Реферат по предмету "Математика"


Строение идеалов полукольца натуральных чисел

Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Физико-математический факультет
Кафедра высшей математики
Выпускная квалификационная работа
Строение идеалов полукольца натуральных чисел
Выполнила студентка V курса
физико-математического факультета
Вахрушева Ольга Валерьевна
Научный руководитель: д.ф-м.н., профессор кафедры высшей математики Чермных В. В. Рецензент: д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой высшей математики Вечтомов Е.М.
Киров 2010
Содержание
Введение
Глава 1. Структура идеалов в />
1.1 Базовые понятия и факты
1.2 Описание идеалов в />
Глава 2. Константа Фробениуса
Библиографический список
Приложение 1. Примеры работы программы «FindC» для различных исходных данных
Приложение 2. Описание алгоритма работы программы с помощью блок-схем
Приложение 3. Полный текст программы «FindC»
Введение
Теория полуколец – один из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющийся обобщением теории колец. Весомый вклад в ее изучение и развитие внесли Е.М. Вечтомов и В.В. Чермных. Большой интерес для изучения представляет собой полукольцо натуральных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Его роль в теории полуколец примерно такая же, как и кольца />целых чисел в теории колец.Вопросу строения полукольца натуральных чисел посвящена глава в книге В.В. Чермных «Полукольца» [6].
Целью данной квалификационной работы является исследование полукольца натуральных чисел и его строения. Более точно выясняется вопрос, как устроены идеалы этого полукольца, а также осуществляется отыскание либо определение границ расположения константы Фробениуса для некоторых идеалов.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены основные определения и теоремы, связанные с полукольцом натуральных чисел, и дано описание его идеалов. Глава 2 посвящена исследованию проблемы нахождения константы Фробениуса.
Глава 1.Структура идеалов в />
1.1 Базовые понятия и факты
Определение 1.Непустое множество Sс бинарными операциями "+" и "×" называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
(S, +) -коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
(S, ×) -полугруппа с нейтральным элементом 1;
умножение дистрибутивно относительно сложения:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc длялюбыхa, b, c ÎS;
0a = 0 = a0 длялюбогоaÎS.
По этому определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания, и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.
Несложно показать, что множество натуральных чисел />с обычными операциями сложения и умножения при допущении, что />/>, является полукольцом.
Определение 2. Непустое подмножество Iполукольца Sназывается левым идеалом полукольца S, если для любых элементов />/>элементы a+bи saпринадлежат I. Симметричным образом определяется правый идеал. Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца S.
В силу коммутативности операции умножения в полукольце />все идеалы являются двусторонними, в дальнейшем будем называть их просто идеалами.
Идеал, отличный от полукольца S, называется собственным.
Определение 3. В полукольце Sнаименьший из всех идеалов, содержащих элемент />, называется главным идеалом, порожденным элементом a.
Известно, что кольцо целых чисел />является кольцом главных идеалов. Идеалы в />не обязательно являются главными, но все они конечно порождены. Главные идеалы в />будем обозначать aN, где a– элемент, порождающий идеал.
Определение 4. Идеал />коммутативного полукольца />называется конечно порожденным, если найдется конечное множество элементов />таких, что
/>
Теорема 1. Произвольный идеал полукольца натуральных чисел конечно порожден.
Доказательство. Пусть />–произвольный идеал из />, />–его наименьший ненулевой элемент. Выберем, если возможно, наименьший элемент из />N. В общем случае на очередном шаге будем выбирать наименьший элемент из множества />. Заметим, что выбираемые элементы обязаны быть несравнимыми по модулю />. По этой причине процесс выбора будет конечным, и на некотором шаге получим
/>
Определение 5. Пусть />–идеал полукольца натуральных чисел. Множество />элементов из />назовем системой образующих идеала, если />и никакой элемент системы образующих нельзя представить в виде комбинации с неотрицательными коэффициентами остальных элементов системы.
Очевидно, что для любого идеала система образующих определяется однозначно. Множество элементов />, построенное в доказательстве теоремы 1, является системой образующих.
Если имеется в виду конкретная система образующих идеала, то будем изображать ее в круглых скобках, например: (2,3)={0,2,3,4,…}=/>\{1}.
Аналог теоремы Гильберта о базисе, которая утверждает, что если R– коммутативное кольцо, каждый идеал которого конечно порожден, то любой идеал кольца многочленов над Rявляется конечно порожденным, неверна в классе полуколец, и примером тому служит полукольцо />. Как установлено, идеалы в />конечно порождены. Покажем, что этим свойством не обладает полукольцо />[x]. Пусть I– множество всех многочленов ненулевой степени над />. Ясно, что I‒идеал. Любой из многочленов x, x+1, x+2,…, нельзя нетривиальным образом представить в виде суммы многочленов из I, значит, все эти многочлены необходимо лежат в любой системе образующих идеала I. Таким образом, Iне является конечно порожденным, и полукольцевой аналог теоремы Гильберта не верен.--PAGE_BREAK--
Теорема 2. Пусть />‒система образующих идеала />полукольца />. Начиная с некоторого элемента />, все элементы идеала образуют арифметическую прогрессию с разностью />, являющейся наибольшим общим делителем чисел />.
Доказательство. Пусть />‒НОД всех представителей системы образующих идеала />. По теореме о линейном представлении НОД />для некоторых целых />. Положим />‒максимум из абсолютных значений чисел />. Тогда элементы />и />лежат в идеале />. Очевидно, что />‒наименьшее натуральное число, на которое могут отличаться два элемента идеала />, и />. Обозначим />. Пусть />, для некоторых целых />, и одно из них, допустим />, неположительно. В таком случае рассмотрим число />с такими достаточно большими натуральными коэффициентами />, чтобы для любого целого />выполнялось />. Тогда для любого такого />элемент
/>
лежит в />. Таким образом, начиная с элемента />, мы имеем арифметическую прогрессию в точности из />элемента, лежащих в идеале />, причем первый и последний элементы отличаются на />. Прибавляя к каждому из этих элементов, начиная с />, число />, мы получим следующие />элементов этой же прогрессии. Такую процедуру можно повторять сколь угодно долго, получая элементы прогрессии, очевидно, лежащие в идеале />. Показали, что, по крайней мере, с числа />все элементы идеала />образуют арифметическую прогрессию.
Следствие 1. Пусть />‒произвольный идеал полукольца />. Существует такое конечное множество />элементов из />/>, что />является главным идеалом.
Следствие 2. Если система образующих идеала />полукольца />состоит из взаимно простых в совокупности чисел, то, начиная с некоторого элемента, все последующие натуральные числа будут принадлежать идеалу />.
Замечание. Пусть />, и />. Между идеалами />и />, порожденными системами образующих />и />соответственно, существует простая связь, а именно: />состоит из всех элементов идеала />, умноженных на число />. Тем самым, изучение идеалов полукольца натуральных чисел сводится к идеалам с взаимно простой системой образующих. В дальнейшем будем считать, что образующие />идеала />в совокупности взаимно просты и занумерованы в порядке возрастания.
Теорема 3. В полукольце />всякая строго возрастающая цепочка идеалов обрывается.
Доказательство. Пусть />‒возрастающая цепочка в />. Тогда />‒конечно порожденный идеал с образующими />. Каждый />лежит в некоторых идеалах из цепочки, значит, найдется идеал />из цепочки, содержащий все элементы />. Получаем />, следовательно, />‒последний идеал в нашей цепочке.
Из доказанной теоремы делаем вывод о том, что исследуемое полукольцо натуральных чисел является нетеровым.
1.2 Описание идеалов в />
Определение 6. Собственный идеал Pкоммутативного полукольца Sназывается простым, если />или />для любых идеалов Aи B.
Теорема A. Если S– коммутативное полукольцо, то идеал Pпрост тогда и только тогда, когда />влечет />[6].
Простыми идеалами в />являются, очевидно, нулевой идеал и идеалы p/>. Идеал, порожденный составным числом, не может быть простым. Более того, если составное число n=abявляется элементом системы образующих идеала I, то элементы a,bне лежат в идеале I, и следовательно, Iне прост. Таким образом, система образующих простого идеала может состоять только из простых чисел.
Пусть P– простой идеал в />, не являющийся главным, и />‒элементы из его системы образующих. Поскольку />и />взаимно просты, то по второму следствию теоремы 2 все натуральные числа, начиная с некоторого, лежат в идеале P. Значит, Pсодержит некоторые степени чисел 2 и 3. В силу простоты идеала P, 2 и 3 будут лежать в P. Идеал, порожденный числами 2 и 3, является единственным простым идеалом, не являющимся главным.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Таким образом, простыми идеалами полукольца />являются следующие идеалы, и только они:
нулевой идеал;
главные идеалы, порожденные произвольным простым числом;
двухпорожденный идеал (2,3).
Определение 7. Собственный идеал Mполукольца Sназывается максимальным, если />влечет />или />для каждого идеала Aв S.
Теорема Б. Максимальный идеал коммутативного полукольца прост.[6]
В />нулевой идеал и идеалы, порожденные произвольным простым числом, не являются максимальными, так как включены в идеал (2,3), который не совпадает с ними и с />. Таким образом, максимальным является двухпорожденный идеал (2,3) – наибольший собственный идеал в />.
Множество простых идеалов можно упорядочить следующим образом:
Здесь наибольшим элементом является двухпорожденный идеал (2,3), а наименьшим – нулевой идеал.
Определение 8. Идеал Iполукольца Sназывается полустрогим, если />влечет />
Теорема 6. Полустрогий идеал полукольца />в точности является главным идеалом.
Доказательство. Главные идеалы, очевидно, являются полустрогими. Предположим, что в системе образующих полустрогого идеала может быть больше двух образующих. Пусть два элемента mи n– наименьшие в системе образующих идеала, и />Рассмотрим равенство m+x=n, в нем xочевидно меньше, чем n. Это означает, что xпринадлежит идеалу только в том случае, когда элемент xпредставим в виде x=ms, где />/>.Тогда nлинейно выражается через m, а противоречит тому, что mи n– образующие.
Множество полустрогих идеалов можно упорядочить следующим образом:
Здесь наибольшим является идеал, порожденный 1, на уровень ниже его находятся идеалы, порожденные простыми числами, еще ниже – порожденные произведением двух простых чисел, дальше трех и так далее.
Определение 9. Идеал Iполукольца Sназывается строгим, если />влечет />и />
Cтрогий идеал обязательно является полустрогим, а в полукольце />и главным. Идеалы (0) и (1), очевидно, являются строгими. В любых других главных идеалах их образующие можно представить в виде суммы 1 и числа, на 1 меньше образующей, и оба этих слагаемых не будут принадлежать I. Таким образом, строгими идеалами полукольца />являются только (0) и (1).
Глава 2.Константа Фробениуса
В теории полугрупп есть понятие константы Фробениуса, им описывается для аддитивной полугруппы, порожденной линейной формой с натуральными коэффициентами, переменные которой независимо принимают целые неотрицательные значения, наибольшее целое число, не являющееся значением указанной формы [4]. Для полукольца />это понятие является неразрывно связанным с элементом />, а именно, они отличаются на 1: константа Фробениуса есть наибольший элемент полукольца, не являющийся элементом идеала, а с – наименьший, начиная с которого все элементы полукольца лежат в идеале.
Лемма 1. Пусть />. Тогда для любого натурального />найдутся такие целые />и />, что />.
Доказательство. Пусть />для некоторых целых />. Тогда />. По теореме о делении с остатком />, где />. Отсюда />. Взяв />, получаем доказываемое утверждение.
Теорема 7. Если />‒двухпорожденный идеал и />, то
/>
Доказательство. Покажем, что для любого целого />элементы />лежат в идеале />. Действительно, из предыдущей леммы />для подходящих />. Тогда
/>
Заметим, что />, откуда />. Таким образом, начиная с />, все числа лежат в идеале />. Осталось показать, что />. Предположим, что />лежит в />, т.е. />для некоторых />. Очевидно, что мы может выбрать />таким образом, чтобы выполнялось />. Тогда />. В силу взаимной простоты образующих получаем />, откуда />. Это возможно только в том случае, когда />. Но это влечет />, противоречие.    продолжение
--PAGE_BREAK--
На XIVМеждународной олимпиаде по математике, прошедшей в 1984 году, для решения предлагалась задача следующего содержания:
Пусть a,b,c– целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, которые не представимы в виде xbc+yca+zab(где x,y,z– неотрицательные целые числа), равно 2abc-ab-bc-ca[1].
В незначительной переформулировке эта задача предлагает показать, чему равна константа Фробениуса для идеала, порожденного системой образующих (ab,ac,bc) в полукольце />.
Удалось найти другое решение этой задачи, а также сделать обобщение.
Теорема 8. Если a, bи с попарно взаимно просты, то
/>.
Доказательство. Рассмотрим />. По теоремам 2 и 5 />. Значит, начиная с элемента />все элементы вида />где />Заметим, что />Из условия следует, что />тогда />‒полная система вычетов по модулю a, обозначим ее (*).
Рассмотрим число
/>
Числа />можем получить из системы вычетов (*), прибавляя к ним />значит, все они лежат в идеале I. Число />так как />а />Таким образом, нашли aподряд идущих чисел, принадлежащих идеалу I, и число перед ними, не принадлежащее I. Производя подстановку и преобразовывая выражение />получаем искомый элемент с.
Обобщим результат, полученный в теореме 8:
Теорема 9. Пусть />/>,/>/>Обозначим
/>/>, />,…,/>
Тогда
/>.
Доказательство. База метода математической индукции для значений k=2,3 доказана в теоремах 7 и 8. Предположив, что выполняется />, доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 8.
Предложение. В />порожденном идеале выполняется />.
Доказательство. Если />, то найдется, по крайней мере, пара образующих />и />, />, сравнимых по модулю />. Тогда />выражается через />и />, противоречие.
Крайний случай доказанного выше отношения позволяет найти элемент />.
Теорема 10. />.
Доказательство. Заметим, что образующие образуют полную систему вычетов по модулю />. Рассмотрим еще одну полную систему вычетов по тому же вычету />. Для произвольного />найдется в точности один образующий />, сравнимый с />по модулю />. Тогда />для некоторого />, откуда следует />. Получили, что />подряд идущих элементов из />лежат в />. Поскольку, очевидно,
/>, то />
Теорема 11. Если />‒наименьший образующий />-порожденного идеала />, то />, причем обе оценки точные.
Доказательство. Пусть />‒семейство образующих идеала />. До полной системы вычетов по модулю />не хватает одного числа. Обозначим через />наименьшее число из идеала />, дополняющее />до полной системы. Заметим, что />для некоторого />. Отсюда легко получаем, что наименьшее возможное значение, которое может принять />, равно />. Число />не лежит в идеале />, получаем оценку/>.
С другой стороны, />, а в случае равенства числа />лежат в />. Действительно, каждое из них сравнимо по модулю />с некоторым образующим и />, откуда />. Это дает оценку />. Не сложно проверить, что точность обеих полученных оценок дают соответственно идеалы    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
и />.
В общем случае проблема нахождения элемента с представляется на данный момент неразрешимой. Однако для дальнейшего ее изучения может быть использована специально разработанная программа "FindC", которая позволяет находить элемент с для введенной системы образующих, причем она может быть не упорядоченной по возрастанию и содержать элементы, линейно выражающиеся через другие.
Действия программы:
Сортирует введенные образующие в порядке возрастания (процедура Sort).
Проверяет систему на наличие элементов, линейно выражающихся через другие, в случае наличия таковых выводит их и линейную комбинацию (осуществляется с помощью процедуры Lin).
Выводит линейно независимую систему образующих, находит их НОД (процедура NOD). Если НОД/>1, то осуществляется деление каждой образующей на НОД, дальнейшая работа происходит с новой системой.
Проверяет элементы полукольца />, начиная с 2, на возможность выражения их в виде линейной комбинации системы образующих. При нахождении />подряд идущих элементов />, принадлежащих идеалу, можно сделать вывод о том, что и последующие элементы также принадлежат идеалу, и программа умножает элемент, на />меньше текущего, на НОД, и это произведение будет искомым элементом c.
Библиографический список
Абрамов А.М. Квант, №3, 1984. с. 40-41.
Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру [Текст] / М. Атья, И. Макдональд. – М.: Мир,1972.
Вечтомов Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов. – Киров: Изд-во ВГПУ, 2000.
Коганов Л.М. О функциях Мебиуса и константах Фробениуса полугрупп, порожденных линейными формами специального вида / Межвузовский сборник научных трудов Полугруппы и частичные группоиды, Ленинград, 1987. с. 15-25.
Скорняков, Л.А. Элементы теории структур [Текст]/Л.А. Скорняков.– М.: Наука, 1982.
Чермных, В.В. Полукольца [Текст]/В.В. Чермных. – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997.
Приложение 1.
Примеры работы программы при различных исходных данных.
/>
/>
/>
Приложение 2.
Описание алгоритма работы программы "FindC" с помощью блок-схем.
Приложение 3
Полный текст программы "FindC".
unit SearchFirstElementSequence;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
Edit: TEdit;
Button1: TButton;
Memo: TListBox;
Button2: TButton;
procedure EditKeyUp(Sender: TObject; var Key: Word; Shift: TShiftState);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure EditKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
masA: variant;
KolObraz: integer;
i, j, l, koef, d, kol, VspomChislo, Chislo: integer;
S: Set of Char = ['0'..'9', ',', #8];
p: boolean;
implementation
{$R *.dfm}
{Сортировка массива}
Procedure SORT;
var min: integer;
begin
min := masA[1,1];;
for i := 1 to KolObraz-1 do
for j := i+1 to KolObraz do
if masA[i,1] > masA[j,1] then begin
min := masA[j,1];
masA[j,1] := masA[i,1];
masA[i,1] := min;
end;
end;
//ищем НОД (алгоритм Евклида)
Function NOD(a,b: integer): integer;
begin
while (a 0) and (b 0) do
if a > b then a := a mod b
else b := b mod a;
if a = 0 then nod := b
else nod := a;
end;
//проверка на линейность
Procedure Lin (n, j, Chislo: integer; var p: boolean; m1: integer);
var x :integer;
begin
while (n 0) do
begin
if j = 0 then x := 0
else x := masA[n,1];
Chislo := Chislo — x;
if Chislo = 0 then p := true    продолжение
--PAGE_BREAK--
else Lin(n+1, 0, Chislo, p, m1);
if p then masA[n,2] := j;
inc(j);
end;
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
list: TStringList;
ss: string;
begin
Memo.Clear;
//разбиениестроки
ss := Edit.Text;
list := TStringList.Create; //создаем список list
//в нем будут хранится коэффициенты, полученные в результате разбиения строки
//с помощью процедуры extractStrings (разделителем будет ',')
extractStrings([','], [], PChar(ss), list);
KolObraz := list.Count; //количество переменных
masA := VarArrayCreate([1,KolObraz,1,2], varInteger); //создание двумерного массива
for i := 1 to KolObraz do
masA[i,1] := StrToInt(list.Strings[i-1]);
list.Free;
SORT;
ss := '';
for i := 1 to KolObraz do ss := ss + ' ' + IntToStr(masA[i,1]);
memo.Items.Add('ИСХОДНАЯ СИСТЕМА ОБРАЗУЮЩИХ В ПОРЯДКЕ ВОЗРАСТАНИЯ:');
memo.Items.Add(ss);
memo.Items.Add('');
memo.Items.Add('ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ:');
l := 0; i := 1;
while i
p := false;
Lin(1, 0, masA[i,1], p, i-1);
//если p = true то выводим линейную комбинацию и удаяем этот элемент из массива
if p then begin
//вывод разложения элемента на линейную комбинацию
ss := IntToStr(masA[i,1]) + ' = ';
if i = 2 then ss := ss + IntToStr(masA[i-1,2]) + '*' + IntToStr(masA[i-1,1])
else begin
for j := 1 to i-2 do ss := ss + IntToStr(masA[j,2]) + '*' + IntToStr(masA[j,1]) + ' + ';
ss := ss + IntToStr(masA[i-1,2]) + '*' + IntToStr(masA[i-1,1]);
end;
memo.Items.Add(ss);
//смещаем элементы массива
for j := i to KolObraz-l-1 do begin masA[j,1] := masA[j+1,1]; masA[j,2] := masA[j+1,2]; end;
inc(l);
end
else inc(i);
end;
if l = 0 then memo.Items.Add('нет');
memo.Items.Add('');
KolObraz := KolObraz-l;
memo.Items.Add('ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ОБРАЗУЮЩИХ:');
ss := '';
for i := 1 to KolObraz do ss := ss + ' ' + IntToStr(masA[i,1]);
memo.Items.Add(ss);
memo.Items.Add('');
d := NOD(masA[1,1], masA[2,1]);
if KolObraz > 2 then for i := 3 to KolObraz do d := NOD(d, masA[i,1]);
for i := 1 to KolObraz do begin masA[i,1] := masA[i,1] div d; masA[i,2] := 0; end;
Chislo := masA[1,1];
p := false;
kol := 0;
VspomChislo := Chislo;
while kol
Lin(1, 0, VspomChislo, p, KolObraz);
if p then inc(kol)
else kol := 0;
inc(VspomChislo);
p := false;
end;
ss := 'ПЕРВЫЙ ЭЛЕМЕНТ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ' + IntToStr((VspomChislo — kol) * d);
p := false; j := 0;
for i := 1 to KolObraz do masA[i,2] := 0;
Lin(1, j, (VspomChislo — kol) * d, p, KolObraz);
ss := ss + ' = ';
for j := 1 to KolObraz-1 do ss := ss + IntToStr(masA[j,2]) + '*' + IntToStr(masA[j,1]) + ' + ';
ss := ss + IntToStr(masA[KolObraz,2]) + '*' + IntToStr(masA[KolObraz,1]);
ss := ss + ' с разностью ' + IntToStr(d);
memo.Items.Add(ss);
masA := Unassigned;
end;
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
begin
Close;
end;
procedure TForm1.EditKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
begin
if not (Key in S) then Key := #0
end;
procedure TForm1.EditKeyUp(Sender: TObject; var Key: Word; Shift: TShiftState);
begin
if Edit.Text = '' then Button1.Enabled := false
else Button1.Enabled := true;
end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
Button1.Enabled := false;
Memo.Clear;
Edit.Clear;
end;
end.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Блошка льняная
Реферат Значение музыкального воспитания в семье
Реферат Анализ результатов деятельности методического объединения классных руководителей моу ступишинская средняя школа имени Героя РФ с. Н. Морозова за первое полугод
Реферат Биосинтез аминокислот
Реферат Flagburning Essay Research Paper IS FLAG BURNING
Реферат Анализ подходов к логистике крупнейших пивоваренных компаний России
Реферат Разлад мечты и действительности в петербургских повестях Николая Гоголя
Реферат Гидропривод, гидрораспределители и гидроусилители
Реферат Оцінка толерантністідо ризиків та система лімітів у банку План зниження ризику втрати інфраструктури 2
Реферат Логистика и информационный поток
Реферат Harrison Bergeron Essay Research Paper Harrison Bergeron
Реферат Тесты по фармокологии (610 вопросов)
Реферат Лизинговая деятельность в Украине развитие, особенности, законодательная база
Реферат Прокурорский надзор за деятельностью администрации исправительных учреждений
Реферат Решение уравнений в целых числах