для φ(G). А φ(а–1)φ(а)=φ(а–1а)=φ(1) показывает, что φ(а–1)есть левый обратный элемент для φ(а)в φ(G). Это достаточно для заключения, что φ(G) есть группа (так как φ(а)=φ(а1)=φ(а)φ(1) и φ(а)φ(а–1)=φ(аа–1)=φ(1)).■
Гомоморфизм G в S, при котором различным элементам из G сопоставляется различные элементы в S.
Всякое изоморфноеотображение группы Gна себя называется автоморфизмом. Если в группе G выбран некоторый элемент а,то отображение, переводящее всякий элемент х этой группы в элемент
а–1ха, то есть трансформирование всей группы элементов а,будет автоморфизмом группы G.Действительно, из а–1ха=а–1ya следует x=y, то есть отображение взаимно однозначно. Равенство х=а–1(аха–1)а
показывает, что при этомотображении всякий элемент группы будет образом некоторого элемента. Из соотношенияa–1xa·a–1ya=a–1(xy)a
следует изоморфизмрассматриваемого отображения. Такой автоморфизм группы G называется её внутреннимавтоморфизмом.
Пусть φ –гомоморфное отображение группы G на группу S. Множествовсех элементов из G,имеющих один и тот же образ хÎS, называется полным прообразом элемента х иобозначается φ–1(х). Полный прообраз единицыгруппы S называется ядром гомоморфизма.
Предложение 1.5.2. Ядро гомоморфизма φгруппы G на группу S является нормальной подгруппойгруппы G.
Доказательство. Введем обозначение H для ядра. Если aÎH, то
a–1ÎH, ибо
φ(a–1)=(φ(a))–1=1. Если aÎH и bÎH, то abÎH, ибо φ(ab)=φ(a)φ(b)=1·1=1. Наконец, если aÎH и cÎG, то c–1acÎH, ибо
φ(c–1ac)=φ(c)–1φ(a)φ(c)=φ(c)–11φ(c)=1. ■
 
Предложение 1.5.3.В условиях предложения 1.5.2. полные прообразыэлементов из S являетсяклассами смежности по ядру гомоморфизма.
Доказательство. Если a и bпринадлежат одному классу смежности по H, то b=za при zÎH, тогда φ(b)=φ(z)·φ(a)=1·φ(a)=φ(a). Обратно, если φ(a)=φ(b), то φ(ab-1)=1, так что ab-1ÎH, aÎHbи bÎHb. ■
Теорема 1.5.4. (первая теорема огомоморфизме) Гомоморфный образ группы изоморфен её факторгруппе поядру гомоморфизма.
Доказательство. Между образами при гомоморфизме иэлементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силупредложения 1.5.3. Оно сохраняется при умножении, ибо
φ((Ha)·(Hb))=φ(Ha)·φ(Hb).
Остается доказать любаяли нормальная подгруппа может быть принята за ядро гомоморфизма. Ответположительный, так как отображение группы G на факторгруппу G/Hпо нормальной подгруппе H, заключающиеся в том, что каждому элементу группы Gсопоставляется содержащий его класссмежности, есть гомоморфизм, и его ядро совпадает с H (это следует из определения умножение классовсмежности как элементов факторгруппы). ■
Предложение 1.5.5.Hи K подгруппы группы Gи />, тогда /> является подгруппой группы />, /> и />.
Доказательство. Пусть /> причем /> тогда рассмотрим (hk)–1= k-1h-1 (по одному из основных свойствгруппы):
/>, причем />, так как /> поэтому, /> таким образом, для каждогоэлемента /> существуетобратный />.
Пусть />, причем />, /> тогда
/>/> где /> и поэтому />, то есть условиезамкнутости выполняется, таким образом, в силу предложения 1.1.1. можем считать,что HK является подгруппой группы G.
Кроме того, так как длялюбого /> />, то Hk=kH, следовательно, HK=KH. Далее для любого элемента /> имеем />. Откуда />. ■
Теорема 1.5.6(об изоморфизме). Пусть G– группа и H и Kдве его подгруппы. Причём /> тогда /> и />.
Доказательство. Покажем что подгруппа /> нормальна в K />. Тогда для />: />, так как /> и />, /> и по условию />,следовательно, /> для любого kизKи значит />. Кроме, того, по предыдущемупредложению имеем HK=KH подгруппа группы G и />.
Существует сюръективныйгомоморфизм />,сопоставленный каждому /> смежный класс /> группы /> по подгруппе H. Несложно видеть /> является ядромгомоморфизма, таким образом, по теореме 1.5.4. получаем:
/>. ■
Глава II. Теоремы Силова
 
2.1 Первая теоремаСилова
 
Лемма 2.1.1.Пусть G конечная абелева группа порядка m и p–простое число, делящее m.Тогда G содержит подгруппу порядка p.
Для доказательстваданного утверждения нам потребуется некоторые дополнительные понятия.
Пусть G– определена как и выше и a – некоторый элемент группы G натуральное число m такое, что am=e называетсяпоказателем элемента a. Среди показателей минимальным является порядокэлемента a. ■
Лемма 2.1.2.Все показатели элемента делится на его порядок.
Доказательство.Пусть n – порядок элемента a,то есть an=e, m>0 другойпоказатель элемента. Тогда по теореме о деление с остатком получаем m=nq+r, 0≤r≤n-1 и am=anq+r=(an)q∙ar=e∙ar=ar, так как 0≤r≤n-1 то rможет равняться только нулю и поэтому m=nq и, очевидно, m делится n. Лемма доказана. ■
Показатель группы G называется такое натуральное число m, что xm=e для любого xÎG. Порядок группы принадлежит и числуего показателей.
Теперь возвратимся кдоказательству Леммы 2.1.1. По условию леммы порядок группы G делиться на p. Если n делиться p, то в силу доказанного выше, в G существует элемент x такой что /> делиться на p. Пусть />, sÎℤ, тогда xs≠exps=(xs)p=e, то есть элемент xs имеет порядок p. И, следовательно, порожденная имциклическая подгруппа x> тоже будет иметь порядок p. Лемма 2.1.1. доказана. ■Теорема 2.1.3 ( первая теорема Силова). Пусть G – конечная группа порядка n, p – простое число. Тогда
a) (Существование) Для каждойстепени pα(α≥1) делящий n, в Gсуществует подгруппа порядка pα.
b) (Вложение) Если pα делит порядок G, то каждая подгруппа порядка
pα–1из G вложена в некоторую подгруппу порядка pα из G.
Доказательство. а) Доказательство проведем индукциейпо n.
1. При n=1 теорема очевидна (очевидна также теорема n=2, n=3).
2. Предположим, чтотеорема верна для всех групп порядков меньше n.
Далее рассмотрим два случая:
(i) Если Z центр группы G и порядок Z делиться на p. Тогда по лемме 2.1.1. так как Z – абелева группа и его порядок,делиться на p, то в Z существует подгруппа порядка p. То есть существует zÎZтакое, что />, но любая подгруппа центра являетсянормальной подгруппой, следовательно />. Рассмотрим фактор группу />.
По теореме 1.2.1(Лагранжа) /> или
/> и, следовательно, порядок /> делиться на /> поэтому поиндукционному предположению в /> существует подгруппа /> порядка />, тогда полныйпрообраз подгруппы />, подгруппа P в группе G, по теореме 1.2.1. (Лагранжа) будем иметь порядок />: /> следовательно,P– искомая подгруппа. (i) – доказано.
(ii) Порядок k центра Z не делиться на p, то есть НОД(k, p)=1, тогда разобьем Gна классы сопряженных элементов. Класс одноэлементен если состоит из элементовцентра. Пусть />, тогда />, где /> – не одноэлементные классысопряженных элементов обозначим />. Следовательно, /> так как по условию /> и НОД(k, p)=1, то хотя бы одно из чисел /> также должно быть взаимно простос p.
По теореме 1.4.1.получаем, что если />, то мощность класса сопряженных с g элементов:
/>,
учитывая что /> – взаимнопросто с p по теореме Лагранжа получаем, что /> делиться на рαпо индукционному предложению так как порядок NG(g) меньше порядка G, то в NG(g) содержитсяподгруппа порядка pα.Вместе с (ii) доказано и а).
b) Пусть /> и порядок />. Обозначим Δ–класс подгрупп сопряженных с Pэлементами из группы G.Рассмотрим два случая.
(i) Порядок Δ и P взаимно просты, то есть НОД(/>Δ/>,/>P/>)=1 по теореме 1.4.1. />Δ/>=/>в силу теоремы Лагранжа,получаем: /> и,/> следовательно,/>/>Δ/>/>отсюда следует, так какпорядок G делится на />, /> и НОД(/>Δ/>,/>)=1, то /> поэтому попункту а): существует подгруппа /> группы />, />. Откуда получаем, что полныйпрообраз подгруппы />подгруппа H имеет
 
pα-1·p=pα и />.
(ii) 
(iii) Порядок Δделиться на p.
Пусть Δ={P}ÈΔ1È…ÈΔm,Δ– это разбиение на подклассы подгруппсопряженных с P. Если порядок Δ=m+1, то
Δ=/>,
Δ=/>

(Обозначим Δ1 –подклассы подгрупп сопряженных с P1,Δ2– подклассы подгрупп сопряженных с P2 и т. д.). Тогда если QiÎΔi, то
/>Δ/>=/>– по теореме 1.4.1. таккак по теореме Лагранжа
/>, то />Δi/>=pα, где 0≤α≤α-1.
Откуда />Δ/>=/>и по условию порядок Δделиться на p.Следовательно, должно существовать i–такое, что αi=0и />Δi/>=1, значит, в подклассе Δi лежит только одна подгруппа. Пусть Δi={Q}, тогда для любого pÎP:p–1Pp=Q то есть P нормализует Qи />. Далееприменяя предложение 1.5.5 получаем, что PQ подгруппа группы G, причем />. Применяя теорему 1.5.6. (обизоморфизме) имеем />. Отсюда по теореме Лагранжа следует />. Учитывая,что Q сопряжено с P получаем: />, где β >0 (так какесли β=0, то /> и, следовательно />, что неверно).
Сейчас применим кподгруппе PQ внутренний, автоморфизм группы G, который пересекает подгруппу Q в Qg=P. Получаем, что образ подгруппы PQ при этом автоморфизме будет являтьсяподгруппа.
/>,
причем P будет являться нормальной подгруппойгруппы P’P. Рассмотрим фактор группу P'P/P, />, />>0. Следовательно, P'P/P существует, по пункту а) подгруппа /> порядка p. Тогда полный прообраз подгруппы /> подгруппа H и будет являться искомой подгруппойпорядка />.Пункт b) теоремы доказан полностью. ■

2.2 Вторая и третьятеорема Силова
Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p-подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает вчастности, что силовские p-подгруппыконечной группы, это в точности подгруппы порядка pt где pt– максимальная степень p делящий порядок группы.
Теорема 2.2.1.(вторая теорема Силова)
(Сопряженность) Все силовские p– подгруппы группы G сопряжены.
Доказательство.Пусть P–силовская подгруппа, если />, где НОД(p,m)=1, то/>. Пусть, Δ как и раньше классподгрупп, сопряженных с Pэлементами из G. Покажем, чтоесли Q симметрическая p– подгруппа, то QÎΔ. Из теоремы 1.4.1. имеем
/>Δ/>=/>.
По теореме Лагранжа, получаем
/>Δ/>Δ/>/>Δ/>, НОД(/>Δ/>,p), откуда />Δ/>и, следовательно, разобьем Δна подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из Q: Δ=Δ1È∆2…È∆k
Если подгруппа SÎΔi, то />Δ/>, />.
Следовательно, /> Δ/>.
Отсюда так какНОД(/>Δ/>, то существуетi такое что /> и Δi={S}. Таким образом, Sq=S и, значит, />. Тогда по предложению 1.5.5. /> подгруппагруппы G, />. Применяя теорему 1.5.6 (обизоморфизме) получаем: />. Откуда получаем />. Следовательно, потеореме Лагранжа порядок Gделиться />,но t– максимальная степень числа p, поэтому α=0 и />. Отсюдаследует /> изначит Q=S (так как />). И так />Δ, что итребовалось доказать.Теорема 2.2.2. (третьятеорема Силова)
(Количество) Количество силовских p-подгрупп группы G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.
Доказательство.Пусть P–силовская p-подгруппа, Δ – класс всехподгрупп сопряженных с pэлементами из G.
По теореме 2.2.1. (втораятеорема Силова) Δ совпадает с множеством всех силовских p-подгрупп так как
/>Δ/>, по теореме Лагранжа
/>Δ/>, то есть порядок G делиться на порядок Δ.
Разобьем Δ наподклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из P:Δ={P}ÈΔ1È…ÈΔs, если подгруппа RÎΔ, то |Δ|=/>и, следовательно,|Δi|=/>, />. Если /> Δi={R} и />. В силу предложения 1.5.5.получаем что RP=PRподгруппы группы G и />.
Далее по теореме 1.5.6.(об изоморфизме) получаем />, следовательно, /> так как t – максимальная степень числа p, то n=0, отсюда следует />. Противоречие с тем что />, поэтому /> и, следовательно, имеем:
|Δ|=/>, таким образом, порядок |Δ |=1 (mod p). Теорема доказана. ■
Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение:
i)  Силовская р-подгруппа Ргруппы G нормальна в G тогда и только тогда, когда онаединственна.
ii)  Конечная группа G порядка /> является прямым произведениемсвоих силовских />-подгрупп /> в точности тогда, когда все этиподгруппы нормальны в G.
Доказательство:(i) Все силовские подгруппы, отвечающие данному простомуделителю р порядка />, по второй теореме Силовасопряжены. Условие единственности Р означает, что /> для любого элемента /> то есть />.
(ii) Докажем вначале
Необходимость. Пусть />, где /> – силовские подгруппы группы G. Тогда в силу теоремы 1.4.5 /> нормальна в G как любой прямой множитель.
Достаточность. Пусть теперь /> нормальна в Gи />, то есть каждая силовскаяподгруппа /> единственнав G. Заметим, во первых, что если />, /> />, /> и, следовательно, x=e. Стало быть, /> отсюда для любых />, /> учитывая, что />.
/>. С другой стороны, так как />, то
/>, отсюда следует, /> то есть элементы /> и /> перестановочны.
Пусть единичный элемент /> записан в виде/>, где/>– элементпорядка />.Обозначив /> ивоспользовавшись перестановочностью />, получим

/> (1)
Учитывая, что /> – это порядокэлемента />.Из последнего равенства (1) получаем />, так как /> и /> взаимно просто, то />. Это верно прилюбом j, и, значит равенство /> возможно лишь при />.
С другой стороны каждыйэлемент /> порядка/>, /> записывается ввиде,
/>, />, />. (2)
Достаточно положить />, гдепоказатели определяются условиями
/>, />.
Предположим теперь, что хдопускает другую запись в виде произведения />– элементов />, то есть справедливоравенство />.
Домножим обе частиравенства справа на />, получим
/>
В силу перестановочности /> и /> будем иметь

/>
как было показано выше,влечет равенства />, то есть />
Таким образом, каждыйэлемент группы G записывается ипритом единственным образом в виде (2), то есть смотри  4 п. 2 /> ■
2.3 Описание групппорядка pq
Теорема Силова часто даетвесьма существенную информацию о данной конечной группе, а группы не оченьбольшие позволяет описать полностью.
Пусть />, p и qпростые числа.
1. Рассмотрим первыйслучай, когда p=q, то есть порядок />. Тогда по теореме 1.4.4.G– абелева.
2. Пусть pи q по-прежнему простые числа, но /> pq.
Тогда в группе G по первой теореме Силова существуетсиловские подгруппы порядка pи q, которые по следствию 2. теоремыЛагранжа будут являться циклическими.
Пусть />– силовские p — и q — подгруппы соответственно. По третьей теореме Силовачисло силовских q — подгрупп в G равно
/> и делит pq. Откуда следует, что /> и подгруппа />– единственна.В силу теоремы 2.2.3. (i): />. Аналогичночисло силовских p-подгрупправно />иделит pq. Здесь возможно два случая: /> и />.
а) Силовская />– единственна,тогда она нормальна в G.Применяя туже теорему 2.2.3., но уже пункт (ii), получаем, что />. По теореме 1.1.3. />,следовательно, /> таким образом, в этом случае />. ■
в) 1+kp=q, то есть имеется q силовских p-подгрупп. Из условия 1+kp=q следует /> или />. В силу второй теоремы силоваподгруппы /> и/> сопряжены.Пусть
/>                                                                               (1)
Если r=1, то /> или ba=ab. Из последнего равенства следует,что /> изначит, как и выше />. Пусть /> и r>1 тогда выясним, какое может быть r удовлетворяющее равенству (1). Изравенства (1) индукцией по xполучаем />,откуда
/>,                                                 (2)
для всех целых x, y.
При x=p, y=1 из равенства (2) будем иметь вид /> так как />, то получаем /> или />. Известно, чтоесли элемент х группы Gимеет порядок n, то /> тогда и только тогда когда />.Следовательно, />, то есть /> или />.
Кроме того, из равенства(2) можно получить более общую формулу умножения. Домножим равенство (2) слевана ах: /> далее полученное равенстводомножаем слева az:/> изполученного равенства умножаем, справа на элемент bt получаем

/>                                                          (3)
Обратно покажем, что если/>, /> и r не сравнимо с 1 по (modq) то формула (3) определяет неабелеву группу порядка pq.
/>Таким образом с помощьютеоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq, при условии, что pq их оказалось два – абелев и неабелев, причем второйсуществует только при условии />.
2.4 Примеры силовскихподгрупп
 
Пример 1. Если порядок n аддитивной группы кольца вычетов ℤn имеет каноническое разложение />, то, как в  3ℤn разлагается в прямое произведениесвоих силовских p-подгрупп,которые являются циклическими подгруппами />, то есть
/>.
 
Пример 2. Рассмотрим обще линейную группу над конечными полями GF(q) из q элементов. Напомним, что общейлинейной группой GLn(q) называется группа всех обратимых матриц порядка n над полем GF(q). Унитриугольную подгруппу UTn(q) группы GLn(q) составляют все матрицы с нижним нулевым углом и единицами наглавной диагонали.
Пусть– простоечисло, m, n– целые числа /> и />. Покажем, что UTn(q) – силовская р-подгруппа группы GLn(q). Для этого подсчитаем порядки этих групп.
Выясним, какиепоследовательности из nэлементов поля GF(q)могут быть первой строкойневырожденной матрицы. Очевидно, любые кроме нулевой, /> то есть всего такихпоследовательностей qn–1штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно
взять любую непропорциональную первой. Таких строк qn–q. Если две первые строки уже выбраны, то в качестветретьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух, это дастqn-q2 возможностей и так далее. Значит
/>,
так как условные элементыматрицы из UTn(q)пробегают независимо друг от друга все поле, а всего условныхмест С2n,то />.Преобразуем выражение
/>.
Вынесем из второй скобкиравенства – q, из третьей – q2 и из n – qn-1, получим
/>/>.
Учитывая, что /> окончательнополучаем,
/>.

В свою очередь так как, />, но />.Теперь из сравнения порядков групп GLn(q) и UTn(q) видем, что UTn(q) силовская p-подгруппав GLn(q).
 

Заключение
 
В процессе выполненияданной дипломной работы были выполнены все поставленные задачи, тем самым цельработы достигнута.
В первой главе былисобраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в дипломной работе.
Во второй главедоказываются теоремы Силова и дается описание групп порядка pq.
Материалы даннойдипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурсов посвященных кактеории групп вообще, так и отдельным её разделам.
 

Списоклитературы
 
1. Варпаховский Ф.Л.и др. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства.Линейные отображения. – Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1978 .
2. Каргополов М.И, МерзляковЮ.И. Основы теории групп. – М.: Наука,
1982.
3. Кострикин А.И. Введениев алгебру. Часть I. Основы алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико-математичекая литература, 2001.
4. Кострикин А.И. Введениев алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико-математичекая литература,
2001.
5. Кострикин А.И. Сборникзадач по алгебре. – Учебник для вузов. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.
6. Куликов Л.Я. Алгебраи теория чисел. – Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш.школа, 1979.
7. Курош А.Г. Курсвысшей алгебры. – М.: Наука, 1965.
8. Курош А.Г. Теория групп.– М.: Гостехиздат, 1953.
9. Ларин С.В. Лекциипо теории групп. – Красноярск, 1994.
10. Ленг С. Алгебра.– М.: Мир, 1968.
11. Ляпин Е.С. и др. Упражненияпо теории групп. – М.: Наука, 1967.
12. Нечаев В.А Задачник–практикумпо алгебре. – М.: Просвещение, 1983.
13. Фадеев Д.К. Лекциипо алгебре. – Учебное пособие для вузов. – М.:
Наука, 1984.
14. Холл М. Теориягрупп. – М.: ИЛ, 1962.