Одесскоетерриториальное отделение
Малой академиинаук Украины
Секцияматематики
Специальныеметоды решения алгебраических уравнений.
Решения уравнений высших степеней
Автор: Касьян Наталья
Ученица 10-М класса
Одесской школы №20
Руководитель:
Касьян Л. Ю.
Научный руководитель
Одесса 2003
Содержание:
1.Определение алгебраического уравнения.
2.История развития науки о решении алгебраических уравнений.
3.Специальные методы решения алгебраических уравнений.
4.Вывод.
5.Список литературы.
Известный немецкий математик Курант писал: «Напротяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишкомповерхностными, знаниями в области математики входило необходимой составнойчастью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И средиэтих знаний было умение решать уравнения.
Уравнение- аналитическая запись задачи оразыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функцийравны. Аргументы, от которых зависят этифункции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, прикоторых значения функций равны, — решениями, или корнями,уравнения. О таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данномууравнению.
Совокупностьрешений данного уравнения зависит от области М значений, допускаемых длянеизвестных. Уравнение может не иметь решений в М, тогда оно называетсянеразрешимым в области М. Если уравнение разрешимо, то оно может иметьодно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, уравнениеx4 – 4= 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения: x1 = x2 = - в областидействительных чисел и четыре решения: x1 = =x2 = -x3 = i, x4 = -i ‑ вобласти комплексных чисел. Уравнение sin x = = 0 имеет бесконечное множество решений:xk = k, k = 0,
Еслиуравнение имеет решениями все числа области М, то оно называетсятождеством в области М.
Двауравнения называются равносильными, если каждое решение одного уравненияявляется решением другого, и наоборот, причём оба уравнения рассматриваются водной и той же области.
Процессразыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравненияравносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёхаксиом:
1. Если равные величины увеличить на одно и тоже число,то результаты будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и тоже число, торезультаты будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и тоже число,то результаты будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и тоже число,то результаты будут равны.
Внекоторых случаях приходится заменять данное уравнение другим, для которогосовокупность корней шире, чем у данного уравнения. Поэтому, если при решенииуравнения делались действия, могущие привести к появлению посторонних корней,то все полученные корни преобразованного уравнения проверяют подстановкой висходное уравнение.
Наиболееполно изучены алгебраические уравнения. Их решение было одной изважнейших задач алгебры в 16-17 вв. Уравнения вида = 0, где
= a0xiyi… vk + a1x1ym … vn+ asxpyq … vr,
где x, y, …, v –переменные, а i, j, …, r –показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от однойпеременной записывается так:
= a0xn +a1xn-1 + … + an-1x + an.
Например,3x4 – x3 + 2x2 + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с однимнеизвестным называется любое уравнение вида Если a00, то nназывается степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени.Уравнения второй степени называются линейными. Уравнение второй степениназываются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичныеназвания имеют и уравнения более высоких степеней.
Решениелинейного уравнения ax + b = 0записывается в виде x = -
Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы
x=
Таким образом, существуют дварешения, которые в частном случае могут совпадать.
Явные формулы,аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать толькодля уравнений только третьей и четвёртойстепеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко найтикорни. Что касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказалН. Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корниуравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частныхслучаях уравнения высших степеней удаётся легко решить, факторизуя их левуючасть, то есть разлагая её на множители.
Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в виде (x + 1)(x2 – x + 1) = 0. Решения мы находим,полагая каждый из множителей равным нулю:
x + 1 = 0,
x2 – x + 1 = 0.
Таким образом, корни равны x = -1, ,то есть всего три корня. Если уравнение не факторизуется, то следуетвоспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахожденияприближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако вовсех случаях существует твёрдая уверенность в том, что решение существует:алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.
Уже в древности людиосознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения.
К ним сводятся очень многие иочень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можносразу предполагать, что a0,так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Многим, разумеется,приходила в голову заманчивая мысль найти для любо степени n формулы, которые выражали быкорни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение врадикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным ив отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формулникто не нашёл! Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинутьсядальше – найти формулы для n=3 и n=4. История их открытий и дажеавторства найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесьвыяснять сложные отношения между Ферро, Кардана, Тартальей и Феррари, а изложимлучше математическую суть дела.
Рассмотрим сначала уравнение
а0x3+ a1x2 + a2x+ a3 = 0.
Легко проверить, что если мыположим x = y — , где y – новое неизвестное, то делосведется к решению уравнения
y3 + py + q = 0,
где p,q – новые коэффициенты. Счастливаядогадка итальянцев состояла в том, чтобы искать y в виде суммы y = u + v,где u,v – два новых неизвестных. Для нихуравнение перепишется – после небольшой перегруппировки слагаемых – так:
u3 + v3 +(3uv + p)(u + v0) + q = 0
Так какнеизвестных теперь два, на них можно наложить еще какое- нибудь условие – лучшевсего
3uv + q = 0,
тогда исходное уравнениепримет совсем простой вид
u3+ v3 + q = 0.
Этоозначает, что сумма кубов u3,v3 должнаравняться – q, аих произведение -u3, v3 должны быть корнями квадратного уравнения
t2 + qt – = 0,
а для негоформула уже известна. В итоге получается формула
y = +
причем издевяти пар значений входящих в нее кубических радикалов надо брать только пары,дающие в произведении –p/3,как вытекает из нашего рассуждения. Исторически за этой формулой закрепилосьназвание формулы Карнадо, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен.
Для n = 4 формулу открыл Феррари,она выглядит сложнее, но тоже использует только четыре арифметических действияи извлечение радикалов. Вот набросок вывода формулы Феррари. Прежде всего,подобно предыдущему, положим
x = y — тогда дело сведется к решению уравнения вида
y4 + pq2 + qy+ r = 0.
Дополнив y4 до (y2 + z)2, т.е.прибавив и вычтя в левой части 2zy2 + z2, где z – вспомогательное неизвестное, получим
(y2 + z)2 — .
Подберемтеперь zтак, чтобы квадратный трёхчлен в квадратных скобкахоказался полным квадратом. Для этого нужно, чтобы его дискриминант равнялсянулю, т.е. чтобы было
q2 — 4(2z – p)(z2 – r) = 0.
Можем ли мы решить это уравнениеотносительно z? Да, можем, так как оно кубическое. Пусть z0 – какой-нибудь его корень(даваемый формулой Кардано) тогда исходное уравнение перепишется в виде
y1 = y2=
y3 = y4=
При этом знаки перед радикалами выбирают так, чтобы выполнялосьравенство
В 1770-71 гг. знаменитыйфранцузкий математик Лагранж (1736-1819) публикует в Мемуарах БерлинскойАкадемии свой мемуар «Мысли над решением алгебраических уравнений», в которомделает критический пересмотр всех решений уравнений 3-й и 4-й степеней, данныхего предшественникам.
Исследования Лагранжа дали дляпоследующих алгебраистов весьма удобный аппарат. Кроме того, они указали путь,по которому следовало искать доказательства невозможности общего решенияуравнений в радикалах.
Дальнейшим этапом в выяснениипроблемы решения уравнений в радикалах послужили работы Руффини (P.Ruffini, 1765-1822) и Абеля (N.-H. Abel, 1802-1829). Руффини (1799)предложил доказательство неразрешимости в радикалах уравнении 5-й степени, коэффициентыкоторого являются независимыми. Однако его доказательство окончилось неудачей.
Нужен был принципиально новыйподход. На этот раз он не заставил себя долго ждать – уже в 1824 году молодой(и в возрасте 27 лет умерший) норвежский математик Нильс Генрик Абель, опираясьна идеи Лагранжа, связанные с перестановками корней уравнения, доказал, чтотребуемых формул, которые решали бы в радикалах уравнение решали бы в радикалахуравнение общего вида, при n5 действительно не существует.Теорема Абеля дала отрицательны ответ только для уравнений общего вида, т.е. сбуквенными коэффициентами а0, а1, …, аn, но, разумеется, многие конкретныеуравнения сколь угодно высокой степени вполне могут решаться в радикалах(пример: уравнение x90 + 5x45 + 7 = 0). Поэтому сразу же встал вопрос ополном решении задачи – нахождении критерия разрешимости уравнений врадикалах, т.е. необходимого и достаточного условия, которое покоэффициентам а0, а1, …, аn любого заданного уравненияпозволяло бы судить, решается уравнение в радикалах или нет.
Вопрос о разрешимости уравнений врадикалах был окончательно разобран, во всяком случае, принципиально, в работахГалуа (Evariste Galois, 1811-1832). За свою короткуюжизнь Галуа успел создать теорию, которая до сих пор стоит в фокусематематической мысли. Рассматривая численные уравнения, он установил понятие ихгруппы, т.е. совокупности таких подстановок между их корнями, которые ненарушают рациональных соотношений между ними. Эта группа определяет для каждогоуравнения алгебраическую структуру его корней. В частности, уравнение разрешимов радикалах тогда и только тогда, если его группа принадлежит к числу такназываемых разрешимых групп. Таким образом вопрос о разрешимости каждогоданного уравнения в радикалах может быть решен при помощи конечного числадействий.
Обратимся теперь к исходномуобъекту исследования – уравнению
а0xn+ a1xn-1 + … + an = 0,
где а0, а1,…, аn – заданные числа. Еще Гаусс в конце 18 века доказал «основную теоремуалгебры», гласящую, что при любых а0, а1, …, аn данное уравнение имеет в полекомплексных чисел n корней, точнее, стоящий в еголевой части многочлен может быть разложен налинейные множители
а0,
где а1 … аn – некоторые комплексные числа(называемые корнями уравнения). Задача состоит в том, чтобы узнать, существуютли формулы, выражающие корни а1, …, аn через коэффициенты а0,а1, …, аn c помощью четырех арифметических действий иизвлечения радикалов?
Эварист Галуа доказал, что общееуравнение степени n неразрешимо в радикалах. Шестьдесят страниц,написанных накануне роковой дуэли, явились одним из истоков современной теориигрупп – основного и наиболее развитогораздела алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность реального мира– симметрию.
Рассмотрим на примерах некоторыеспособы решения алгебраических уравнений степени n.
Пример 1. Решить уравнение
Разложим левую часть уравнения намножители
Переносим
тогда
2x + 2 = 0 или –3x2 – 6x + 24 = 0. Решая эти уравнения,получаем корни
x1 = -1, x2 = -4, x3 = 2.
Разложение на множители позволилосвести решение кубического уравнения к решению квадратного и линейногоуравнений.
Пример 2. Решить уравнение
Разделим обе части уравнения на (
тогда
Пусть тогда Получим уравнение
По теореме Виета корни уравнения: Значит,
Решая эти уравнения, находимкорни
Введение замены позволяет понизить степень уравнения и свести его крешению квадратного уравнения.
Пример 3. Решить уравнение
Заменим это уравнение равносильным ему прибавлением и вычитанием одного итого же выражения
Разложимчислитель на множители