--PAGE_BREAK-- Рассмотрим насколько примеров резольвент операторов.
Пример 1: Возьмём оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное, как было сказано выше, его можно задать матрицей коэффициентов:
, тогда
С помощью нехитрых преобразований находим обратную матрицу, тем самым резольвенту этого оператора:
,
здесь хорошо видно, что оператор, заданный этой матрицей не существует при =1, то есть это собственное значение оператора А.
Пример 2: Рассмотрим линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя. Пусть это будет оператор умножения на функцию g(x). Тогда резольвента этого оператора запишется в следующем виде: , такой оператор непрерывен, если функция g(x) не принимает значение на отрезке [a,b], в противном случае будет являться собственным значением. То есть спектр этого оператора состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет.
Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А: (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны найти обратный оператор к оператору: , для чего надо решить дифференциальное уравнение относительно . Решим уравнение методом Бернулли:
;
;
; ; ; ; , откуда ,
тогда . Видно, что резольвента существует и непрерывна, когда существует и непрерывен интеграл.
Резольвентное множество. Спектр Пусть А – оператор, действующий в В-пространстве. Если регулярна, т.е. оператор существует и ограничен, то при достаточно малом оператор тоже существует и ограничен, т.е. точка + тоже регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют открытое множество. Докажем это.
Теорема: Резольвентное множество открыто, функция резолвента аналитична в этой области.
Доказательство:
Пусть - фиксированная точка в и - любое комплексное число, такое, что . Покажем, что . Оператор должен иметь обратный, если . Этот обратный оператор, если он существует, будет выглядеть так:
.
Рассмотрим эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда она представима в виде ряда
.
Мы предполагали, что , то , следовательно, этот ряд сходится. Покажем, то это резольвента :
,
отсюда и следует, что и что = аналитична в точке
Доказано.
Следовательно, спектр, т.е. дополнение этого множества – замкнутое множество, и резольвента аналитична на бесконечности.
Следствие: Если равно расстоянию от до спектра , то
, .
Таким образом, при и резольвентное множество есть естественная область аналитичности .
Доказательство:
В доказательстве предыдущей теоремы мы видели, что если , то . Следовательно, , от куда и следует доказываемое утверждение.
Доказано.
Резольвента как функция от А сейчас рассмотрим резольвенту как функцию от и докажем несколько утверждений о её свойствах и особенностях. Для доказательства следующего утверждения нам понадобится следующая теорема.
Теорема 5: Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что . Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде
.
Доказательство:
Так как .Пространство Е полно, так что из сходимости ряда вытекает, что сумма ряда представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем
;
переходя к пределу при и учитывая, что , получаем
,
что и означает, что .
Доказано.
Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и >, то – регулярная точка.
Доказательство:
Так как, очевидно, что ,
то
При этот ряд сходится (см. теорему 5), т.е. оператор имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса с центром в нуле.
Доказано.
Из выше доказанной теоремы вытекает разложение резольвенты в ряд Лорана на бесконечности
При этот ряд сходится. Но – это наименьшее из чисел С, удовлетворяющих неравенству:
Аf=Cf, если С – собственное значение, то и , то для наибольшего по модулю из собственных значений неравенство будет иметь место, с другой стороны, это число будет наименьшим. Следовательно, ряд будет сходиться при (А), где (А) – наибольший модуль собственных значений оператора А. Величина (А) называется спектральным радиусом оператора А.
Теорема 8: (А)=.
Для доказательства воспользуемся теоремой Коши-Адамара, сформулируем её. Теорема Коши-Адамара: Положим , . Рассмотрим степенной ряд . Тогда он сходится всюду в круге и расходится всюду вне этого круга.
Доказательство:
Рассмотрим разложение резольвенты в ряд Лорана как степенной ряд:
.
По теореме Коши-Адамара его радиус сходимости равен числу
, но с другой стороны радиус сходимости ряда Лорана резольвенты есть спектральный радиус.
Доказано.
Уравнение Гильберта: .
Доказательство:
Возьмем . Учитывая, что , получаем следующее:
, что и требовалось доказать.
Доказано.
Следствие из уравнения Гильберта: .
Доказательство:
Оно вытекает из уравнения Гильберта: действительно, возьмём , тогда получим по уравнению Гильберта, что произведение равно отношению приращения функции к приращению аргумента, то есть , перейдя к пределу при получаем нужное равенство.
Доказано.
Теорема 9: .
Доказательство:
Докажем это равенство методом математической индукции, опираясь на предыдущее утверждение:
I. если k=1, то получаем следствие из уравнения Гильберта
.
II. Пусть для k=n равенство выполнено, то есть .
III. Докажем, что для k=n+1, оно тоже имеет место:
Получили, что если равенство выполняется для n, то оно выполняется и для n+1, то по аксиоме индукции оно выполняется и для всех натуральных чисел, что и требовалось доказать.
Доказано.
Таким образом, мы получили, что резольвента – функция бесконечно дифференцируемая.
Теорема 10: Зная все производные резольвенты, мы можем разложить её в ряд Тейлора в окрестности точки :
.
Напомним формулу разложения функции в ряд Тейлора:
, подставляя в эту формулу соответствующие элементы резольвенты, получаем нужное равенство.
Введение в нестандартный анализ Что такое бесконечно малые? Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.
Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число , если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять, что такого не бывает: если больше нуля, то оно является одним из положительных чисел, поэтому наше определение требует, чтобы число было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое должно изобразиться самой левой точкой множества . К сожалению числа с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число будет положительным числом, меньшим .
Более точное определение бесконечной малости числа >0 , которое мы будем использовать вдальнейшем таково. Будем складывать число с самим собой, получая числа + и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому можно переписать в такой форме
1
Таким образом, если число бесконечно мало, то число бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел: 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).
Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые, мы должны расширить множество R действительных чисел до некоторого большего множества *R. Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействительными числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется, и существуют бесконечно малые числа, такие, что, сколько их не складывай с собой, сумма будет всё время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изучает множество гипердействительных чисел *R.
Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам?
1). Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все обыкновенные действительные числа: R *R.
2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные операции: любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать, умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойства сложения и умножения. Кроме того, нужно уметь сравнивать гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.
Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы 0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, ставящие в соответствие двум любым элементам и множества Р их сумму , произведение , разность и частное (если ). Пусть при этом перечисленные операции обладают всеми обычными свойствами.
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) (если ).
В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов и определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства:
(10) если и , то ;
(11) если , то для любого ;
(12) если , , то ;
если , , то .
В таком случае говорят, что введенный порядок превращает Р в упорядоченное поле. Упорядоченное поле Р является неархимедовым тогда и только тогда, когда в нём есть положительные бесконечно малые элементы. Упорядоченное поле Р называется расширением поля действительных чисел R, если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции и порядок из Р, рассматриваемые на элементах их R, совпадают с обычными арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.
Пример неархимедовой числовой системы Построим пример неархимедова упорядоченного поля, являющегося расширением поля действительных чисел.
Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем его строение. Элементы множества *R мы будем называть гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить их, будем называть действительные числа (элементы R) стандартными, а остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)—нестандартными.
По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые числа, не равные нулю. Гипердействительное число называется бесконечно малым, если все суммы
и т. д.
меньше 1. Здесь через обозначен модуль гипердействительного числа , определяемый так: .
Отметим, что стандартное число 0 также оказывается, согласно этому определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно малые числа не могут быть стандартными. Это следует из того, что для стандартных чисел справедлива аксиома Архимеда.
Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно большие. Мы называем гипердействительное число А бесконечно большим, если
и т.д.
Если, бесконечно мало, но отлично от нуля, то число бесконечно велико. Верно и обратное, если число А бесконечно велико, то число бесконечно мало. Отсюда следует, что все бесконечно большие числа нестандартны.
Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называются конечными. Каждое конечное гипердействительное число можно представить в виде где – стандартное число, а –- бесконечно малое. Пусть – конечное гипердействительное число. Разобьём действительные числа на два класса: меньшие и большие . Т.к. конечно, то оба класса не пусты. По “аксиоме полноты“ существует действительное число , разделяющее эти классы. Легко видеть, что будет бесконечно малым. Число называется стандартной частью конечного гипердействительного числа . Обозначается это так:. Таким образом, множество конечных гипердействительных чисел разбивается на классы. Эти классы называются монадами. Монадой стандартного числа называется множество всех бесконечно близких к нему гипердействительных чисел.
Обсудив структуру нестандартного “микромира”, скажем несколько слов о строении нестандартного “макромира”. Их можно разбить на классы (“галактики”), каждый из которых устроен, подобно множеству всех конечных гипердействительных чисел. Среди галактик нет ни самой большой, ни самой малой; между любыми двумя галактиками есть бесконечно много других галактик.
Что ещё нужно знать о бесконечно малых? Рассмотрим, что получается в результате построения поля гипердействительных чисел.
Прежде всего, мы получаем неархимедово расширение поля действительных чисел. Кроме того, “каждому объекту стандартного мира” поставлен в соответствие его аналог в “нестандартном мире”. Именно нестандартным аналогом любого действительного числа является оно само; любому подмножеству А множества R соответствует подмножество *А множества *R, каждой функции f из R в R соответствует функция *f из *R в *R, каждой двуместной функции g из R в R соответствует функция *g из *R в *R и т. д. Разумеется, эти аналоги *A, *f,*g не произвольны, а должны обладать некоторыми специальными свойствами: так, *А, на действительных числах f и *f совпадают, так что *f является продолжением для f, а *g– продолжением для g. При этом оказывается выполненным так называемый принцип переноса, утверждающий, грубо говоря, что в стандартном универсуме истинны те же утверждения формального языка, что и в нестандартном универсуме. Типичное использование состоит в том, что мы доказываем желаемый результат в нестандартном универсуме, а потом, заметив, что результат выразим в языке, заключаем, что он выполнен также в стандартном универсуме.
продолжение
--PAGE_BREAK--