Министерство образованияРеспублики Беларусь
Учреждениеобразования
“Мозырскийгосударственный педагогический университет”
Кафедраматематики и
методикипреподавания
математики
Курсоваяработа
Элементы теории множеств
Выполнил:
студент 3 курса 4 группы
физико-математического
факультета
Данилюк Ярослав Борисович
Научныйруководитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент
Ефремова М.И.
Оценка научного руководителя: ____________________________________
оценка,дата сдачи, подпись
Оценка оформления и сроков
представления курсовой работы: ___________________________________
Оценка защитыработы: ____________________________________
Итоговая оценка: ____________________________________
Подписи членов комиссии: ____________________________________
Мозырь 2006
СОДЕРЖАНИЕ
Введение … 3
Глава 1. Исходные понятия теориимножеств … 5
1.1. Множество как первоначальное неопределяемоепонятие … 5
1.2. Способы задания множеств … 6
1.3. Равенство множеств … 7
Глава 2. Основные теоретико-множественные отношения… 8
2.1. Подмножества… 8
2.2. Операции над множествами и их свойства… 8
2.3. Диаграммы Эйлера-Венна… 11
2.4. Прямое произведение множеств… 13
2.5. Отношения на множестве… 14
Глава 3. Теория бесконечных множеств … 16
3.1. Мощность множества … 16
3.2. Множество натуральных чисел … 16
3.3. Конечные и бесконечные множества … 17
3.4. Счетные множества и их свойства … 17
3.5. Примеры счетных множеств … 18
3.6. Несчетные множества. Мощность континуума … 19
Глава 4. Аксиоматика теории множеств … 20
4.1. Аксиомы теории множеств … 20
4.2. Парадоксы теории множеств … 21
Заключение… 24
Список использованных источников… 25
Приложение 1. Программноеобеспечение… 26
ВВЕДЕНИЕ
До второйполовины XIX века понятие “множества” не рассматривалось в качествематематического (“множество книг на полке”, “множество человеческихдобродетелей” и т. д. — всё это чисто бытовые обороты речи).Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программустандартизации математики, в рамках которой любой математический объект долженбыл оказываться тем или иным “множеством”. Например, натуральное число, поКантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственногоэлемента другого множества, называемого “натуральным рядом” — который, всвою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемымаксиомам Пеано. При этом общему понятию “множества”, рассматривавшемуся им вкачестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определениявроде “множество есть многое, мыслимое как единое”, и т. д. Это вполнесоответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего своюпрограмму не “теорией множеств” (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).
ПрограммаКантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупныхматематиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением ЛеопольдКронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишьнатуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фразао том, что “бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рукчеловеческих”). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, ГотлобФреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всюматематику на теоретико-множественный язык.
В начале XXвека Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с техпор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрировананесостоятельность наивной теории множеств и, связанной с ней, канторовскойпрограммы стандартизации математики.
Послеобнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л.Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использованиятеоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков,возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту частьтеоретико-множественных представлений, которая казалась им наименееответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитнойматематики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теориимножеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от, лежащего воснове программы Кантора, представления о действительном существовании множествв некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества “существуют”исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть отвыбора аксиоматики.
Таким образом, понятиесовокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальных понятий,данных нам природой, и предшествует понятию числа. В своем первичном виде ононе дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств.
Плодотворностьтеоретико-множественной концепции заключается в том, что она породила весьмабогатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов.
В связи с этим возникаеткруг задач, которые разрешимы только средствами теоретико-множественнойконцепции.
Целями данной курсовойработы являются:
1. Изучение исходных понятий теориимножеств, а также аксиоматики теории множеств.
2. Систематизация теоретико-множественнойконцепции.
3. Интеграция научнойинформации в учебный процесс.
Задачи курсовой работы “Элементытеории множеств”:
1. Поиск наиболее полного,содержательного и объективного ответа на вопросы разделов теории множеств.
2. Изучение определений и теоремв соответствии с различными научными подходами.
3. Создание компьютернойпрезентации с целью использования в качестве наглядного пособия при изучениитеории множеств.
4. Создание электронногоучебника, позиционируемого как справочное пособие для домашнегосамостоятельного изучения.
ГЛАВА1
ИСХОДНЫЕПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.1.Множество как первоначальное неопределяемое понятие в математике
В 70-х годах прошлого века немецкий математик ГеоргКантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, всталперед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Длярешения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Согласно канторовскомуопределению, множество есть любоесобрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции илиинтеллекта, мыслимое как единое целое. Это определение не накладывает никакихограничений на природу элементов множества, что предоставляет нам значительнуюсвободу. В частности, допустимо рассматривать множества, элементы которых потой или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел).
В современной математике понятие множества являетсяодним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можноподвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Самимножества так же могут объединяться во множества. Например, математики говорято множестве фигур на плоскости, о множестве тел в пространстве, но каждуюфигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.
Суть понятия “множество” вполне передается словами: “совокупность”,“собрание”, “набор” и т.д. Однако, как абстрактное математическое понятие “множество”неопределимо.
Несмотря на это, определить какое-либо конкретноемножество — задача не из трудных. Определить любое конкретное множество — значит определить, какие предметы (явления, объекты) принадлежат данномумножеству, а какие не принадлежат. Иначе говоря, всякое множество однозначноопределяется своими элементами.
Для того чтобы некоторую совокупность элементов можнобыло назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
1. Должно существовать правило,позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.
2. Должно существовать правило,позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, чтомножество не может содержать двух одинаковых элементов).
Множества обозначаются прописными буквами латинского илиготического алфавита: A, B,…, M, K,…. Если множество A состоит из элементов a, b, c,…, это обозначается с помощью фигурных скобок: A = {a, b, c, ...}.Если a есть элемент множества A, тоэто записывают следующим образом: aÎA. Если же a не является элементом множества A, то пишут aÏA. Существует также специальное, так называемоепустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множествообозначается символом Æ. Пустое множество являетсячастью любого множества.
1.2. Способызадания множеств
Для того, чтобы задать множество, нужно указать, какиеэлементы ему принадлежат (или могут принадлежать). Это можно сделать различнымиспособами:
· перечислением элементов: M = {m1 ,m2 ,…, mn};
· характеристическим условием (свойством): M = {x | P(x)};
· порождающим правилом: M = {x | x = f(t)};
Первый способ полностью описывает множество. Однако онприменим только для конечных (а, вообще говоря, для конечно обозримыхмножеств). При задании множеств перечислением обозначения элементов обычнозаключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. В этом случае считаетсянесущественным порядок перечисляемых элементов.
Пример.
Задание множества первых пяти нечетных натуральныхчисел перечислением элементов: M = {1, 3, 5, 7, 9}.
Второй способ позволяет определить принадлежность элемента x множеству Mи, поэтому, пригоден для описания не только конечных, но и бесконечныхмножеств. Характеристическое условие обычно задается в форме логическогоутверждения, которое может выражаться словами, математическими уравнениями,неравенствами. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемомумножеству, в противном случае непринадлежит. Характеристическое условие может состоять из нескольких условий: втаком случае в записи могут использоваться следующие знаки:
●L — равносильно “и”;
●V – равносильно “или”;
●" — кванторвсеобщности;
●$ — квантор существования.
Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит косложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойствазадают одно и то же множество, т. е. всякий элемент, обладающий однимсвойством, обладает и другим, и обратно.
Пример.
Элемент xмножества М есть целое число,квадрат которого меньше нуля.
M = {x | xÎZ Lx2 Третий способ задания множества сводится к построениюконкретных представителей как конечных, так и бесконечных множеств. Порождающееправило описывает способ построения объектов, которые являются элементамиопределяемого множества.
Пример.
Зададим два множества перечислением: M1 :={1,2}; M2 := {1}.
Зададим множество M3 правилом построенияего элементов:
M3 := {x| x = (x1,x2), x1ÎM1, x2ÎM2}.
Правило читается следующим образом: Для того, чтобыпостроить элемент множества M3, надо взять один объект из множестваM1, второй объект из множества M2 и составить из них упорядоченнуюпару (часто говорят кортеж длины 2). Руководствуясь этим правилом, можнопостроить каждый элемент множества M3: (1,1), (2,1).
1.3. Равенствомножеств
Определениеравенства множеств. Множества А и B равны,если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из xÎA следует xÎB и обратно, из xÎB следует xÎA.
Формальноравенство двух множеств записывается следующим образом:
А=Вó"x| xÎA óxÎB.
Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.
Чтобы доказать равенство двух множеств, необходимодоказать, что:
1. "x| xÎAÞxÎB;
2. "x| xÎB ÞxÎA.
Пример.
1. Равенство всех пустыхмножеств (A=Æ,B=Æ ÞA=B).
2. А – множество корнейуравнения (x-1)(x-2)=0. B– множество, состоящее изэлементов 1 и 2: B={1,2}. A=B.
ГЛАВА 2
ОСНОВНЫЕТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ
2.1. Подмножества
Определениеподмножества. Множество А является подмножеством множества В, еслилюбой элемент, принадлежащий множеству А, принадлежит множеству В.
Формальная запись: A ÍB ó "x| xÎA Þ xÎB.
Если A являетсяподмножеством B, то B называется надмножеством A.
Если среди данных множеств одно изних является подмножеством другого, это обозначает, что они связаны отношениемвключения.
Отношение нестрогого включения обозначается “Í”.
Отношение строгого включения обозначается “Ì”.
AÍB обозначает,что множество A содержится в B, при чем Аможет быть равным множеству B. Строгое включение исключает такоеравенство.
Если AÌB, A¹Æ, то A – собственноеподмножество множества В.
Свойства отношения включения.
1. "Aвыполняется AÍA (рефлексивность).
2. "A, Bвыполняется AÍB L BÍA ÞA=B(антисимметричность).
3. "A, B, Cвыполняется AÍB L BÍC ÞAÍC (транзитивность).
Пример.
Пустое множество являетсяподмножеством любого множества.
Множество{2, 4, 6,…, 2n, ...} является собственным подмножеством множестванатуральных чисел {1, 2, 3, 4…}.
2.2. Операциинад множествами и их свойства
Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.
Определение объединениямножеств. Суммой, или объединением произвольного конечного илибесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и толькотех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. AÈB={x | xÎA V xÎB}.
Пример.
A={1, 3, 5}, B={2, 4, 6}. AÈB={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Определение пересечениямножеств.Произведением,или пересечением любого конечного или бесконечного множества множествназывается множество, состоящее из тех и только тех элементов, которыепринадлежат множествам А и В одновременно. AÇB = {x | xÎA L xÎB}.
Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов, тоиз определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества АÇВ составляется из характеристических свойствпересекаемых множеств с помощью союза “и”.
Пример.
A={1, 3, 5}, B={1, 3, 7, 9}. AÈB={1, 3}.
Определение разностимножеств. Разностьюмежду множеством Aи множеством Bназывается множество всехэлементов из A, не являющихся элементами множества B. AB = {x | xÎA L xÏB}.
Если множества А и В заданы характеристическими свойствами их элементов,то из определения объединения следует, что характеристическое свойствоэлементов множества А U В составляется из характеристических свойств элементовмножеств А и В с помощью союза “или”.
Пример.
A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 9}. AB={5, 18}.
Определение симметрической разностимножеств. Симметрическойразностью множеств Aи Bназывается множество всехэлементов из A, не являющихся элементами множества Bвобъединении с множеством всех элементов из B, не являющихся элементамимножества A. A∆B=(AB)È(BA).
Пример.
A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 12}. A∆B={5, 7, 12, 18}.
Определение абсолютногодополнения.Пусть A– подмножество U. Абсолютным дополнениеммножества Aдо множества Uназывается множество,содержащее все элементы множества U,которые не принадлежат множеству A. A'=UA, где U — универсальное множество. UA={x| xÎU L xÏA}.
Обычно все рассматриваемые в ходе какого-либорассуждения множества являются подмножестваминекоторого множества U, котороеназывают универсальным. Например, для числовых множеств универсальным являетсяR, для точечных множеств на плоскости — множество точек всей плоскости и т.д.
Приоритетыопераций.
Под приоритетом операции понимается порядок еевыполнения. Первой выполняется та операция, приоритет которой выше.
Приоритет операции пересечения множеств вышеприоритета операции объединения.
Приоритет операции пересечения множеств выше приоритетаоперации вычитания.
Объединение и вычитание множеств считают равноправнымиоперациями.
Пример.В выражении CÈАВ надо сначала выполнитьвычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить смножеством С.
Свойстваопераций над множествами.
1. "A,AÈA=A. AÇA=A (идемпотентность).
2. Пересечение и объединениемножеств коммутативно(перестановочно):
"A,BAÈB = BÈA;"A,BAÈB = BÈA.
Доказательство.
Этисвойства вытекают из определения. Действительно, пусть xÎAÇB, тогда xÎA и xÎB, следовательно, xÎBÇA. Отсюда (AÇB)Í(BÇA). Аналогично доказывается обратное утверждение (BÇA)Í(AÇB). Отсюда AÇB = BÇA.
ПустьxÎAÈB, тогда либо xÎA, либо xÎB, но тогда xÎBÈAи (AÈB) Í(BÈA). Аналогично (BÈA) Í (AÈB). Следовательно, AÈB = BÈA.
3. Пересечение и объединениемножеств ассоциативно: для любых множествA, B и C имеем (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC); (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC).
Доказательство.
Пусть xÎ(AÇB)ÇC, отсюда xÎ(AÇB) и xÎC, или xÎA, xÎB, xÎC. Отсюда xÎ(BÇC) и xÎA, следовательно, xÎAÇ(BÇC) и верно (AÇB)ÇCÍAÇ(BÇC). Наоборот, если xÎAÇ(BÇC), следует, что xÎA, xÎC, xÎB, откуда xÎ(AÇB)ÇC и верно AÇ(BÇC)Í(AÇB)ÇC. Отсюда AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC. Аналогично доказывается равенствомножеств AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC.
4.Для любых множеств A, Bсправедливо:если AÌB, то AÇB = A;AÈB = B.
Доказательство.
Пустьx