Контрольнаяработа
Дисциплина:Высшая математика
Тема: Таблицапроизводных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблицапроизводных
Как известно, большинство функцийможно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, какдифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различныекомбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. />.
Найдем производную, когда />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как
/>, а />,то
/>
Отсюда /> и />,
то есть />.Если />, результат тот же.
2. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и />, то есть />.
3. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и />, то есть />.
4. />.
По определению />. Будем дифференцировать /> как частное:
/>, то есть />.
5. />.
По определению />. Будем дифференцировать /> как частное:
/>, то есть />.
6. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и
/>,
то есть />. Здесь была использованаформула для второго замечательного предела.
7. />.
Для вычисления производнойвоспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />.
8. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то />. Отсюда
/> и />, то есть />.
Здесь была использована формула дляодного из следствий из второго замечательного предела.
9. />.
Для вычисления производнойвоспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />.
Прежде чем перейти к вычислениюпроизводных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос одифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждоговзаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если />, то />.
Теорема. Если для некоторой функции /> существует обратная ей />, которая в точке /> имеет производную неравную нулю, то в точке /> функция/> имеет производную /> равную />, то есть />.
Доказательство. Рассмотрим отношениеприращения функции к приращению аргумента: />.Так как функция /> имеет производную,то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть />,откуда />. Значит, />.
Воспользуемся данной теоремой длявычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. />.
В данном случае обратной функциейбудет />. Для нее />. Отсюда
/>,
то есть />.
11. />.
Так как
/>, то />. />.
В данном случае обратной функциейбудет />. Для нее
/>.
Отсюда />, то есть />.
13. />.
Так как
/>, то />.
2.Производная сложной функции
Пусть дана функция /> и при этом />. Тогда исходную функциюможно представить в виде />. Функциитакого типа называются сложными. Например, />.
В выражении /> аргумент /> называется промежуточнымаргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как ониохватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция /> имеет производную в точке />, а функция /> имеет производную всоответствующей точке />. Тогда сложнаяфункция /> в точке /> также будет иметьпроизводную равную производной функции /> попромежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по />, то есть />.
Для доказательства дадим приращениеаргументу />, то есть от /> перейдем к />. Это вызовет приращениепромежуточного аргумента />,который от /> перейдет к />. Но это, в свою очередь,приведет к изменению />, который от /> перейдет к />. Так как согласно условиютеоремы функции /> и /> имеют производные, то всоответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции(теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если />,то и />, что, в свою очередь,вызовет стремление /> к нулю.
Составим />. Отсюда,
/>
и, следовательно, />.
Если функция /> имеет не один, а двапромежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде />, где />, а />, или />, то, соответственно, /> и так далее.
3.Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производныеэлементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций,составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций,которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов являетсяпараметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изученииуравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение/>связывало между собой двепеременных: аргумент и функцию. Задавая />,получаем значение />, то есть пару чисел,являющихся координатами точки />. Приизменении /> меняется />, точка начинаетперемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бываетудобно переменные /> и /> связывать не между собой,а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: /> где />. Для каждого значения /> из данного промежуткабудет своя пара чисел /> и />, которой будетсоответствовать точка />. Пробегая всезначения, /> заставляет меняться /> и />, то есть точка /> движется и описываетнекоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданиемфункции, а переменная /> – параметром.
Если функция /> взаимно однозначная иимеет обратную себе, то можно найти />.Подставляя /> в />, получим />, то есть обычную функцию.Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическомзадании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способизображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям /> и /> в зависимости от времени />, то есть в виде параметрическизаданной функции /> Такой способзначительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюдадобавляется еще и уравнение />.
В качестве примера рассмотримнесколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку /> на окружности с радиусом />. Выражая /> и /> через гипотенузупрямоугольного треугольника, получаем:
/>
Это и есть уравнение окружности впараметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюдалегко получить обычное уравнение окружности />.
/>
Рис. 3.1
2. Эллипс.
Известно, что уравнение эллипса – />. Отсюда />. Возьмем две точки /> и /> на окружности и эллипсе,имеющие одинаковую абсциссу /> (рис.3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что />.Подставим это выражение в />: />. Значит, уравнение эллипсав параметрической форме имеет вид
/>
/>
Рис. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальнойповерхности катится без скольжения окружность с радиусом />. Зафиксируем точку Oее соприкосновения с поверхностью в начальныймомент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C(рис. 3.3). Найдем ее координаты:
/>
Значит, параметрическое уравнениециклоиды имеет вид:
/>
/>
Рис. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса /> без скольжения катитсядругая окружность радиуса />. Тогдаточка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкойсоприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4),параметрическое уравнение которой имеет вид:
/>
/>
Рис. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдемтеперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция /> от /> задана параметрически: /> где />. Пусть на этом отрезке обефункции имеют производные и при этом />. Найдем/>.
Составим отношение />. Тогда
/>.
Следовательно, />. Это и есть правилодифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
1. Бугров Я.С.,Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры ианалитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.
2. Мироненко Е.С.Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Никольский С.М.,Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральноеисчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.
4. Черненко В.Д.Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.