Теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

--PAGE_BREAK--1.2 Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

                  (1.2.1)

Это уравнение обладает рядом замечательных свойств, облегчающих его исследование, а в ряде случаев и решение.

Ознакомимся с основными свойствами линейного уравнения на примере уравнения маятника

  ,  ,                            (1.2.2)

которое является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала случай . В этом случае уравнение называется однородным. Физически это означает, что маятник движется свободно, на него не действуют внешние (вынуждающие) силы,

                                            (1.2.3)

Будем искать решение этого уравнения в виде  , где     — некоторая неизвестная заранее постоянная. Подставляя искомый вид решения в (1.2.3) и сокращая на   , получим

                                                  (1.2.4)

Это уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (1.2.3).

Ему должно удовлетворять для того, чтобы   было решением (1.2.3). Решая уравнение (1.2.4), получим 



Исследуем разные случаи.

а) . Физически это соответствует достаточно сильному трению (сопротивлению) среды. Оба корня l1и l2 в этом случае действительны, различны и отрицательны, и им отвечают два решения 



Рассмотрим начальную задачу.

                                                 (1.2.5)

Для любых двух n раз дифференцируемых функций y1(x), у2(x) справедливо тождество (С1 и С2 – константы)

(С1у1(x)+С2у2(x))(n) =С1у1(n)+С2у2(n)                               (1.2.6)

Основываясь на этом тождестве, нетрудно убедиться, что выражение

                              (1.2.7)

где С1 и С2 – произвольные постоянные (линейная комбинация у(1) и у(2) является решением уравнения (1.2.3). Эти постоянные можно однозначно определить из начальных условий (1.2.5). Действительно, подставляя (1.2.7) в (1.2.5), имеем



В силу  l1l2  определитель этой линейной алгебраической системы относительно С1 и С2 отличен от нуля. Полученное таким образом решение начальной задачи

,                                (1.2.8)

не осцилируя, приближается с ростом t к положению равновесия у = 0.

Так как любое наперёд заданное решение уравнения (1.2.3) удовлетворяет некоторому начальному условию (1.2.5), а по заданному начальному условию (1.2.5) однозначно определяется решение (1.2.8), то можно сказать, что в формуле (1.2.7) содержится любое решение (1.2.3). С другой стороны, при любых значениях постоянных формула (1.2.7) даёт некоторое решение уравнения (1.2.3). Таким образом, формула (1.2.7) содержит все решения уравнения (1.2.3) и только решения этого уравнения. Формулу, обладающую таким свойством, мы будем называть общим решением. Формула (1.2.7) представляет собой общее решение уравнения (1.2.3).

б) a2– 4k и



где .

Пользуясь тождеством (1.2.6), нетрудно видеть, что у1 = Rе у(1), у2 = Im у(1) также являются решениями уравнения (1.2.2). Действительно,



откуда, приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части, получим требуемое. Возьмём линейную комбинацию у1 и у2:

               (1.2.9)

Нетрудно убедиться, что, как и прежде, С1 и С2 однозначно определяются условиями (1.2.5) и, таким образом, (1.2.9) является общим решением уравнения (1.2.3). Заметим, что в рассматриваемом случае в качестве общего решения можно по-прежнему взять (1.2.7), но при этом постоянные С1 и С2 будут комплексными.

Решение задачи (1.2.5):

                  (1.2.10)

описывает колебательный процесс. Колебания затухают по закону . С ростом t это решение также стремится к положению равновесия у = 0.

Если a= 0 (сопротивление отсутствует), то получаем периодические колебания с частотой w=,

                                  (2.11)

в) a2–4 k = 0. В этом случае описанный способ даёт только одно решение у(1) = elt, где l= — . Нетрудно, однако, непосредственно проверить, что в этом случае решением является также у(2) = telt. Беря линейную комбинацию этих двух решений, можно удовлетворить условиям (1.2.5). Практически l1и l2не бывают в точности равны, но такое решение описывает математическую абстракцию, соответствующую случаю близких l1и l2.

Рассмотрим теперь вынужденные колебания под действием периодической вынуждающей силы. Они описываются уравнением (1.2.2), где f = А соs wt
(А, w= соnst). Сопоставим этому уравнению следующее уравнение с комплексной неизвестной функцией z:

                                       (1.2.12)

Подставляя в это уравнение и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим, что 1, удовлетворяет уравнению (1.2.2), в котором f = А соs wt, а  – уравнению (1.2.2), в котором f = А sin wt. Таким образом, для получения требуемого решения уравнения (1.2.2) нужно найти решение уравнения (1.2.12) и взять его действительную часть.

Решение уравнения (1.2.12) естественно искать в виде

,                                                  (1.2.13)

где – неизвестная заранее постоянная. Подставляя (1.2.13) в (1.2.12) и сокращая на еiwt, найдём

и, следовательно,

                    (1.2.14)

(1.2.14) представляет собой частное решение уравнения (1.2.2), в котором
f = А соs wt, имеющее периодический характер с частотой, равной частоте wвынуждающей силы. Это решение, однако, не удовлетворяет (1.2.5). Добавим к нему линейную комбинацию решения однородного уравнения (1.2.3) (для определённого a2– 4k

                                            (1.2.15)

Пользуясь (1.2.6), убеждаемся, что это выражение является решением того же неоднородного уравнения (1.2.2), пользуясь произволом выбора С1 и С2 можно подобрать их так, чтобы удовлетворить (1.2.5). Действительно, С1 и С2 находятся из алгебраической системы уравнений, отличающейся от той, которая была при получении (1.2.10), только неоднократными членами. Решение, удовлетворяющее (1.2.5), имеет вид

 

а, (1.2.15), таким образом является общим решением неоднородного уравнения (1.2.2), где f = Асоswt. Из (1.2.15) видно, что общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного решения того же неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

С ростом t в формуле (1.2.16) все члены, кроме первого затухают и остаются только вынужденные колебания 1.

Обратим внимание на важное явление – так называемое явление резонанса. Решение1 теряет смысл, если в исходной системе нет трения (a= 0) и частота wвынуждающей силы равна частоте w=, с которой колеблется маятник без воздействия вынуждающей силы в (1.2.14), так как в знаменателе появляется нуль.

Чтобы найти частное решение в этом случае, т.е. частное решение уравнения

у"+kу = Асоswt,                                          (1.2.17)

перейдём снова к комплексной форме

z"+ kz = Аеiwt                                              (1.2.18)

Обратим внимание на то, корни характеристического уравнения равны
l1,2 = ± iw0. Попытаемся искатьz в виде

                                                 (1.2.19)

Подставляя (1.2.19) в (1.2.18), определим a и получим



даёт частное решение уравнения (1.2.17):

                                             (1.2.20)

Так как практически полное отсутствия трения и точное равенство wи wне осуществляются, то решение такого типа практически не реализуется. Реализуется (1.2.14), но если частота wблизка к w, а wмало, то знаменатель в (1.2.14) мал и амплитуда решения велика. Таким образом, физически явление резонанса состоит в том, что при w~ wи малом aнаблюдается заметное увеличение амплитуды вынужденных колебаний (1.2.14).

Математически же случаем резонанса будем называть такой случай, когда в (1.2.2) , где S(t) – многочлен, а Àсовпадает с корнем характеристического уравнения. В рассмотренном выше уравнении (1.2.18) À= iw, т.е. совпадает с одним из корней характеристического уравнения.

Итак, на примере уравнения второго порядка выявлен ряд характерных свойств линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, эти закономерности имеют общийхарактер. Сформулируем их для уравнения порядка и как естественное обобщение того, что наблюдалось для уравнения второго порядка.

Рассмотрим сначала однородное уравнение

                             (1.2.21)

Сопоставим (1.2.21)его характеристическое уравнение (сравним с (1.2..4)).

ln+ln-1+...+  = 0                                           (1.2.22)

Это алгебраическое уравнения порядка и имеет корни



1. Если все lkдействительны и различны, то беря линейную комбинацию

 где                           (1.2.23)

можно получит любое решение уравнения (1.2.21), определяя С1,…,Cn из начальных условий

у(t0) = y10, у΄(t0) = у20,…, у(n-1)(t0) = уn0                                (1.2.24)

(сравнивая с (1.2.7) и (1.2.5)), т.е. формула (1.2.23) является общим решением уравнения (1.2.21).

2. Если некоторые lkкомплексные, то утверждение 1 остаётся в силе, но определяемые из (1.2.24) константы Ckбудут комплексными и решение будет представлено в комплексной форме. Чтобы получить решение в действительной форме, в наборе решений вместо пары решений  и , отвечающих двум комплексно сопряжённым корням l=piq (так как характеристическое уравнение имеет действительные коэффициенты, то вместе с l= p + iq корнем будет также у=p–iq), можно взять пару действительных решений Re y = ept соsqt и Im y = еpt sinqt (сравнивая с (1.2.9)).

3. Если l– кратный корень характеристического уравнения (1.2.22) кратности m, то ему отвечает m решений еlt, telt,…, tm-1elt(обобщение случая в),
где m = 2).

Объединяя все случаи, можно сформулировать следующее правило:

Пусть характеристическое уравнение (1.2.22) имеет r действительных корней lккратности mк, а прочие являются комплексно сопряжёнными вида ll=pl+iql и кратности ml. Тогда общее решение уравнения (1.2.21) может быть записано в виде

     (1.2.25)

где R(t), Рl(t),Q(t)–многочлены степени m–1, m–1, m–1 соответственно, коэффициенты которых произвольны. Эти коэффициенты однозначно определяются начальными условиями (2.24).

Точно так же можно, обобщая факты, полученные для уравнения второго порядка, сформулировать правило построения частного и общего решений неоднородного уравнения

0у(n) + 1у(n-1) + … + nу = S(t)eÀt                                            (1.2.26)

где S(t) – многочлен степени s,À— постоянная, вообще говоря, комплексная.

Пусть в уравнении (1.2.26) Àне совпадает ни с одним корнем lkхарактеристического уравнения (1.2.22) (так называемый нерезонансный случай).

Тогда частное решение уравнения (1.2.26) можно записать в виде

у = Т(t)еÀt,                                                 (1.2.27)

где Т(t) – многочлен той же степени, что и S(t). Коэффициенты многочлена Т(t) определяются из алгебраических уравнений, полученных подставкой (1.2.27) в (2.26) и приравниванием членов с одинаковыми степенями t (сравнивая с (1.2.12), (1.2.13); в этом простейшем случае S(t) является константой А, т.е. многочленом нулевой степени, а многочлен Т(t) также является константой:

Т =).

Если Àсовпадает с корнем характеристического уравнения l, имеющим кратность m (так называемый резонансный случай), то частное решение (1.2.26) следует искать в виде

у = Т(t) tmeÀt,                                                      (1.2.28)

где Т(t) – многочлен той же степени, что и S(t). Коэффициенты Т(t) по-прежнему определяются подстановкой (1.2.28) в уравнение (1.2.26) (сравнивая с (1.2.19), где появляется множитель t в соответствии с кратностью m=1 корня w)

Если À= a+ ibкомплексно, то действительная (соответственно мнимая) часть решения (2.28) является решением уравнения с правой частью S(t)eatсоsat (соответственно S(t)eatsin at).

Общее решение неоднократного уравнения (1.2.26) представляется в виде суммы общего решения (1.2.25) однородного уравнения (1.2.21) и частного решения (1.2.27) или (1.2.28) неоднородного уравнения (1.2.26) (сравнивая с (1.2.15)).
    продолжение
--PAGE_BREAK--2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ n-гоПОРЯДКА 2.1.Общие свойства линейного уравнения n-го порядка
Обратимся к уравнению (2.1.1). Если в рассматриваемой области изменения независимого переменного (x)0, то поделив на (x) и обозначая полученные коэффициенты и правую часть вновь через (x),…, (x),  f(x), будем иметь

                     (2.1.1)

Определение. Уравнение (2.1.1) называется однородным, если , в противном случае – неоднородным.

Пусть и  непрерывны на некотором интервале X (X может быть как конечным интервалом так и бесконечным, например, ()). Общая теорема существования и единственности гарантирует, что на некотором сегменте , принадлежащем X, существует единственное решение у(х) уравнения (3.1), удовлетворяющее начальному условию

               (2.1.2)

Для уравнения (2.1.1) можно доказать более сильное утверждение.

Теорема
1.1.Если , непрерывных на X, то решение начальной задачи (2.1.1), (2.1.2) существует и единственно всюду на X.

Так как начальная задача для уравнения n-го порядка является частным случаем начальной задачи для системы n уравнений первого порядка, то теорему 1.1 можно получить как частный случай аналогичного утверждения для системы линейных уравнений, которая имеет вид

                   (2.1.3)

а соответствующие начальные условия –

                                    (2.1.4)

Теорема
1.2. Если () непрерывны на X, то решение задачи (2.1.3) и (2.1.4) существует и единственно на X.

Доказательство:

Достаточно доказать, что решение существует и единственно на любом отрезке . Теорема существования и единственности гарантирует решение на некотором отрезке , как уже указывалось выше. Точку можно принять за новую начальную точку и получить решение на большем отрезке >и т.д. Пусть,
где, – максимальный полуинтервал, на котором существует единственное решение задачи (2.1.3) и (2.1.4). Возьмём произвольную последовательность . Убедимся, что существует . Пусть

      

Тогда на любом отрезке    справедливо неравенство

.

Введя, получим

,

и, следовательно для любогосправедливо неравенство

,

а тогда справедливо также неравенство

.

Пользуясь этим и учитывая, что , получили

  и любом m.

Отсюда по критерию Коши делаем вывод о сходимости последовательности  к некоторому пределу. Будем считать этот предел значением  точке , т.е. положим . Таким образом, интегральная кривая оказывается непрерывно продолженной вплоть до точки . В силу самой системы уравнений (2.1.3) тем же свойством обладают производные. Тогда в случае  теорема доказана.  Рассмотрим случай . Нетрудно убедиться, что этот случай не реализуется. Действительно, приняв  за новую начальную точку, можно продолжить решение на участок , что противоречит .

Итак, , т.е. решение существует и единственно на отрезке, что и требовалось.

Теорема
1.3. (принцип суперпозиции).

Пусть в уравнении (2.1.1) правая часть является линейной комбинацией функций, т.е., где   — постоянные числа, и пустьявляются решениями уравнений

.                  (2.1.5)

Тогда линейная комбинация с теми же коэффициентами, т.е. функцияявляется решением уравнения (2.1.1).

Значение этого принципа в том, что правую часть уравнения (2.1.1) можно представить как линейную комбинацию более простых элементов и свести решение уравнения к решению нескольких более простых уравнений (2.1.5). С точки зрения физики это означает, что результат сложного внешнего воздействия на некоторый объект, выражаемого функцией , можно представить как суперпозицию результатов отдельных элементарных воздействий.

Доказательство:

Доказательство этой теоремы основано на тождестве, справедливом для k произвольных n раз дифференцируемых функций u1,…, uk и следующем непосредственно из свойств дифференцирования

(2.1.6)

Полагая ui = уi(x), где уi(x) – решения уравнений (2.1.5), получим для

,

что и требовалось.
Замечание.Левую часть уравнения (2.1.1) можно рассматривать как оператор Lу, определённый на множестве n раз дифференцируемых функций у. Тогда (2.1.6) означает, что этот оператор – линейный.
Отметим важные частные случаи теоремы 3.3, формулируя их как отдельные утверждения.

Теорема
1.4.Линейная комбинация решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения.

(Это частный случай принципа суперпозиции, когда fi = f0).
Замечание.На языке линейной алгебры это можно выразить следующим образом: множество решений однородного уравнения является линейным пространством.
Пусть теперь k = 2, f1 =  f2,  a1= 1,  a2= — 1 и, следовательно f = 0. Таким образом, имеет место

Теорема
1.5.Разность двух решений неоднородного линейного уравнения удовлетворяет однородному уравнению.

В теореме 1.3 aiмогут быть и комплексными.

Теорема
1.6.Пусть у1(x), у2(x) удовлетворяют уравнениям (2.1.5)
(i = 1,2). Тогда z(x) = у1(x) + iу2(x) удовлетворяет уравнению

                      (2.1.7)

Обратно: пусть z(x) = у1(x) + iу2(x) удовлетворяет уравнению (2.1.7). Тогда у1(x), у2(x) удовлетворяют уравнениям (2.1.5).

Прямая теорема является частным случаем теоремы 1.3 (a1=1,  a2= i). Для получения обратного утверждения надо к левой части (2.1.7) применить тождество (2.1.6), полагая u1 = у1, u2 = y2, a1= 1,  a2= i, после чего приравнять действительную часть полученного выражения величине f1, а мнимую часть – величине f2 согласно правилу сравнения комплексных чисел.

Все перечисленные свойства характерны именно для линейных уравнений и существенно облегчают их исследование и решение.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.2. Однородное линейное уравнение n-го порядка
Обратимся к изучению уравнения

,                              (2.2.1)

коэффициенты которого непрерывны на интервале X. Как было показано в предыдущем параграфе, решение начальной задачи существует и единственно на X, чем будем существенно пользоваться ниже.

Определение.Будем говорить, что функции u1(x), …, up(x) линейно зависимы на интервале X, если существуют постоянные С1, …, Сp не все равные нулю, такие, что имеет место тождество

                                    (2.2.2)

В противном случае (т.е. если (2.2.2) выполняется только при С1 = … = Сp = 0) будем говорить, что u1(x), …, up(x) линейно независимы.

Определение.Назовём детерминант

D(x)=                                 (2.2.3)

определителем Вронского

Теорема
2.1.Если решения у1(x), …, уn(x) уравнения (2.2.1) линейно зависимы на X, то  .

В самом деле, согласно (2.2.2) имеем

.

Продифференцировав это тождество (n-1) раз, получим

                       (2.2.5)

При любом  эти соотношения можно рассматривать как систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно С1, …, Сn, имеющую нетривиальное решение по условию линейной зависимости функций уi. Следовательно, определитель системы  при  любом , т.е. на Х.
Замечание.Из доказательства теоремы видно, что она справедлива не только для решений уравнения (2.2.1), но для любых (n-1) раз дифференцируемых функций.
Теорема
2.2. Если  хотя бы для одного , то решения у1(x),…, уn(x) уравнения (2.2.1) линейно зависимы на X.

Доказательство.

Возьмём точку x = x0в которой , и составим систему линейных алгебраических уравнений относительно С1,…, Сn с определением:

                      (2.2.6)

Так как , то эта система имеет нетривиальное решение С1, …, Сn. Рассмотримлинейнуюкомбинацию .

Согласно теореме 1.4 у(x) является решением уравнения (2.2.1), а (2.2.6) означает, что это решение удовлетворяет в точке x0нулевым начальным условиям у(х0) = 0,…, у(n-1)(x0) = 0. Так как тривиальное решение уравнения (2.2.1)удовлетворяет, очевидно, тем же начальным условиям, то, в силу теоремы единственности, у(x) (x)  0, т.е., где по настроению не все С1 равны нулю, а это и означает линейную зависимость у1(x), …, уn(x).Что и требовалось.

Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующая альтернатива.

Теорема
2.3.Определитель Вронского D(x) либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения у1(x), …, yn(x) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке Х, и это означает, что у1(x), …, yn(x) линейно независимы.

Ситуацию можно выразить следующей схемой:

D(x)=

при любом xХ.

Определение.Фундаментальной системой решений уравнения (2.2.1) будем называть любые n линейно независимых решений уравнения (2.2.1)

Теорема
2.4.Линейное однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство.

Действительно, возьмём произвольный отличный от нуля определитель Dс элементами . Определим решения у1(x), …, уn(x) уравнения (1.2.1) следующими начальными условиями:

                              (4.7)

Составим определитель Вронского D(x). В силу (2.2.7) D(x0) = D0. А тогда, в силу теоремы 1.3, у1(x), …, уn(x) линейно независимы.

Замечание.Так как существует бесконечно много определителей, отличных от нуля, для каждого уравнения существует бесконечно много фундаментальных систем решений. Кроме того, линейное невырожденное преобразование



 переводит одну фундаментальную систему решений в другую.

Докажем теперь основную теорему данного параграфа.

Теорема
2.5.Если у1(x), …, уn(x) – фундаментальная система решений, то любое решение у(x) уравнения (2.2.1) представимо в виде

,                                    (2.2.8)

где С1, …, Сn – некоторые постоянные.

Доказательство.

Пусть у(х0) = у10, …, уn-1(х0) = уn0. Определим постоянные С1, …, Сn линейной системой уравнений с детерминантом, равным D(х0)  0:

          (2.2.9)

и построим  . Согласно теореме 1.4. (x) является решением уравнения (2.2.1), а (2.2.9) означает, что это решение удовлетворяет тем же начальным условиям, что и у(x). Тогда, в силу единственности,

.Что и требовалось.

Замечание.Формула (2.2.8), где С1, …, Сn – произвольные постоянные, является общим решением уравнения (2.2.1), т.е. (2.2.8) является формулой, содержащей все решения уравнения (2.2.1) и не содержащей ничего, кроме решений. В самом деле, по теореме 1.4 при любых С1, …, Сn (2.2.8) является решением уравнения (2.2.1), а согласно только что доказанной теореме в (2.2.8) содержится любое решение уравнения (2.2.1).
Замечание.На языке линейной алгебры теоремы 2.4 и 2.5 означают, что в пространстве решений линейного однородного уравнения (2.2.1) имеется базис из n элементов, т.е. это пространство n-мерное.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.3 Неоднородное линейное уравнение n-го порядка


Рассмотрим теперь уравнение

                     (2.3.1)

где  непрерывны на интервале X.

Теорема 3.1Если у1(x), …, уn(x) – фундаментальная система решений однородного уравнения (4.1), а (x) – частное решение неоднородного уравнения (2.3.1), то любое решение у(x) неоднородного уравнения (2.3.1) представляется в виде

                             (2.3.2)

где С1, …, Сn некоторые постоянные.

Замечание
.Теорема справедлива при любом выборе частного решения .

Замечание.Теорему 3.1 можно сформулировать и так: общее решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Доказательство.

Рассмотрим разность у(x)-(x). Согласно теореме 2.5 эта разность удовлетворяет однородному уравнению (2.2.1), и, значит, по теореме 1.5



Отсюда и последует (2.3.2).

Таким образом, для построения общего решения неоднородного уравнения  нужно помимо фундаментальной системы решений однородного уравнения узнать хотя бы одно частное решение неоднородного уравнения. Покажем сейчас, что зная фундаментальную систему решений, можно найти квадратурой некоторое частное решение (x) неоднородного уравнения.

Зададимся целью построить частное решение (x), удовлетворяющее начальным условиям

у(х0) = 0, …, у(n-1)(х0) = 0.                                   (2.3.3)

С этой целью воспользуемся следующим эвристическим рассуждением. Представим f(x) приближённо как сумму функций (элементарных воздействий), равных f(x) в промежутке (x— Dx, x) и нулю в остальных точках. Решение у, отвечающее каждому такому элементарному воздействию, имеющее при x = x0равные нулю производные до (n-1)–го порядка включительно, является тождественным нулём вплоть до x-Dx, но





т.е. у(n-1)(x) равно уже не нулю, а f(x)Dxи, таким образом, далее решение также будет не нулём. В силу принципа суперпозиции достаточно построить решение однородного уравнения (ведь вне (x— Dx, x) правая часть равна нулю), принимающее в точке xнулевое значение вместе с производными до(n-2)-го порядка включительно и с производной (n-1)-го порядка, равной единице (обозначим это решение , указывая зависимость от начальной точки, и назовём его импульсной функцией), а затем умножить его на f(x)Dx. Итак,  строится как решение однородного уравнения, удовлетворяющее условиям

                        (2.3.4)

а решение, отвечающее элементарному воздействию, имеет видf(x)Dx. Суммируя теперь элементарные воздействия на основании того же принципа суперпозиции и перехода от суммы к интегралу, получим решение, удовлетворяющее условию (2.3.3):

.                                 (2.3.5)

Формула (2.3.5) получена на основании эвристических соображений, но нетрудно непосредственной проверкой убедиться, что (2.3.5) есть частное решение уравнения (2.3.1). В этой проверке и будет состоять доказательство следующей теоремы:

Теорема
3.2.Выражение (2.3.5), где функция, называемая импульсной функцией, удовлетворяет однородному уравнению (2.2.1) и начальным условиям (2.3.4), является частным решением неоднородного уравнения (2.3.1), удовлетворяющим нулевым начальным условиям (2.3.3).

Доказательство.

Найдём из (2.3.5) . Предварительно заметим, что так как xявляется параметром, принадлежащим тому же множеству, что и x, то (2.3.4) равносильно записи



Дифференцируя (2.3.5), имеем



.     .     .     .     .     .     .      .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     



=

Возможность дифференцирования под знаком интеграла следует из теоремы о непрерывной зависимости решения системы дифференциальных уравнений от x и начального значения переменной x, т.е. в данном случае от x. Подставляя     в (2.3.1), получим



так какпод интегралом обращается в нуль в силу определения . Таким образом,  действительно является решением уравнения (2.3.1) и, кроме того, очевидно, удовлетворяет (2.3.3).
Замечание.В частности, для уравнения первого порядка формула (2.3.5) совпадает с формулой (1.1.8) при у0= 0. В импульсной функцией (1.1.8) является множитель    , который согласно (1.1.5), удовлетворяет одному уравнению и обращается в единицу при x = x
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.4 Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
Знание фундаментальной системы решений обеспечивает возможность найти любое решение однородного уравнения, а с применением квадратуры – также и решение неоднородного уравнения. Существование фундаментальной системы решений было доказано в теореме 2.4, однако вопрос о её эффективном построении остался открытым.

Пусть в (2.2.1) аi = соnst:

  у(n) + a1у(n-1) + … + аny = 0.                                 (2.4.1)

Этот класс уравнений замечателен тем, что для него нахождения фундаментальной системы решений сводится к алгебраическим операциям, а именно к решению алгебраического уравнения n-ой степени.

Сопоставим уравнению (2.4.1) многочлен относительно l, называемый характеристическим многочленом уравнения (2.4.1):

M(l)=ln+a1ln-1+...+an..

Лемма
4.1. Справедлтво тождество

 (2.4.2.)

Доказательство.

Это тождество доказывается непосредственным вычислением с использованием формулы Лейбница для дифференцирования произведения. Имеем

elxf=elxf





Складывая полученные равенства, умножив их предварительно на соответствующее аi, приходим к (2.4.2). Что и требовалось.

Замечание.Если , то (2.4.2) принимает вид

                  (2.4.3)
Замечание.Тождества (2.4.2) – (2.4.4) можно записать компактнее, если обозначить через D оператор дифференцирования:. Если воспользоваться правилами сложения и умножения операторов, то левую часть уравнения (2.4.1) можно записать в виде

(Dn + a1Dn-1 + … + an)y = M(D)y.

Оператор M(D) называется операторным многочленом. Он имеет ту же структуру, что и характеристический многочлен M(l).

Введя M(D), можно тождества (2.4.2) – (2.4.4) записать в виде

M(D)elxf(x)=elx(2.4.5)

M(D) elxxp=elx  (2.4.6)

M(D) elx=elxM(l).                                           (2.4.7)

Отметим также следующее свойство операторных многочленов, которое понадобится в дальнейшем. Рассмотрим на ряду с M(D) некоторый другой операторный многочлен M(D). Пользуясь правилом сложения и умножения операторов, нетрудно убедиться, что операторные многочлены перемножаются по правилу обычных многочленов:

M(D)N(D) = N(D)M(D) = Dn+s +(a1+b1)Dn+s+1 + … +аnbn.

Приравнивая M(l) нулю, получим алгебраическое уравнение n-й степени относительно l– так называемое характеристическое уравнение

ln+ а1ln-1+ … + аn = 0.                                      (2.4.8)

Предположим, что это уравнение имеет корни l1, …, ll кратностей m1…, ml (m1 + … + ml = n).

Теорема
4.1.1.Корню lkхарактеристического уравнения (2.4.8) кратности mk, отвкчают mk частных решений вида

                                (2.4.9)

2.  Решения (2.4.9), где k=1, ..., l, образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.4.1).

Доказательство.

Воспользуемся (2.4.3) или (2.4.6). Если lkявляется корнем характеристического уравнения кратности mk, то

 M(lk)= M1 (lk)=…=M(mk — 1) (lk)=0

Поэтому правая часть (2.4.3) обращается в нуль для p=0,1,.., mk-1, а это означает, что xpelkx(p=0,1…, mk-1) удовлетворяет уравнению (2.4.1), что и требуется.

2.Предположим противное, т.е., что решение (2.4.9) ( k=1,…,l) линейно зависимы. Это означает, что справедливо тождество

  R1 (x) el1x +…+ Rl (х) ellx = 0                           (2.4.10)

через Rj(x) обозначены многочленные степени mj-1, не все равные нулю. Допустим, что отличным от нуля является R1 (этого можно добиться соответствующей нумерацией l), а в R1 старший отличный от нуля член имеет степень p1(p1m1-1), т.е.

 R1(x) = C10 + C11x + … C1p1 xp1,

причем С1р10.

Умножим (6.10) на е-llХ. Получим

R1(х) е(l1– ll)х + … + Rl-1 (x) e(ll–1– ll) х l + Rl (x) = 0.             (2.4.11)

Продифференцируем это тождество на единицу большее число раз, нежели степень pl = ml-1 многочлена Rl(x). Предварительно заметим, что для выражения А(x) еax  где a= const, А(x)- многочлен, при произвольном k имеет место тождество

,

где В(х) – многочлен той же степени, что и А(x), причем его старший коэффициент равен старшему коэффициенту А(х), помноженному на ak. Это тождество легко получить либо из ( 2.4.5), полагая M(D)=Dk, l=a, ƒ(x)=A(x), либо просто из формулы Лейбница. Итак, дифференцируя (2.4.11) получим

Q1(x)e(l1— ll)x+…Ql-1(x)e (ll-1— ll)x=0,

или

 Q1(x)ellx+…+Ql-1(x)ell-1x=0,                            (2.4.12)

где Q1(x),…, Ql-1(x)- многочлены той же степени, что R1,…,Rl-1, причем коэффициент старшего члена Q1(x) есть C1pl(l1- ll)pl+1. Проделывая с (2.4.12) ту же операцию, что и с (2.4.10), и продолжая этот процесс, приходим к тождеству вида

S1(x)el1x=0 или S1(x)=0,                                          (2.4.13)

причем коэффициент старшего члена S1(x) есть C1pl(l1- ll)pl+1…(l1— l2)pl+1 и в силу (2.4.13) он должен равняться нулю, а это противоречит тому, что С 1р1  0, l1-ll0,… ,l1-l20. Противоречие приводит к выводу, что решение (2.4.9) линейно независимы, т.е. образуют фундаментальную систему решений, и утверждение 2, таким образом, доказано.

В силу теоремы 4.1 общее решение уравнения 2.4.1 является линейной комбинацией решений (2.4.9) (k-1,…,l). Однако в случае комплексных lkтакое представление не всегда удобно. Можно, однако, вместо фундаментальной системы  решений (2.4.9) пользоваться другой фундаментальной системой решений, состоящих из действительных функций.

Пусть lk=pk+iqk. Тогда двум комплексным решениям вида xr elkX, соответствуют, в силу теоремы 1.6, два действительных решения :



Таким образом, вместо комплексных решений можно построить столько же действительных решений; они образуют другую фундаментальную систему решений, будучи линейно независимы в силу того, что матрица перехода от пары комплексно сопряженных решений к их действительной и мнимой частям имеет вид
  и имеет отличный от нуля определитель, равный

Беря линейную комбинацию полученных действительных решений, приходим к представлению (1.2.25), которое теперь, таким образом доказана.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

                           (2.4.14)

Зная фундаментальную систему решений (2.4.9), можно построить его частное решение по теореме 3.2. Практически это, однако, требует довольно громоздких выкладок, в связи с чем представляет интерес класс , для которого можно построить частное решение, не обращаясь к формуле (2.3.5), а пользуясь чисто алгебраическими операциями.

Теорема
4.2.Пусть многочлен степени s. Пусть lне совпадает не с одним корнем lkхарактеристического уравнения (2.4.8) ( так называемый нерезонансный случай). Тогда существует частное решение уравнения (2.4.14), имеющее вид

,                                            (2.4.15)

где P(x)- многочлен той же степени, что и S(x).

Если lне совпадает с корнем характеристического уравнения lkкратности mk (так называемый резонансный случай), то существует частная решение уравнения (2.4.14), имеющее вид

,                                         (2.4.16)

где Т(x) – многочлен той же степени, что и S(x).

На основании этой теоремы частное решение ищется в указанном виде, где многочлен P(x) или Т(x) записывается с неизвестными коэффициентами. Подставляя в уравнение (2.4.14), сокращая на  и приравнивая члены с одинаковыми степенями x, получим систему неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочлена Р(x) или Т(x). Эта система будет разрешимой, поскольку существование решения такого вида обеспечена теоремой 4.2.

Доказательство.

Доказательство приведем для резонансного случая (2.4.16), так как (2.4.15) получается их (2.4.16) при mk =0. Подставим (2.4.16) в (2.4.14) :

                          (2.4.17)

и убедимся, что отсюда можно определить последовательно коэффициенты многочлена Т(x), начиная с коэффициента при старшей степени xs. Выделим в многочленах Т(x) и S(x) старшие члены:



Имеем тогда



Распишем первое слагаемое слева, пользуясь формулой (2.4.6) и учитывая, что     Получим

(2.4.18)

Заметим, что в выражении стоящем в фигурных скобках, первая слагаемая имеет степень s, а прочие- более низкую. Приравнивая старшие члены и сокращая на будем иметь



Отсюда определиться b0  через в силу  После этого (2.4.18) можно записать в виде

                                  (2.4.19)

где — многочлен в степени не выше s-1, полученный в результате перенесения в право всех членов выражения умноженного на выражение состоящее в фигурных скобках (кроме первого), который теперь известен.

Соотношение (2.4.19) представляет собой уравнение, аналогичное (2.4.17), но степени многочленов и на единицу ниже и. Из (2.4.19) аналогична предыдущему определиться старший коэффициент многочлена , т.е. определяться уже два старших члена многочлена . Продолжая процесс, определим последовательно все члены .

Метод отыскания частного решения, основанный на доказанной теореме, будем называтьметодом неопределенных коэффициентов.

Итак, для уравнения с постоянными коэффициентами фундаментальная система решений, а в случае правой части вида также и частное решение неоднородного уравнения могут быть построены в эффективной форме путем алгебраических операций. В заключение укажем один специальный класс уравнений с переменными коэффициентами, для которого фундаментальную систему решений также можно построить эффективно. Это так называемое уравнение Эйлера.

              (2.4.20)

Непосредственной выкладкой нетрудно убедиться, что заменой независимого переменного уравнение (2.4.20) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами, что и решает вопрос об эффективном построении фундаментальной системы решений.

Для отыскания частного решения неоднородного уравнения Эйлера в случае, если правая часть имеет вид , применим метод неопределенных коэффициентов.
    продолжение
--PAGE_BREAK--3. Системы линейных уравнений. Общая теория 3.1. Системы линейных уравнений


Обратимся к изучений системы линейных дифференциальных уравнений                                       

                  (3.1.1)

Система (3.1.1) называется однородной, если ¦i(x) = 0 (i
=1, …, n) в противном случае – неоднородной. Будем предполагать aik(x) и ¦i(x)  непрерывными на интервале X. Как было доказано выше, при этих условиях на Х существует единственное решение системы (3.1.1), удовлетворяющее начальному условию

yi(x) = ,         i= 1, …, n.                                (3.1.2)

Для системы уравнений справедливы теоремы, аналогичные тем, которые были доказаны для одного уравнения n-го порядка.

Общие свойства системы линейных уравнений.Обратимся системе (3.1.1). Обозначим через у, ¦и yстолбцы



а через А (х) обозначим (n´n) — матрицу с элементами аij(х):



Тогда систему (3.1.1) можно записать в виде одного уравнения

y' = A(x) y+
f
{x),                                             (3.1.3)

точно так же, как и начальные условия

y(x) = y.                                                  (3.1.4)

Пользуясь правилом умножения 4°, правилом сложения3° иправилом  равенства матриц 2°, нетрудно убедиться в том, что (3.1.3) и (3.1.4) то же самое, что и (3.1.1) и (3.1.2).

В силу свойств умножения и дифференцирования матриц для дифференцируемых столбцов имеет место тождество,  в котором  ai– постоянные числа,

           (3.1.5)

выражающее свойство линейности оператора y¢— AyºL[y] на множестве дифференцируемых столбцов.

Здесь и в дальнейшем для нумерации столбцов будем употреб­лять индекс, заключенный в круглые скобки, оставляя индекс без скобок для обозначения элементов (компонент).

Непосредственным следствием этого тождества является прин­цип суперпозиции.

Теорема 3.1.1.Пусть в уравнении (3.1.3)f(x) является линей­ной комбинацией f(i)(х), т.е.



где ai  — постоянные числа, и пусть y(i)(x)является решением уравнения                                    y'(i)= A(x) y(i)+ f(i).

Тогда линейная комбинация y(i)(x) с теми же коэффициентамиai, т.е. столбец у (х)= , является решением уравнения (3.1.3).

Имеют также место теоремы, аналогичные теоремам 1.4–1.6.


Однородное уравнение.Рассмотрим более детально однород­ное уравнение

у ' = А (х) у.                                               (3.1.6)

Пусть имеется п столбцов                              



Составим из этих столбцов матрицу W(x):

                                   (3.1.7)

Сопоставим уравнению (3.1.6), правая и левая части которого – столбцы, аналогичное уравнение                    

W¢= A(x) W,                                                (3.1.8)

правая и левая части которого – матрицы размерности (n´n)и в котором неизвестной является матрица W(x).

Теорема 3.1.2.  Пусть y(1), ..., у(n)есть nрешений уравнения (3.1.6). Тогда (n´n) – матрица W(x), образованная из них по фор­муле (3.1.7), является решением матричного уравнения (3.1.8).

Обратно: если W(x) является решением уравнения (3.1.8), то каждый столбец матрицы W(x) является решением уравнения  (3.1.6).

Доказательство.Достаточно расписать (3.1.8) и (3.1.6) по­элементно. Действительно, (3.1.8) означает

                                          (3.1.9)

или

                                    (3.1.10)

a(3.1.6) означает

                                        (3.1.11)

Поэтому если у(j)являются решениями (3.1.6), то каждое у(j)удов­летворяет (3.1.11), т.е. справедливо (3.1.10) или, что то же, (3.1.9), а значит, и (3.1.8), и наоборот, если справедливо (3.1.8), то и (3.1.10), а это в сопоставлении с (3.1.11) означает, что у(j)(j= 1, ..., n) является решением уравнения (3.1.6).

Отметим еще следующие факты, проверяемые столь же просто.

Теорема3.1.3. Если W(x) – решение уравнения (3.1.8), то выра­жение WBявляется решением уравнения (3.1.6), если В – произ­вольный постоянный столбец, и решением уравнения (3.1.8), если В – произвольная постоянная
(n´n) – матрица.

Определение.Будем говорить, что столбцы u(i), ..., u(р)линейно зависимы на интервалеX, если существуют постоянные C1, ..., Ср, не все равные нулю, такие, что имеет место тождество

                                 (3.1.12)

Если же (3.1.12) выполняется только при C1 =… = Ср = 0, то будем говорить, что u(1), …, u(p)линейно независимы.

Рассмотрим nдифференцируемых столбцов у(1), ..., у(n). Запишем для них равенство (3.1.12):                  

                                        (3.1.13)

Введем в рассмотрение постоянный столбец . Пользуясь этим столбцом и матрицей W(x}, составленной из у(i)по правилу (3.1.7), можно (3.1.13) записать в виде                         

WC = 0.                                           (3.1.14)

Так как, согласно правилу матричного исчисления, 2° считается С = 0, если все Сi(i= 1, ..., n) равны нулю, то определение ли­нейной зависимости и независимости у(i), …, y(n)можно сформу­лировать следующим образом.

Определение. Будем говорить, что столбцы y(1), ..., y(n)линей­но зависимы на интервале X, если существует постоянный стол­бец C¹0 такой, что тождественно на Х имеет место (3.1.14).

В противном случае, т.е. если (3.1.14) справедливо только при С = 0, будем говорить, что y(1), ..., y(n) линейно независимы.

Определение. Назовем ∆(x) = DetW(x) определителем Вронского для y(1), ..., y(n).

Теперь можно сформулировать и доказать теоремы, аналогич­ные теоремам 1.7 – 1.9 из теории уравнения n-го порядка. Все эти доказательства записываются весьма компактно, если пользоваться введенной матричной записью, которая очень удобна и требует лишь некоторого навыка.

Теорема
3.1.4.Если решения y(1), ..., y(n)уравнения (3.1.6) ли­нейно зависимы на X, то ∆(x) º0 на X.

Доказательство.

Имеем WC= 0, С ¹0. Эта запись явля­ется кратким обозначением того факта, что при каждом х величи­ны C1, ..., Сnудовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений с определителем ∆(x), и так как решение нетривиаль­ное, то ∆ (x) = 0 при любом х ÎX, т.е. ∆(x} º0.

Теорема
3.1.5.Если ∆(x) = 0 хотя бы для одного х0ÎX, то, ре­шения y(1), ..., y(n)уравнения (3.1.6) линейно зависимы на Г.

Доказательство.

Запишем кратко доказательство этой тео­ремы, уже не давая дополнительных разъяснений, как в предыду­щей. Возьмем xÎX, и пусть, ∆ (x) = 0. Составим уравнение W(x) C= 0 относительно С. В силу ∆(x) = 0 существует решение
С ¹О. Положим у (x) = W(x) С. Согласно теореме 3.1.3 это решение уравнения (3.1.6), причем y (x0) = W (x0) C = 0, а тогда, в силу тео­ремы единственности,
y (x) º0 и, таким образом, W (х) С º0, что, означает линейную зависимость
y(1), ..., y(n).

Теорема3.1.6. (альтернатива). Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения y(1), ..., y(n) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, и это означает, что решения
y(1), ..., y(n) линейно независимы.

Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (3.1.6) будем называть nлинейно независимых решений y(1), ..., y(n)уравнения (3.1.6), а соответствующую им по формуле (3.1.7) матрицу W{x) будем называть фундамен­тальной матрицей.

На основании теоремы 3.1.5. можно дать другое (эквивалентное) определение фундаментальной матрицы.

Определение. Решение W(x) уравнения (3.1.8), для которого ∆(х} отлично от нуля всюду на X, называется фундаменталь­ной матрицей.

Теорема3.1.7. Линейная однородная система уравнений имеет фундаментальную матрицу.

В силу теоремы 3.1.6. достаточно взять произвольную матрицу а = constс отличным от пуля определителем и задать для Wна­чальное условие W (x0) = a.

Теорема3.1.8. Если W(x) – фундаментальная матрица, то любое решение у(х) уравнения (3.1.6) представимо в виде

y(x) = W(x) C,                                           (3.1.15)

где С — некоторый постоянный столбец.

Доказательство.

Пусть y (x0) = y0. Определим С уравнени­ем W(x) C= у0, которое разрешимо в силу ∆(x) ¹0. Построим (х) = W(x) C. Так как  (xо) = W(x) C= y, то в силу теоремы единственности у (х) º (х) =  W(x) C, что и требовалось.
Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 3.1.7. и 3.1.8. означают, что, пространство решений уравнения (3.1.6) n-мерно.
Построим решение уравнения (3.1.6), удовлетворяющее условиям (3.1.4), выразив с помощью W(x) величину С через у0. Имеем

y(x) = W(x) C= y,

откуда С = W– 1(x) у0и, следовательно,

y (x) = W (x) W– 1 (x0) y0.

Матрицу Â(х, х0) = W (х) W– 1(х0), являющуюся функцией двух переменных х и x, назовем импульсной матрицей, или матрицантом. В силу теоремы 3.1.3.
Â(х, х0) как функция х удов­летворяет уравнению (3.1.8). Кроме того, очевидно, что

Â(х, х0) = E.

Таким образом, справедлива

Теорема3.1.9. Решение задачи (3.1.6), (3.1.4) имеет вид

y(x) = Â(x, x0) y0,                                         (3.1.16)

где матрица Â(х, x) удовлетворяет по аргументу х матричному уравнению (3.1.8) и условию Â(х, x) = Е.

Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3.1.3).

Теорема3.1.10. Если W (х) — фундаментальная матрица, а  (х) —   частное решение неоднородного уравнения (3.1.3), то любое решение у (х) уравнения (3.1.3) представило в виде

y(x) = W(x) C+  (x),                                  (3.1.17)

где С — некоторый постоянный столбец.

Доказательствоточно такое же, как в случае уравнения n-го порядка, и мы его опускаем.

Построим частное решение  (х), удовлетворяющее нулевым на­чальным условиям (x) = 0. Будем искать его в виде

 (x) = W(x) C(x),

где С (x)—неизвестный столбец. Это фактически просто замена переменных. Подставляя  (х) в (3.1.3), получим

W' C+ WC' = AWC+ f
.

Так как W удовлетворяет (3.1.8), то W¢– AW= 0 и, следовательно, WC' = f. Отсюда C' = W– 1f. А так как  (x) = W(x) C(x) = 0, то С (х0) = 0 и, следовательно,



Таким образом,



и справедлива

Теорема3.1.11. Частное решение (х)'уравнения (3.1.3), удовле­творяющее условию (х0) = 0, имеет вид

                                 (3.1.18)

где Â(х, x) — импульсная матрица, или матрицант, — решение матричного уравнения (3.1.8), удовлетворяющее условию Â(x, x) = E.

Замечания. 1.Изложенный метод построения частного ре­шения системы линейных уравнений фактически является вариан­том метода вариации постоянных, который для одного уравнения использовался в гл. 1. п. 1.1.

2.В силу принципа суперпозиции решение у (х) задачи (3.1.3), (3.1.4) имеет вид

                     (3.1.19)
    продолжение
--PAGE_BREAK--3.2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами


Пусть в (3.1.6) А — постоянная матрица,                 

y' = A y,         А = const.                                     (3.2.1)

В этом случае построение фундаментальной системы решений, или фундаментальной матрицы сводится к алгебраическим операциям.

Будем искать частное решение системы (3.2.1) в виде aеlx, где l— неизвестный параметр, a — неизвестный постоянный столбец. Подставляя это выражение в (3.2.1), получим laelx = Aaelx. Отсюда делаем вывод, что aдолжно быть решением алгебраической систе­мы уравнений                

(А – lЕ) a= 0.                                             (3.2.2)

Для того чтобы aбыло нетривиальным решением, нужно потребовать, чтобы

Det(А – lЕ) = 0.                                           (3.2.3)

Это уравнение является алгебраическим уравнением степени nи называется характеристическим уравнением уравнения (3.2.1).

Пусть l1, …, ln – простые корпи характеристического уравнения (3.2.3). Каждому liотвечает a(i)¹0 (собственный вектор мат­рицы А), который находится из (3.2.2), где положено l= li. В ка­честве компонент a(i)можно взять, например, алгебраические дополнения к одной из строк, определителя Det(А – liЕ).

Теорема3.2.1. Пусть l1, …, ln – простые корни характеристи­ческого уравнения (3.2.3) и пусть a(i) — решение (нетривиальное) уравнения
(А – liЕ) a= 0. Тогда столбцы a(i) (i= 1, ..., n) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.2.1).

Доказательство:

Проводится но схеме, которая была использована в гл. 2 п. 2.4. Предположим, что решения a(i) линейно зависимы:

.                    (3.2.4)

Отсюда имеем                               



Дифференцируя это равенство, приходим к соотношению типа (3.2.4), содержащему уже n– 1 слагаемых. Повторяя операцию, приходим в конце концов к равенству C1a(i)= 0. Так как хотя бы одна из компонент a(i), отлична от нуля, то получаем отсюда C1= 0, что противоречит (3.2.4).

Обратимся к общему случаю. Пусть характеристическое уравне­ние (3.2.3) имеет корни l1, …, li кратностей m1, ..., mi(m1+… + mi= n). Из предыдущего ясно, что a(i), где a(i)— собственный вектор, отвечающий li, будет решением уравнения (3.2.1). Каждому liв рассматриваемом случае может отвечать несколько собственных векторов, но, вообще говоря, их число рi£mi. Таким образом, решений вида a(i) может быть меньше nи они, следо­вательно, не образуют фундаментальной системы решений.

Для того чтобы выяснить, откуда взять «недостающие» реше­ния, потребуются некоторые построения, к которым и перейдем. Пусть у – решение уравнения (3.2.1). Тогда компоненты уi, этого решения удовлетворяют системе уравнений 

ai1 y1 +… + ainyn — Dyi = 0,    i = l, ..., n,                      (3.2.5)

где d— оператор дифференцирования. Определитель Det(A– ED) ºM(D) представляет собой не­который операторный многочлен n-й степени. Если вместо D под­ставить l, то получится левая часть характеристического уравнения (3.2.3) или характеристический многочлен системы (3.2.1). Так как умножение операторных многочленов можно производить по пра­вилу умножения обычных многочленов, то, умножая (3.2.5) на алгебраические дополнения Аij(D) определителя Det(A– ED) (умножение понимается как умножение операторов) и суммируя по i, получаем

M(D) yj= 0,    j= l, ..., n,

а это — дифференциальное уравнение порядка та относительно уj, характеристический многочлен которого совпадает с характеристи­ческим многочленом системы (3.2.1). Таким образом, справедлива следующая

Теорема3.2.2. Каждая компонента уjрешения у системы (3.2.1) удовлетворяет уравнению n-го порядка, характеристический много­член которого равен характеристическому многочлену системы (3.2.1).

Рассмотрим корень lkкратности mk. Индекс kбудем в нижесле­дующих рассуждениях опускать, так как будем иметь дело только С одним корнем. Этому корню lотвечает решение у системы (3.2.1), j-я компонента которого yjв силу теоремы 3.2.2, имеет вид

yj= (С1j+ С2jх +… + Сmjxm– 1) еlx,

где Сkj= const, и, таким образом,

                    (3.2.6)

В этом выражении, однако, поскольку компоненты уj, не независи­мы, а связаны системой (3.2.5), постоянные Сkj не являются незави­симыми.

Оказывается, в выражении (3.2.6) число независимых констант, Сkj равно кратности mкорня l. Обоснованием этого факта мы зай­мемся ниже, а пока выясним, что это дает для построения фунда­ментальной системы решении уравнения (3.2.1).

Обозначим свободные постоянные через C1, ..., Cm. Подставим (3.2.6) в (3.2.1), сократим на еlxи приравняем члены с одинаковы­ми степенями х. Тогда получится линейная алгебраическая систе­ма m однородных уравнений с m ´nнеизвестными Ckj, которые можно выразить линейно через свободные постоянные C1, ..., Cm. После этого (3.2.6) можно записать в виде     

 у = [С1 р1 (х) +… + Сmpm(х)] elx,                           (3.2.7)

где рi(х) – столбцы, компоненты которых являются вполне опре­деленными многочленами относительно х степени не выше m – 1.

Из (3.2.7) следует, что корню характеристического уравнения lкратности m отвечают m решений вида pi(x) elx(i= l, ..., m). Такое построение можно проделать для каждого lkкратности mk. В результате получим m1+… + mi, = nрешений.

Ниже будет доказано, что полученные описанным способом nрешений образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.2.1).

Практически для нахождения фундаментальной системы реше­ний рекомендуется для каждого lнаписать выражение (3.2.6), за­тем подставить в (3.2.1) и из полученной указанным выше спосо­бом алгебраической системы выразить все постоя иные через сво­бодные постоянные. То, что число свободных постоянных заранее известно и равно, кратности m корня l, помогает решению этой алгебраической системы, так как это означает, что заранее известен ее ранг.

Теорема
3.2.3.Существует nлинейно независимых постоянных векторов (столбцов) (k= 1, ..., s; jk= 1, ..., qk), удовлетворяющих соотношениям

Ae(k1) = lke(k1),

Ae(k2) = lke(k2) + e(k1)       k = 1, …, s;    q1 + … +qs = n,                         (3.2.8)

…………………………..



причем сумма qk, отвечающих одинаковым lk, равна m, где m– кратность корня lkхарактеристического уравнения (3.2.3).      

В (3.2.8) через е(k1)обозначен собственный вектор, отвечающий lk. Векторы e(k2), ...,  называются присоединенными векторами, порожденными собственным вектором ek1. Таким образом, каждому lkотвечают qkлинейно независимых векторов, среди ко­торых один собственный вектор и остальные присоединенные, а всем l1, ..., lsотвечают n линейно независимых векторов. Напомним, что lkдля разных kмогут быть одинаковыми.

Рассмотрим lk. Ему заведомо отвечает решение у(k1)= e(k1)   Оказывается, ему отвечает еще qk– 1 (и всего, таким образом, qk) решений, как утверждается следующей теоремой.

Теорема3.2.4. Каждому lkотвечает qkрешений вида

y(k1)= e(k1)explkx,

y(k2)= (e(k2)+ xe(k1)) exp(lkx),

……………………………………………                                                 (3.2.9)



Доказательство. Это нетрудно доказать непосредственной проверкой, пользуясь (3.2.8).  Действительно,




Итак, каждому lk(k = 1, ..., s) отвечает qkрешений вида (3.2.9), и, таким образом, всего имеется q1+… + qs= nрешений:

                   (3.2.10)

Теорема3.2.5. Решения (3.2.10) образуют фундаментальную си­стему решений.

Доказательство. Действительно,



а согласно теореме 3.2.3 столбцы   в ко­личестве
q1 +… + qs= nявляются линейно независимыми и, сле­довательно, DetW(0) ¹0. В силу теоремы 3.1.4 отсюда следует, что решения (3.2.10) линейно независимы, т.е. образуют фундаментальную систему решений.

Вернемся теперь к прежней нумерации корней характеристи­ческого уравнения, когда нумеруются различные по величине l. Каждому lможет отвечать несколько групп решений вида (3.2.10) по числу отвечающих этому lсобственных векторов, по общее число решений в этих группах равно кратности m корня l. Таким образом, действительно, линейная комбинация решении, отвечаю­щих данному l, имеет вид (3.2.6), где независимых констант бу­дет m, так как число решений типа (3.2.10), отвечающих этому l, есть m. Заметим, что, как видно из (3.2.9), (3.2.10), старшая сте­пень многочленов в (3.2.6), вообще говоря, меньше, чем т.е. m– 1.

При практическом вычислении фундаментальной системы ре­шений можно пользоваться (3.2.9), предварительно найдя все соб­ственные и присоединенные векторы, но проще поступать, как указано выше, подставляя (3.2.6) в исходное уравнение (3.2.1) и выделяя m свободных неизвестных Сkj.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Заключение
В ходе дипломной работы была изучена и проанализирована теория теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При изучение данной теории били рассмотрены следующие разделы: линейные обыкновенные уравнения первого, второго и n-го порядков; основные свойства линейного обыкновенного уравнения второго порядка и общие свойства уравнения n-го порядка; однородные и неоднородные уравнения n-го порядка и приложение в котором показаны методы решения линейных уравнений и физических задач, решаемых с использованием линейных уравнений.

По результатом данной работы можно сделать вывод, что в настоящее время разработка методов решения этих задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений продвинута на столько, что зачастую исследователь имеющий дело с этой задачей не занимается выбором метода ее решения, а просто обращается к стандартному алгоритму.

Подводя итог, следует заметить, что данная дипломная работа может быть использована для подготовки материалов методического пособия по этой теме.
Библиография
1.        Бибиков Ю.Н… Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высш.  Шк., 1991.-303 с.

2.        Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения. — М.: Просвещение, 1984. — 175 с.

3.        Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.: Наука,1970.-576 с.

4.        Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука,1983.

5.        Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А… Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — М.: Высш. Шк., 1989.-383 с.

6.        Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.: Гостехиздат,1959.

7.        Тихонов А.Н.,  Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985.-230 с.

8.        Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.

Приложение
I Найти общее решение уравнений:

а) y¢¢– 7y¢ + 12y = 0.

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

l2–7l+12=0



т.к. корни характеристическое уравнение различны, то общее решение данного уравнения имеет вид



Ответ:   

б) y¢¢ + 4y¢ + 13y = 0

Решение:

Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид

l2 – 4l +13 = 0.



т.к. корнями характеристическое уравнение являются комплексно сопряженные числа, то общее решение заданного уравнения имеет вид

y = eax(C1 cos bx +C2 sin  bx),

где a = – 2 и b = 3   Откуда

y = e–2x(C1 cos 3x +C2 sin  3x)

Ответ
:y = e–2x(C1 cos 3x +C2 sin  3x)

в) y¢¢– 6y¢ + 9y = 0

Решение :

Составим характеристическое уравнение

l2 – 6l + 9 = 0,   (l – 3)2 = 0,     l1,2 = 3

т.к. корнями характеристическое уравнение имеет корень второй кратности, то общее решение для данного уравнения имеет вид y = (C1 + C2 x) elx

Þ y = (C1 + C2 x) e3x

Ответ: y = (C1 + C2 x) e3x

IIНайти частные решения уравнений, удовлетворяющие указаным начальным условиям:
а)y¢¢ – 5y¢ + 6y = 0,   y(0) =,  y¢(0) =1.

Найдем общее решение исходного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни

l2 – 5l + 6 = 0



y = C1e2x + C2e3x

Найдем y¢ и значение функций y(0) и y¢(0)

y¢= (C1e2x + C2e3x)¢= 2C1e2x + 3C2e3x

y(0) = C1e2×+ C2e3×=C1 + C2

y¢(0) = 2C1e2×0+ 3C2e3×0= 2C1 + 3C2

Исходя их начальных условий составим систему двух уравнений



Подставим в формулу общего решения, вместо С1 и С2 их значения и найдем частное решение

y = e2x + 0 × e3x = e2x

Ответ: y = e2x

б
)                    y¢¢+ 4y = 0,  y= – 4,   y¢= 2

l2+ 4 = 0      l2= – 4          l1,2=±2i

y = C1 cos 2x + C2 sin  2x

y¢(C1 cos 2x + C2 sin  2x)¢= – 2C1 cos 2x + 2C2 sin  2x

y= C1 cos+ C2 sin= C1 cos p+ C2 sin  p= C1(–1)+C2 ×n= – C1

y¢= – C1 sin+ C2 cos= – 2C1 ×n+2C2(–1) = –  2C2



y4 cos 2x – sin 2x

Ответ
:        y = 4 cos 2x – sin 2x

в
)                    y¢¢– 6y¢+ 9y = 0,   y||= 0,   y¢||= 2

                        l2– 6l+ 9 = 0         (l–3)2 = 0 Þl1,2= 3.

                        y = (C1 + C2x)e3x

                        y¢  =((C1 + C2x)e3x)¢= C2e3x + 3(C1 + C2x)e3x

                        y ||= (C1 + C2×0)e3 ×= C1

                        y¢||  = C2e3 ×+ 3 (C1 + C2×n)e3 ×=C2 + 3C1

                       

                        y = (0 + 2x)e3x = 2xe3x

Ответ:  y = 2xe3x
III. Найти общее решение следующих уравнений

1)                                 y¢¢ + 4y¢ +y = 4

Найдем общее решение однородного уравнения

y¢¢ + 4y¢ +y = 0.

l2  + 4l +1 = 0  l1,2 = –

Общее решение будет имеет вид y = C1elx + C2el2X

                        y00 = C1

Общее решение неоднократного уравнения определяется формулой
yон = yоо+yчн

Для нахождения общего решения неоднократного уравнения, осталось найти частное решение неоднократного уравнения

Частное решение имеет вид

                        yчн = b0

                        y¢чн = 0,    y¢¢чн = 0

Подставляя в исходное уравнение значения частного решения и производных получим частное решение неоднократного уравнения, т.е.

                        0 + 4 × 0 + b0= 4 Þ b0= 4

                        yчн = 4.

                        yон = С1

Ответ: yон = С1

2)                    y¢¢ – 6y¢ + 9y = x2.

                        l2  + 6l + 9 = 0   Þ l1,2 = 3          y00 = (C1 +C2x) e3x

                        yчн  =bo +b1x + b2x2

                        y¢чн= b1 + 2b2x               y¢¢чн= 2b2

                        2b2 – 6b1 – 12b2x + 9b0+ 9b1x + 9b2x2 = x2

                       

                        yчн =

                        yон = (C1 + C2)e3x + (3x2 + 4x +2)

Ответ: yон = (C1 + C2)e3x + (3x2 + 4x +2)

3)                    y¢¢+6y¢+9y = 12e–3x

                        l2+ 6l+9 = 0        l1,2= – 3

                        yоо= (C1 + C2)e3x

                        yчн= b0x2e–3x

                        y¢чн= 2 b0x2e–3x– 3b0x2e–3x

                        y¢¢чн= 2 b0e–3x – 6 b0xe–3x – 6 b0xe–3x  + 9 b0x2e–3x = 2 b0xe–3x – 12 b0xe–3x + 9 b0x2e–3x

9 b0x2e–3x – 12 b0xe–3x + 2 b0xe–3x + 12 b0xe–3x – 18 b0x2e–3x + 9 b0x2e–3x =12e–3x

                        2b0= 12 Þb0 = 6

                        yчн=6 x2e–3x

                        yон= (C1 + C2x) e–3x +6 x2e–3x

Ответ: yон = (C1 + C2x) e–3x +6 x2e–3x

4)                    y¢¢+6y¢– 3y = 12 cos 3x

                        l2+ 6l– 3 = 0   l1,2= – 3 ±

                        yоо=

                        yчн=b0 cos 3x + a0sin 3x

                        y¢он=–b0sin 3x + a0cos 3x,   y¢¢чн= – b0cos  3x – a0sin 3x

– b0cos 3x – a0sin 3x – 6 b0sin 3x + 6a0cos 3x – 3b0cos 3x – 3a0sin 3x = 12 cos 3x

                       

                        yчн= –cos 3x +sin 3x

Ответ
:yчн= –cos 3x +sin 3x

5)                    y¢¢+ 4y¢= 4xe–4x

                        l2+ 4l= 0        l= 0,       l= – 4

                        yоо= C1 + C2e– 4x

                        yчн= x(b0 +b1x)e–4x

y¢чн= b1xe–4x + (b0 +b1x)(e–4x – 4xe–4x) = b1xe–4x + b0e–4x – 4 b0xe–4x + b1xe–4x–

                        – 4 b1x2e–4x = b0e–4x + 2 b1xe–4x – 4 b0xe–4x – 4 b1x2e–4x

y¢¢чн= – 4b0e–4x + 2b1e–4x – 8 b1 xe–4x – 4 b0e–4x + 16 b0xe–4x– 8 b1xe–4x +

       + 16b1x2e–4x = – 8 b0e–4x + 2 b0e–4 – 16 b1xe–4x +16b0xe–4x + 16 b0x2e–4x



                       

                        yчн= x(––x) e– 4x = – (x + 2x2) e– 4x

                        yон  = C1 + C2e– 4x – e– 4x (x + 2x2)

Ответ: yон  = C1 + C2e– 4x – e– 4x (x + 2x2)

6)                    y¢¢+ y = 2x – 1 + e5x

                        l2– 1 = 0        l= ±1 Þyоо= C1ex + C2e– x

                        yоо= C1 + C2e– 4x

                        yчн= b0 +b1x + b2e5x

                        y¢чн= b1 + 5b2e5x

                        y¢¢чн= 0 + 25 b2e5x

                        25 b2e5x – b0– b1x + b2e5x = 2x – 1+ e5x

                       

                        yон= C1ex + C2e– x –2x + 1 + e5x
    продолжение
--PAGE_BREAK--